均匀随机数的产生

1、3.3.2 均匀随机数的产生1.1.了解均匀随机数的概念；了解均匀随机数的概念；( (重点重点) )2.2.掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；掌握利用计算器（计算机）产生均匀随机数的方法；3.3.会用模拟方法求简单的几何概型的概率；会用模拟方法求简单的几何概型的概率；( (重点重点) )4.4.会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题会利用均匀随机数解决具体的有关概率的问题( (难点难点) )2.2.古典概型与几何概型的区别与联系：古典概型与几何概型的区别与联系：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个不同：古典

2、概型要求基本事件有有限个; ; 几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个. . 3.3.几何概型的概率公式：几何概型的概率公式： .构成事件 区域长度面积或体积试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积A A（）P P( (A A) )= =（） 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度度( (面积或体积面积或体积) )成比例成比例, ,则称这样的概率模型为几则称这样的概率模型为几何概率模型何概率模型, ,简称为几何概型简称为几何概型. .1.1.几何概型的定义及其特点几何概型的定义及其特点? ? 我们常用的是我们常用的是 上

3、的均匀随机数上的均匀随机数. .用计算器产生用计算器产生0 01 1之间之间的的均匀随机数，方法如下：均匀随机数，方法如下：PRBPRBRANDRAND RANDI RANDI STAT DEG STAT DEGENTERENTER RAND RAND 0.052745889 0.052745889 STAT DEG STAT DEGENTERENTER均匀随机数的产生均匀随机数的产生 0,1注意：每次结果会有不同注意：每次结果会有不同. .如何利用计算机产生如何利用计算机产生0 01 1之间的均匀随机数？之间的均匀随机数？用用ExcelExcel演示演示. .（1 1）选定）选定A A1 1

4、格，键入格，键入“RANDRAND（）（）”，按，按EnterEnter键，则在此键，则在此格中的数是随机产生的格中的数是随机产生的00，11上的均匀随机数；上的均匀随机数；（2 2）选定）选定A A1 1格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如比如A A2 2A A100100，点击粘贴，则在，点击粘贴，则在A A1 1A A100100的数都是的数都是00，11上的上的均匀随机数，这样我们很快就得到了均匀随机数，这样我们很快就得到了100100个个0 01 1之间的均匀之间的均匀随机数，相当于做了随机数，相当于做了100100次随机试验次随机试验

5、. .如果试验的结果是区间如果试验的结果是区间aa，bb上等可能出现的任何一个上等可能出现的任何一个值，则需要产生值，则需要产生aa，bb上的均匀随机数，对此，你有什上的均匀随机数，对此，你有什么办法解决？么办法解决？首先利用计算器或计算机产生首先利用计算器或计算机产生00，11上的均匀随机数上的均匀随机数X=RAND, X=RAND, 然后利用伸缩和平移变换：然后利用伸缩和平移变换： Y=XY=X* *(b(b a)a)a a计计算算Y Y的值，则的值，则Y Y为为aa，bb上的均匀随机数上的均匀随机数. .变换变换随机模拟方法随机模拟方法例例1 1 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上假

6、设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6:306:307 7：3030之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上在早上7 7：00008 8：00 00 之间，问你父亲在离开家前能得到之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件报纸（称为事件A A）的概率是多少？）的概率是多少？法一（几何法）法一（几何法）解：解：设送报人到达的时间为设送报人到达的时间为x x，父亲离开家的时间为，父亲离开家的时间为y. (x,y)y. (x,y)可以看成平面中的点可以看成平面中的点. .试验的全部结果所构成的区域面积为试验的全部结果所构成的区域面积为S S=

7、1=11=1.1=1.事件事件A A构成的区域为构成的区域为A=(x,y)|yx,6.5x7.5,7y8A=(x,y)|yx,6.5x7.5,7y8即图中的阴影部分，面积为即图中的阴影部分，面积为11171.2228AS 7( ).8ASP AS 思考思考 你能设计一种随机模拟的方法，近似计算上你能设计一种随机模拟的方法，近似计算上面事件面事件A A发生的概率吗？（包括手工的方法或用计算发生的概率吗？（包括手工的方法或用计算器、计算机的方法器、计算机的方法. .）法二（随机模拟法）法二（随机模拟法） 我们可以做两个带有指针（分针）的圆盘，标上时我们可以做两个带有指针（分针）的圆盘，标上时间，分

8、别旋转两个圆盘，记下父亲在离开家前能得到报间，分别旋转两个圆盘，记下父亲在离开家前能得到报纸的次数，则纸的次数，则( ).父亲在离家前能得到报纸的次数试验的总次数P A 1.1.设设X X、Y Y为为00，11上的均匀随机数，上的均匀随机数，6.56.5X X表示送表示送报人到达你家的时间，报人到达你家的时间，7 7Y Y表示父亲离开家的时间，若表示父亲离开家的时间，若事件事件A A发生，则发生，则X X、Y Y应满足什么关系？应满足什么关系？7 7Y 6.5Y 6.5X X，即，即YXYX0.5.0.5.2.2.如何利用计算机做如何利用计算机做100100次模拟试验，计算事件次模拟试验，计算

9、事件A A发生的频率，发生的频率，从而估计事件从而估计事件A A发生的概率？发生的概率？（1 1）在）在A A1 1A A100100，B B1 1B B100100产生两组产生两组00，11上的均匀随机数；上的均匀随机数；（2 2）选定）选定D D1 1格，键入格，键入“=A=A1 1-B-B1 1”，按，按EnterEnter键，再选定键，再选定D D1 1格，格，拖动至拖动至D D100100，则在，则在D D1 1D D100100的数为的数为X-YX-Y的值；的值；（3 3）选定）选定E E1 1格，键入格，键入“=FREQUENCY=FREQUENCY（D D1 1：D D1001

10、00，0.50.5）”，统，统计计D D列中小于列中小于0.50.5的数的频数的数的频数. .例例2 2 在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法在正方形中随机撒一把豆子，用随机模拟的方法估计圆周率的值估计圆周率的值圆的面积圆的面积正方形的面积正方形的面积解：解：豆子落在圆内的概率豆子落在圆内的概率= =落在圆中的豆子数落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数落在正方形中的豆子数圆的面积圆的面积正方形的面积正方形的面积21=.2 24 落在圆中的豆子数落在圆中的豆子数落在正方形中的豆子数落在正方形中的豆子数 4. 假设正方形的边长为假设正方形的边长为2,2,则则由于落在每个区域的豆子数是可以数出

11、来的，所以由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以. .用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：（1)1)产生两组产生两组0 01 1之间的均匀随机数，之间的均匀随机数，a a1 1=RAND,b=RAND,b1 1=RAND;=RAND;（2 2）经平移和伸缩变换，）经平移和伸缩变换，a=(aa=(a1 1-0.5)-0.5)2,b=(b2,b=(b1 1-0.5)-0.5)2;2;（3 3）数出落在圆内）数出落在圆内x x2 2+y+y2 211的点的点(a,b)(a,b)的个数的个数N N1 1，计算计算 （N N代表落在正方形中的点代表落在正

12、方形中的点(a,b)(a,b)的个数）的个数）. .14=NN 用随机模拟的方法计算不规则图形的面积用随机模拟的方法计算不规则图形的面积例例3 3 利用随机模拟方法计算图中阴影部分（利用随机模拟方法计算图中阴影部分（y=1=1和和 所围成的部分）的面积所围成的部分）的面积. .解：解：以直线以直线x=1x=1，x=-1x=-1，y=0y=0，y=1y=1为边界作矩形，用随机模为边界作矩形，用随机模拟方法计算落在抛物线区域内的拟方法计算落在抛物线区域内的均匀随机点的频率，则所求区均匀随机点的频率，则所求区域的面积域的面积= =频率频率2.2.x xy y0 01 1-1-11 12yx 用计算器

13、或计算机模拟上述过程，步骤如下：用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：（1)1)产生两组产生两组0 01 1之间的均匀随机数，之间的均匀随机数，a a1 1=RAND,b=RAND;=RAND,b=RAND;（2 2）经平移和伸缩变换，）经平移和伸缩变换，a=(aa=(a1 1-0.5)-0.5)2;2;（3 3）数出落在阴影内的样本点数）数出落在阴影内的样本点数N N1 1, ,用几何概型公式计用几何概型公式计算阴影部分的面积算阴影部分的面积. .例如做例如做1 0001 000次试验，即次试验，即N=1 000,N=1 000,模拟得到模拟得到N N1 1=698,=698,所以所以12

14、1.396.NSN 根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之根据几何概型计算概率的公式，概率等于面积之比，如果概率用频率近似表示，在不规则的图形外套比，如果概率用频率近似表示，在不规则的图形外套上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则上一个规则图形，则不规则图形的面积近似等于规则图形的面积乘频率图形的面积乘频率. .3.3.甲、乙二人约定在甲、乙二人约定在0 0点到点到5 5点之间在某地会面，先到者等点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去一个小时后即离去, ,设二人在这段时间内的各时刻到达是设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影响，求二人能会面的概率等可能的，且二人

15、互不影响，求二人能会面的概率. .解：解：以以 x , y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是分别表示甲、乙二人到达的时刻，于是0 x5,0y5.0 x5,0y5.试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为试验的全部结果构成的区域为正方形，面积为25.25.二人会面的条件是二人会面的条件是|x-y|1,|x-y|1,0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5yx54321y=x+1y=x+1记记“二人会面二人会面”为事件为事件A.A.2( )1252492=.2525P A 阴影（红色）部分的面积正方形的面积y=x-1y=x-11.1.在区间在区间aa，bb上的均匀随机数与整数值随机数的共同点

16、上的均匀随机数与整数值随机数的共同点都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任都是等可能取值，不同点是均匀随机数可以取区间内的任意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数意一个实数，整数值随机数只取区间内的整数. .2.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值知识的应用价值. .3.3.用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构用随机模拟试验求不规则图形的面积的基本思想是，构造一个包含这个图形的规则图形作为参照，通过计算机产造一个包