Z变换的定义与收敛域

1、第6章 z变换, 离散系统 的z域分析求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换；z变换的历史可追溯到变换的历史可追溯到18世纪；世纪；20世纪世纪5060年代抽样数据控制系统和数字计算年代抽样数据控制系统和数字计算机的研究和实践，推动了机的研究和实践，推动了z变换的发展；变换的发展；20世纪世纪70年代引入大学课程；年代引入大学课程；主要应用于主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理分析与设计，如语音信号处理等问题。等问题。一引言连续时间系统连续时间系统离散时间系统离散时间系统拉普拉斯变换拉普拉斯变换Z变换变换本章主要讨论：本章主要讨论：vZ变换的定义变

2、换的定义v收敛域收敛域v性质性质v与傅氏变换和拉氏变换的关系与傅氏变换和拉氏变换的关系v利用利用z变换解差分方程变换解差分方程v利用利用z平面零极点的分布研究系统的特性平面零极点的分布研究系统的特性信号与系统信号与系统BUPT EEz变换的导出 抽样信号的拉氏变换抽样信号的拉氏变换离散信号的离散信号的z 变换变换)()()(sttxtxT 00)()()()(nnnTtnTxnTttx对对 取拉氏变换取拉氏变换)(stx0ss)()()()(nnTtnTxLtxLsXOt txsTT2 nTtnTx On nx1 2)(stxDA/)(nxk数字滤波器)(ngkAD/)(tg)(tp)(tx

3、00000000000s)()0()()0()()()( )()()()(e)()()(nsnTsnTnsnTnstnstnsnnsnTenTxdtenTxdtenTxdtenTtnTxdtenTtnTxsXnTxnTtnTxLsX改变积分与求和顺序略证明：senTxsXnsnTsj )()(0 其中其中为连续变量为连续变量，引入复变量引入复变量 e sTz )()(| )(0eszXznxsXnnzsT )(变换式为变换式为的（双边）的（双边）对任一信号对任一信号znx nnznxzX)()( nxnTx表示为表示为，将，将任一信号任一信号x(n) 的的z变换定义为：变换定义为： )()()

4、(nxZTznxzXnn 0)()(nnznxzXz 为复数为复数: zRe(z)+jIm(z)= |z| ejarg(z)sTze （二）（二） z变换的收敛域变换的收敛域1、收敛域的定义、收敛域的定义 nnznxzX)()( nnznx)(充要条件充要条件)()(1nuanxn 01)(nnnzazX| ,azazz )(,1)11()(1)(1)()()(1120101122azazzzazXzaazzazXnuanxnnnnnnnn 例：求下列2个序列的z变换,并指出其收敛域则：则： 1：发散：发散 nnznxzX)()( nnznx)(则：则： 1：发散：发散 =1：可能收敛也可能发

5、散：可能收敛也可能发散 nnznxzX)()( nnznx)(1有限长序列的收敛域21nnnnx ),(2右边序列的收敛域3左边序列的收敛域4双边序列的收敛域 nnnuanxn1)(21)(nnnuanxn 0 bnbnxn21),(nnnnx （1 1）有限长序列）有限长序列nnnnznxzX 21)()(u n1 0, n2 0 0 |z| v n1 0 0 |z| 0 0 |z| x n1 = 0, n2 = 0 0 |z| n1n2n1n2n1n2n1n232)()()(21nnnnnnznxznxzX3221 nn,0321012)3()2()1( )0()1()2( zzzxzxz

6、xzxzxzx常数常数所以，收敛域为所以，收敛域为 的的z平面。平面。 例 z0u n1 0, n2 0 0 |z| v n1 0 0 |z| 0 0 |z| x n1 = 0, n2 = 0 0 |z| 1, 0)(nnnx nnnznxzX 1)()(利用根值判定法利用根值判定法若 成立，则X(z)收敛1|)(|lim nnnznxnnnxz| )(|lim | 1xR u n1 0, Rx1 |z| v n1 0, Rx1 |z|因果序列是右边序列的特例，因果序列是右边序列的特例，n10 nnuanxn 0)(如如|lim| )(|lim1aanxRnnnnnx | | ROC az ：

7、n1 = 0 azzzX 00031)(nnnxn31ROCn1 = 0z平面2, 0)(nnnx nnnznxzX 2)()(u n2 0, |z| 0, 0 |z| Rx1 X2(z)的的ROC：|z| Rx2X(z)的的ROC：Rx1|z|Rx1nnnx| )(|lim v零点零点 使使X(z)取值为取值为0的的zv极点极点 使使X(z)取值为无穷大的取值为无穷大的zv极点均落在收敛域之外极点均落在收敛域之外总总 结结n10 0001)(nnn 1)0()()(0 zznzXnn mzmnZT )( 0001)(nnnu 0)()(nnnnzznuzX1 z，1 1)(321 zzzzzzX 收敛域：收敛域： 右边序列圆外的区域右边序列圆外的区域)()(nuanxn 0)(nnnzazX| ,azazz azazzzX 1 nuanxn右边序列左边序列)()(nnunx 0)()(nnnnznznnuzX用间接方法求！用间接方法求！可得：可得： 20)1( zzznnn 1: zROC)(zX 3022)1()1()()( zzzznunnunZTnn42033)1()14()()( zzzzznunnunZTnn1: zROC20)()()(azazznunanunaZTnnnn 上节内容复习n10 0)()(nnnnzznuzX1)0()()(0 z