三角函数诱导公式

1、2. 2k2. 2k（kZkZ）与）与的三角函数的三角函数之间的关系是什么？之间的关系是什么？公式一：公式一： sin(2)sinkcos(2)cosktan(2)tankkZ3.3.你能求你能求sin750sin750和和sin930sin930的值吗？的值吗？对比对比sinsin，coscos，tantan的值，的值，的三角函数与的三角函数与的三角函数有什么关的三角函数有什么关系？系？该公式有什么特点，如何记忆？该公式有什么特点，如何记忆？ 公式二：公式二： tan)tan(cos)cos(sin)sin( 公式三：公式三： tan)tan(cos)cos(sin)sin(思考思考3 3：

2、根据三角函数定义，根据三角函数定义，的三角的三角函数与函数与的三角函数有什么关系？的三角函数有什么关系？y y的终边的终边xo o- -的终边的终边P(x,yP(x,y) )P(x,-yP(x,-y) )思考：利用思考：利用( ()，结合，结合公式二、三，你能得到什么结论？公式二、三，你能得到什么结论？ 公式四：公式四： tan)tan(cos)cos(sin)sin( 2k2k（kZkZ），），的三角函数值，等于的三角函数值，等于的同名函数的同名函数值，再放上原函数的象限符号值，再放上原函数的象限符号. . 思考：思考：公式一四都叫做诱导公式，他公式一四都叫做诱导公式，他们分别反映了们分别反

3、映了2k2k（kZkZ），），的三角函数与的三角函数与的三角的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？公式的共同特点和规律吗？ 函数同名，象限定号！函数同名，象限定号！ 2.2.以诱导公式一四为基础，还可以以诱导公式一四为基础，还可以产生一些派生公式，产生一些派生公式，如如sinsin（22）= =sinsin， sinsin（33）=sin=sin等等. .1.1.诱导公式都是恒等式，即在等式有意诱导公式都是恒等式，即在等式有意义时恒成立义时恒成立. .利用诱导公式一四，可以求任意角利用诱导公式一四，可以求任意角的三角函数，其基本思路是

4、：的三角函数，其基本思路是：这是一种化归与转化的数学思想这是一种化归与转化的数学思想. .任意负角的任意负角的三角函数三角函数任意正角的任意正角的三角函数三角函数0 022的角的角的三角函数的三角函数锐角的三角锐角的三角函数函数思考：设角思考：设角的终边与单位圆的交点为的终边与单位圆的交点为P P1 1（x x，y y），则），则 的终边与单位的终边与单位圆的交点为圆的交点为P P2 2（y y，x x），根据三角函数），根据三角函数的定义，你能获得哪些结论？的定义，你能获得哪些结论？2的终边的终边P P1 1(x(x，y)y)Oxy的终边的终边2P P2 2(y(y，x)x) 公式五：公式五

5、： sin)2cos(cos)2sin(思考：根据相关诱导公式推导，思考：根据相关诱导公式推导， ， 分别等于什么？分别等于什么？)2sin()2cos( 公式六：公式六： sin)2cos(cos)2sin(思考：思考： 与与 有什么内在联系？有什么内在联系？22)2(2思考：思考：诱导公式可统一为诱导公式可统一为的三角函数与的三角函数与的三角函数之间的关系，的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？你有什么办法记住这些公式？)Zk(2k奇变偶不变，符号看象限奇变偶不变，符号看象限.例例 化简：化简：)29)sin(-)sin(-)sin(3-cos()-211)cos(2)cos()

6、cos(-sin(20y=1y1-1y= -1正弦函数正弦函数 y=sin x(xRy=sin x(xR) ) 的图象的图象定义域为定义域为R）（Zk2k）（Zkk2xy1-1472352232223225237242x2x值域为值域为-1,1的周期为，）（2), 00sinTRxAxAy 性质二：周期性性质二：周期性)0,(2sinkZkkxy的周期正弦函数2T正弦函数正弦函数 y=sinxy=sinx 的单调性和奇偶性的单调性和奇偶性）（，减区间：Zkkk22322）（，增区间：Zkkk22221. sin、cos、tan的几何意义的几何意义. oxy11PMAT正弦线正弦线MP余弦线余弦

7、线OM正切线正切线AT想一想想一想?三角三角问题问题几何几何问题问题正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质(1) 列表列表(2) 描点描点(3) 连线连线632326567342335611202123012123212300212312,0,sinxxy2.用用描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？描点法作出函数图象的主要步骤是怎样的？-223xy0211-xy正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质2 1 函数函数2,0,sinxxy图象的几何作法图象的几何作法oxy-11-1-1oA作法作法: (1) 等分等分3232656734233561126(

8、2) 作正弦线作正弦线(3) 平移平移61P1M/1p(4) 连线连线 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质因为终边相同的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=sinx的图象在的图象在， 与与y=sinx,x0,2的图象相同的图象相同2,4 ,0 ,2,2,0,4,22 正弦曲线正弦曲线xy-1-12o462463余弦曲线（平移得到）余弦曲线（平移得到）余弦曲线（几何作法）余弦曲线（几何作法） 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质与与x轴的轴的交点交点)0 ,0(

9、)0 ,()0 ,2(图象的图象的最高点最高点图象的图象的最低点最低点) 1,(23与与x轴的轴的交点交点)0 ,(2) 0 ,(23图象的图象的最高点最高点)1 ,0() 1 ,2(图象的图象的最低点最低点) 1,( 4 关键五点关键五点 (五点作图法五点作图法)2oxy-11-13232656734233561126-oxy-11-13232656734233561126) 1 ,2(简图作法简图作法(1) 列表列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标列出对图象形状起关键作用的五点坐标)(3) 连线连线(用光滑的曲线顺次连结五个点用光滑的曲线顺次连结五个点)(2) 描点描点(定出五个关键点

10、定出五个关键点)正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质例例1画出下列函数的简图画出下列函数的简图（1）y=sinx+1, x0,2列表列表描点作图描点作图-2223211-xyo-xxsin1sinx101010210102232（2）y=cosx , x0,2解解:（1）2 , 0,sin1xxy2 , 0,sinxxy2-22311xyo-(2)xxcosxcos0223210-101-1010-12 , 0,cosxxy2 , 0 ,cosxxy 正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质y-1-12o46246)cos(cosxxysin()sin(

11、)22xx由于由于所以余弦函数所以余弦函数Rxxy,cos与函数与函数Rxxy),2sin(是同一个函数；是同一个函数；y=sinx图象左移图象左移 便得到的便得到的 图象图象2 余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 个单位长度个单位长度而得到而得到 2s in ()2yx正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质-1-oxy-111o3232656734233561126余弦函数余弦函数2 , 0,cosxxy的图象的图象-1-oxy-1121oA32326567342335611261P1M/1py正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性

12、质余弦函数的图象和性质l1M1Q2M (1) 等分等分作法：作法：(2) 作余弦线作余弦线(3) 竖立、平移竖立、平移(4) 连线连线2Qyx-1-oxy-1121oA32326567342335611261P1M/1pyoxy-11-1-1o3232656734233561126正弦函数正弦函数.余弦函数的图象和性质余弦函数的图象和性质因为终边相同的角的三角函数值相同，所以因为终边相同的角的三角函数值相同，所以y=cosx的图象在的图象在， 与与y=cosx,x0,2的图象相同的图象相同2,4 ,0 ,2,2 , 0,4 ,2余弦曲线余弦曲线2o46246xy-1-1 例例.用五点法作出下列

13、函数图象用五点法作出下列函数图象:解解:xsinx2sinx001-100020-20000 xo-1y1212-12-2-振幅变换振幅变换解解:2xsin2x001-100 x0001-100 x0 x-1oy1-周期变换周期变换解解:002-200 xxoy2-2y=sinx横坐标变为原来的横坐标变为原来的纵坐标不变纵坐标不变y=sin2x向右平移向右平移 纵坐标变为原来的纵坐标变为原来的2倍倍横坐标不变横坐标不变例小结小结: :1.对于函数对于函数 y=Asin( x+ ) (A0, 0):A - 振幅振幅,- 周期周期,- 频率频率, x+ - 相位相位, - 初相初相.2.图象的变换

14、图象的变换:(1)伸缩变换伸缩变换振幅变换振幅变换周期变换周期变换(2)平移变换平移变换上下平移上下平移左右平移左右平移( - 形状变换形状变换)( - 位置变换位置变换)y=sinx向左向左( 0)或向右或向右( 0, 0) 的图象可由的图象可由y=sinx经过如下变换得到经过如下变换得到:y=Asin( x+ ) (A0, 0) 的图象可由的图象可由y=sinx经过如下变换得到经过如下变换得到:y=sinx向左向左( 0)或向右或向右( 0)或向右或向右( 0)平移平移 个单位个单位 y=sin (x+ ) =sin( x+ )yx sinyxsin()23 例1. 用两种方法将函数的图象

15、变换为函数的图象。yxsin横坐标缩短到原来的纵坐标不变12yxsin26向左平移个单位yxxsin ()sin()2623 解法1： yxsin向左平移个单位3yxsin()312横坐标缩短到原来的纵坐标不变yxsin()23解法2： 例2. 用五点法作出函数yx223sin()的图象，并指出函数的单调区间。 解：（1）列表x 6 12 3 712 56 23x 0 2 32 2 y 0 2 0 -2 0 （2）描点（3）用平滑的曲线顺次连结各点所得图象如图所示：yAxsin()例3. 如图是函数的图象，确定A、 、的值。T 566()222Tyx22sin() 解：显然A2 x 62260

16、 x ()3yx223sin() 解法1：由图知当时，y0 故有所求函数解析式为yx 22sin6yx226sin ()yx223sin()3 解法2：由图象可知将的图象向左移 即得，即yx223sin()所求函数解析式为作法作法:(1) 等分：等分：(2) 作正切线作正切线(3) 平移平移(4) 连线连线把单位圆右半圆分成把单位圆右半圆分成8等份。等份。83488483，利用正切线画出函数利用正切线画出函数 ， 的图像的图像: : xytan 22 ，x44288838320o正切曲线032是由通过点 且与 y 轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成(,0)()2kkZ渐进线渐进线 正切函数的图像和性质正切函数的图像和性质小结：正切函数的图像和性质小结：正切函数的图像和性质 2 、 性质性质:xy tan 象象向向左左、右右扩扩展展得得到到。再再利利用用周周期期性性把把该该段段图图的的图图象象，移移正正切切线线得得、正正切切曲曲线线是是先先利利用用平平)2,2(x, xtany1 定义域：Zk,k2x|x 值域： 周期性： 奇偶性： 在每一个开区间 ， 内都是增增函数。( (- -+ + k k , ,+ + k k ) )2 22 2k kZ Z奇函数，图象关于原点对称。R(6)单调性：单调性：Z k,2kx (7)渐近线方程：渐近线方程： (5)