浅谈怎样突破高中学生数学思维的障碍

1、业余本科生毕业论文论文题目：浅谈怎样突破高中学生数学思维的障碍姓 名：廖 静专业：数学专业年级：2004春类 别：专升本学习中心： 柳州完成时间：2006年9月27日北京师范大学继续教育与教师培训学院浅谈怎样突破高中学生数学思维的障碍在高中数学的教学过程中，我们常听到一些学生反映，老师在课堂上讲的已经懂 了，但轮到白己解题时却无从入手，当我们稍微给他一点提示时，他就会：“唉，我怎 么想不到这一点呢？ ”。事实上，不少数学题的解法不算很难，但学纶就是不会做，这 是学牛的思维形式与正常的数学思维存在着差异的原因,用心理学的术语说：学生存 在着思维障碍。思维障碍是学生学不好数学的主要原因，要突破高中

2、学生数学思维障碍，酋先得 了解高中学生数学思维障碍的成因。一. 高中学生数学思维障碍的成因在我看來，学生数学思维障碍的成因有内在因索也有外在因素。下而就学生和教师 两方面阐述我的观点：1 学生本身的因素现有许多高小学生对白己的学习目的并不明确，普遍对教师具有依赖心理，什么问 题都想依靠教师引路指点，甚至依靠教师替他解决问题，惯于-步一步地模仿硬套，口 己从不对问题解题后的整体思考，回顾与反思，从而学生缺乏主动钻研和创造精神。这 些学生往往只注重结论，而不注重过程。就如家长只是注重结论和分数,从不过问“过 程” 一样。此外，学生的丿犬学心理，封闭心理，自卑心理，悄感心理等等，这些现象都 不同程度

3、地影响、制约、阻碍着高中学生思维的发散与创新。2. 教师的教学因素教师在教学过程中，如果不注意到学纶的实际情况或不能察觉到学生的思维困难之 处，而是按着口己的思路或知识逻辑进行灌输式教学，则到学生口己去解决问题吋往 往会感到无所适从；另一方血，当新的知识与学生原有的知识结构不相符时或者新i口 知识中间缺乏必耍的过渡环节，那么这时就势必会造成学生对所学知识认知上的不足, 理解上的偏颇，从而在解决具体问题时就会产生思维障碍，影响学生解题的能力。因 此教师在教学过程中，应从实际出发，根据学生的不同基础特点，从各角度去引导学 生分析、解决问题，从而发散了学生的数学思维。例1：已知复数满足迂|1=收21

4、=1，且1令一？2匕丿空，求iz+gi的值。分析：根据题目的意思，我们可以分别川复数代数式、复数三角式、平行四边形 的对角线的平方和等于四条边的平方和、利川z与-z的对称性、共辘复数性质2 =1 z f或复数平面上圆的方程去分析与解决问题，则可得i ° + z2匕血。由此看来，一个数学问题可以从不同的角度进行思考，而一种解题模式也可以解 决不同的问题。因此，在教育教学小，教师应在教知识的同时，也应注重学生数学思 维能力的培养，则势必会捉高高中数学的教学质量，减轻学生学习数学的负担。二. 高中学生数学思维障碍的几点突破在高中数学起始教学，教师必须着重了解和掌握学生的棊础知识状况，尤其在

5、讲 解新知识时，要严格遵循学生认识发展的阶段性特点，照顾到学生认识水平的个性差界，强调学牛的主体意识，发展学生对数学学习的兴趣。只有这样，才能拓展学生的 思维，更大程度地预防学生思维障碍的产牛。下而在教学上如何使学生突破数学思维 障碍提出几点建议：1. 培养学生的意志品质及学习兴趣在高中数学教学中，教师应注重培养学生的意志品质与学生学习兴趣，应该多创 设良好的情境，让学生时时刻刻有良好的心理投入学习。教师应该多挖掘数学屮美冇 因素，使学生受到美的恿陶。这就要从教材里感受美、提炼美。将教材屮的美融化在 课堂上，使学生领略到数学屮美的特有风采，激发起学生学习的兴趣和欲望。例：在 新授“逻辑联结词”

6、时，我们可以作如下悄境设计，对提高学生的这个难点问题冇很 大的帮助，思维始终保持活跃。设计如下：给学生讲一个故事，歌德是18世纪德国的一位苦名文艺大师，一天，他与一位文 艺批评家“狭路相逢”。这位批评家生性古怪，遇到歌徳走來，不仅没有相让，反而卖 弄聪明，一边高傲地往前走，一边人声说：“我从来不给傻子让路！”面对如此尴尬局 面，但见歌德笑容可掬，谦恭地闪在一旁，一边冇礼貌地回答说：“呵呵，我可恰恰相 反。”结果故作聪明的批评家反倒口讨个没趣。在这个故事里，批评家用他的语言和行动这样儿句语句：（1）我不给傻子让路，（2） 你歌徳是傻子，（3）我不给你讣路。而歌徳用语言和行动反击，（1）我给傻子让

7、路，（2） 你批评家是傻子，（3）我给你让路。他们两个都运用了逻辑知识。这样，人大地调动 了学生学习的积极性，提高了课堂效率。2. 重视数学思想方法教学，加强学生数学意识数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎样做的一种思维。至于做得好 坏，那属于技巧问题。有的学生面对数学问题，首先想到的是套用公式，模仿一道做 过的题口来求解，往往不善于反思，总结经验，一旦碰到一些条件稍有改动的问题便 不知所措，无法解决。这就是数学意识比较落后的表现。数学教学中,在强调基础扎 实的同时，应该更注意加强数学意识的教学，将数学意识渗透到具体问题z中。例2. （2003.北京.理）若zec.fiz + 2 2门

8、=1,贝ijk-2-2zl的最小值是（）a.2b.3c.4d.5学牛解此题吋，通常从代数角度去思考，结果解法兀繁，如能把题目中相关的量 几何化，从几何角度探求新法，即把迂+ 2-2,1=1表示圆心在（-2,2）,半径为1的圆，而i z-2-2八表示圆上的点到点（2,2）的距离，则不难得出这个函数的最小值为3。图1这样数学问n 示abc外接圆的而积，则lims” =?ht8解析为：2斤+ 12/72 + 2n+1ec dn4/?2 +4/1 + 2 a = : =,2 %2” +12n + n2n2 + 2 +1 g v 2 z4/r +4n + 2.2 lims” = hm 7ir = lim

9、() 2宀2这里实际是数形结合思想在起作用。因此，在数学教学屮只有加强数学意识的教 学，如“函数思想意识”，“换元意识”，“因果转化意识”，“类比转化意识”等的教学, 才能使学生面对数学问题得心应手， 生数学思维障碍的一个重要环节。n2/? + 14兀.ht8口 t8从容作答。所以，提高学生的数学意识是突破学题更具体、更简捷，解决问题方式也就更透明了。2 2 2例3. (2003.上海.理)已知点4(0,)“()，一)，c(4 + ，0)，其为正整数，设s”表 nvzaco=0n0 = -=,4+2 乃+ 1 n 2x_l_1 + tarr &丨（1）22/? + 1ad在abc中，=

10、2心sin 204也是表现最突岀的，然而也正是几何学述有另一儿何会给人以数学直觉。不能把儿何等同于逻辑3. 提高数学的形式化数学的形式化是从几何开始的，突出z处，“儿何学冇形象化的好处，推理。应该训练学生的逻辑推理能力，但也应适可而止。只会推理，缺乏数学直觉， 是不会有创造性的。”例4.下面的图形，先直观地看，abc的面积等于aabd与mdc的和，它们各白的面积是：aabc =-ac absin(6z + /?), aabd = -ab adsina2 2aadc = ac ad sin 于是：*mc a3sin（q + 0） 两边同除以丄acab,2dc得 sin(o + 0)=sin +

11、sin acab亦即：sin(a + 0) = sin & cos 0 + sin 0 cos a图3o这就是两角和的正弦公式。很肓观地却乂不失严格性地予以证明了。此例表明，即便是严格的证明也可以尽量使之不 过于形式化，这也是用比较浅显的儿何知识來证切比较抽象的三角公式，这是一种有 效的交叉。例5.已知在aabc与axyz中zs4 = zx,zb = zy,证明它们相似.分析：若从三角形相似的定义岀发，先要证明平行于底边的线段与其他两边相交 所构成的三角形与原三角形相似，再以此为基础，还要作一番准备才能证明，阳借用三 角形面积知识(三角与几何交叉)则既不过于形式化，又简易：由题意，显然

12、有zc = zz,由 aabc = -ab acsina =丄ab bcsinb2 2axyz 二丄xy xzsinx =-xy yzsiny2 2ab ac ab bc r ac bc即得:=或=xyxz xyyz xz yz同理可得：=.证毕yz yx数学的形式化程度是极高的，而且也是很有力量的。所以我们不能否认形式化的 重要性。但是，从认识的过程來说，从心理发展过程來说，形式上的严格化总是滞后 于直感、直觉以及通过感受、体验对内容來把握的。4. 诱导学生暴露其原有思维框架，消除思维定势的消极作用在高屮数学教学屮，我们除了传授数学知识外，还要培养学生的思维能力。思维 能力是智力与能力的核心

13、。所以诱导学生暴露其原有的思维框架，包括结论、例证、 推论等对于突破学生的数学思维障碍起到极其重要的作用。例6：在学习了“函数的奇偶性”后，学生在判断函数的奇偶性时常忽视定义域问 题，为此我们可设计如下问题：判断函数fm = 2x-(-y在区间2i - 6,2d上的奇偶性。不少学牛由 2/(-) = -/(x)立即得到/(兀)为奇函数。教师设问:(1)区间216,2d有什么意义？ (2) y = x2-定是偶函数吗？通过对这个两个问题的思考学生意识到函数/(兀)=2" - (*)"只有在。=2或。=1即定 义域关于原点对称时才是奇函数。使学生暴露观点的方法很多。例如，教师应

14、多展示思维过程。引导学生了解数学 问题的來龙去脉，明白数学家是如何发现问题，乂是怎样提出解决问题的方法的，促 使他们发展数学思维活动过程，如：“坐标轴平移” 一节的教学，联想到学过的二次函 数的图象(抛物线)变换，因此我们可以从图象变换入手，讣学牛共同参与：向左平移3个单位y =l(x + 3)2向下平移2个单位“如+ 3)2 专宀3x + |.通过图象变换，不难看出歹=丄x参考文献： 郭思乐.思维与数学教学北京师范大学出版社.2001 沈海斌.论高屮学生的数学思维障碍.河池学院学报.2004. 4 张楚廷.数学教育心理学警官教育出版社.1998 薛金星.十年高考试题全解.数学.北京教育出版社

15、.2004. 7 全国知名中学科研联合体，实施素质教育的途径与方法课题组.素质教育新教案. 数学高中(第一册上)西苑出版社.2003. 6 吴汝龙.髙中学生数学学习的心理问题及其特征.中学数学研究.2004. 3 郑隆忻.数学思维与数学方法论.华中理工人学出版社.1997.6 毛永聪.中学数学创新教法.学苑出版社.2001. 1+3x + -与，=丄*表示同样的抛物线，所不-2 2 - 2同的只是两者的顶点位置不同，这时，为了便于用坐标抛物线的性质，我们当然希望 抛物方程越简单越好。反过来，教师引导相反的思路考虑，假如不移动抛物线，而将 处标原点。移动抛物线y = -x2 +3x + -的顶点

16、。(-3,-2)建立新的处标系那2 21 951 9么，原抛方程j = -x2+3x + -就可以简化y=-x,2o因此，学生从掌握的有知识出2 22发，由“移图”逆想到“移轴”，由图彖变换过渡到坐标变换，很快掌握坐标轴平移的 方法及其公式变换，这不仅促成了学生的知识迁移，而且有助于学生对新授内容的理 解；教师也可以多剖析典型错误，使学生记忆牢固，不断地纠疋口己解题中忽视的地 方，进行总结好经验，这样使学生从正反面加深对数学知识的理解和掌握，有利于提 高学生的解题能力。女ii：求函数y = cos2x-cosx + 3的最值。错解： v = cos2 x-cosx4- 3 = (cosx)2 + 24 (cosx-丄)2 >02二函数有最小值而无最人值错解原因剖析：此解法耒顾及余弦函数的有界性，盲冃套用二次函数中口变量可 収一切实数时的配方法。事实上，当cosx = -1时，有最大值5。有时教师也可以与学 纶谈心的方法，可以用粕心设计的诊断性题目，事先了解学生可能产生的错误想法， 要运用延迟评价的原则，即待所冇学生的观点充分暴露后，再提出矛盾，以免暴鉤不 完全，解决不彻底。有时也可以设置疑难，展开讨论，疑难问题引人深思，选择学