第07节可降阶的高阶微分方程

1、 一、引言一、引言 二、二、 型方程的求解型方程的求解 三、三、 型方程的求解型方程的求解 )()(xfyn),(yxfy 四、四、 型方程的求解型方程的求解 ),(yyfy 华南理工大学数学科学学院华南理工大学数学科学学院 杨立洪杨立洪 博士博士一、引言一、引言 二阶或二阶以上的微分方程，统称为二阶或二阶以上的微分方程，统称为高阶微高阶微我们在本章只介绍一些特殊类型的高阶微分方程的我们在本章只介绍一些特殊类型的高阶微分方程的求解方法。求解方法。2.降阶，而且要求降阶后能求解。降阶，而且要求降阶后能求解。求解方法。求解方法。1.根据高阶微分方程本身的特殊性，寻找直接的根据高阶微分方程本身的特殊

2、性，寻找直接的两条思路：两条思路：程困难得多。程困难得多。一般来说，求解高阶微分方程比一阶微分方一般来说，求解高阶微分方程比一阶微分方分方程。分方程。n阶微分方程：阶微分方程： ；,)1()(nnyyyxfy特殊类型：特殊类型： （只含（只含x）)()(xfyn二阶微分方程：二阶微分方程： ；),(yyxfy 特殊类型：特殊类型： （不显含（不显含 ）yy,)(xfy （不显含（不显含 ）y),(yxfy （不显含（不显含 ） x),(yyfy （关于线性）（关于线性）)()()(xfyxqyxpy 二、二、 型方程的求解型方程的求解)()(xfyn特征：右端只含自变量特征：右端只含自变量x

3、反复积分反复积分n次，直至求出未知函数次，直至求出未知函数 ，即：，即：y标准型：标准型： ； （1）)()(xfyn ；1)1()(cdxxfyn ； 21)2()(cxcdxdxxfyn每积分一次，增加一个任意常数，积分每积分一次，增加一个任意常数，积分n n次，共有次，共有n n个个任意常数。任意常数。 注注解法：解法：先介绍先介绍 型方程求解的例题。型方程求解的例题。)()(xfyn 122sin21coscxedxxeyxxdxcxeyx12sin21dxcxcxeyx212cos41是原方程的通解，其中，是原方程的通解，其中， 是任意常数。是任意常数。321,ccc三、例题（三、例

4、题（i i）322122sin81cxcxcxex，212cos41cxcxex，解解例例1 1 求三阶微分方程求三阶微分方程 的通解。的通解。xeyxcos2 例例2 2 设设 ，求，求 。yxxy sin)4( dxcxxy)21cos(12dxcxcxxy21361sindxcxcxcxxy322142241cos4322315261201sincxcxcxcxx。322142241coscxcxcxx，解解21361sincxcxx， 1221cos)(sincxxdxxxy，设设 ，由牛顿第二定律，得，由牛顿第二定律，得)(txx)(22tfdtxdm又又 均匀减少，均匀减少，)(t

5、fttfktftf1)(00例例3 3 质量为质量为m的质点受力的质点受力f的作用沿的作用沿 轴作直线运轴作直线运动，设力动，设力f仅是时间的函数：仅是时间的函数： ； 时，时， ；随随t增加，力增加，力f均匀地减少；直到时均匀地减少；直到时 ， 。如果开始时质点位于原点，初速度为如果开始时质点位于原点，初速度为0，求质点的，求质点的运动规律。运动规律。ox)(tff 0t0ff tt 0)(tf解解ttmfdtxd1022, 0|0tx0|0tdtdxdtttmfdtdx101202ctttmfdtctttmfx1202（通解）（通解）2132062ctctttmf再由初始条件求得，故质点的

6、运动规律为再由初始条件求得，故质点的运动规律为 tttmfx62320tt 0，标准型：标准型： (2),(yxfy 令令 则则 ，代入，得，代入，得),(xpy dxdpdxdydxdy ),(pxfdxdp四、四、 型方程的求解型方程的求解),(yxfy 特征：右端不含特征：右端不含y于一阶微分方程中的四种特殊情形之一，而且能求于一阶微分方程中的四种特殊情形之一，而且能求该方程是关于该方程是关于pp(x)的一阶微分方程，假如它属的一阶微分方程，假如它属解法：解法：出其解为出其解为 ，则有，则有),(1cxp),(1cxdxdy21),(cdxcxy为所求通解。为所求通解。于是再解一个一阶微

7、分方程，可得于是再解一个一阶微分方程，可得 下面介绍下面介绍 型的方程求解的例题。型的方程求解的例题。),(yxfy 例例4 4 设设 ， ， ，求特解。，求特解。yxyx 2)1 (21|0 xy3|0 xy设设 ，则，则 ，代入得，代入得)(xpy dxdpy 212xxpdxdp五、例题（五、例题（iiii）12ln)1ln(lncxp，这是可分离变量方程，利用分离变量法，得这是可分离变量方程，利用分离变量法，得解解将将 ， 代入得代入得 ， ，1|0 xy3|0 xy31c12c 所求特解为所求特解为 。133xxy即即 或或 ，)1 (21xcp)1 (21xcdxdy23121)3

8、()1 (cxxcdxxcy这是一个一阶微分方程。这是一个一阶微分方程。 例例5 5 解方程解方程 .yyyx ln令令 ，则，则 ，代入得，代入得)(xpy dxdpy xdxppdpln ，即，即1lnln)ln(lncxpxcep1 为所求通解为所求通解.21111cecdxeyxcxc解解标准型：标准型： (3),(yyfy 令令 则则)(ypy = ，代入得，代入得dxdydydpdxydpy )(dydpp),(pyfdydpp特征：右端不含特征：右端不含x六、六、 型方程的求解型方程的求解),(yyfy 解法：解法：该方程是该方程是 关于的一阶微分方程。如果关于的一阶微分方程。如

9、果)(ypp并能求出其解并能求出其解 ，则，则),(1cyp 为通解。为通解。 dxcydy),(1),(1cydxdp ,这也是一阶微分方程；这也是一阶微分方程；它属于一阶微分方程中的四种特殊类型之一，它属于一阶微分方程中的四种特殊类型之一，下面介绍下面介绍 型方程的求解的例题。型方程的求解的例题。),(yyfy 令令 ，则，则 ，代入得，代入得)(ypy dydppy 当当 时，即时，即 ，有，有 ；0p0 ycy 当当 时，得时，得 ,0pydypdp七、例题（七、例题（iiii）02pdydppy；解解例例6 6 解方程解方程 .02 yyy ，即，即 ；1lnlnlncypycp1

10、，或，或 ycdxdy1dxcydy1解之得：解之得： ，故通解为，故通解为 .21lnlncxcyxcecy12例例7 7 解方程解方程 .yyy212 令令 ，则，则 ，代入得，代入得)(ypy dydppy 故故 ，12lnln)1ln(cyp112ycdxdy 解之得解之得 dxdyyc11121112cxycc22121)() 1(4cxycc故通解为故通解为dyydppp1122，解解 本节主要内容如下：本节主要内容如下：1 型方程的求解；型方程的求解；)()(xfyn2 型方程的求解；型方程的求解；),(yxfy 方法：积分变换，令方法：积分变换，令 则则 ，),(xpy dxd

11、pdxdydxdy 代入，得代入，得 ，转化为一阶微分方程。，转化为一阶微分方程。),(pxfdxdp3 型方程的求解；型方程的求解；),(yyfy 关键：积分变换，令关键：积分变换，令 ，则，则)(ypy dxdydydpdxydpy )(= ，代入得，代入得 ，转化为关于，转化为关于dydpp),(pyfdydpp)(ypp小结：小结：的一阶微分方程去求解。的一阶微分方程去求解。方法：逐步积分方法：逐步积分n次，降阶。次，降阶。 本节重点介绍降阶法：对两种可降阶的本节重点介绍降阶法：对两种可降阶的对对 型方程的求解，其求解方法型方程的求解，其求解方法)()(xfyn 本节难点在本节难点在

12、中，令中，令 ，),(yyfy )(ypy 有有 ，如何理解？见辅导。，如何理解？见辅导。dydppy 重点：重点：难点：难点：本质上也是降阶法本质上也是降阶法 : 逐步积分逐步积分n次，降阶。次，降阶。代换，转化为一阶微分方程来求解。代换，转化为一阶微分方程来求解。二阶微分方程的求解问题，采用相应的变量二阶微分方程的求解问题，采用相应的变量 1 型方程的求解；型方程的求解；)()(xfyn2 型方程的求解；型方程的求解；),(yxfy 3 型方程的求解；型方程的求解；),(yyfy 主要题型：主要题型： 降阶法是一种数学思想方法，将高阶方程降降阶法是一种数学思想方法，将高阶方程降学习方法建议

13、：学习方法建议：后利用已知求解方法去求解。后利用已知求解方法去求解。阶，可以化难为易，化新题型为熟悉的题型，然阶，可以化难为易，化新题型为熟悉的题型，然 1为什么为什么 中，令中，令 降阶，要降阶，要用用 ，而不用，而不用 呢？呢？),(yyfy )(ypy dydppy dxdpy 因因 中不显含自变量中不显含自变量 x，令，令),(yyfy ，再用，再用 ，可将原方程化为仅含，可将原方程化为仅含)(ypy dydppy 反之，若用反之，若用 去代换，则得到去代换，则得到dxdpy ),(pyfdxdp学习辅导：学习辅导：这就出现了三个变量，这就出现了三个变量，x,y与与p，仍然不便于积分。

14、，仍然不便于积分。),(pyfdydp关于关于p和和y的一阶微分方程：的一阶微分方程：答：答：2 是怎样导出的？是怎样导出的？dydppy dydppdxdydydpdxdpdxdydxddxydy 22 . .答：答： 用复合函数求导法即可导出：用复合函数求导法即可导出： 1解方程：解方程： ;12)1 (2 yxyx2解方程：解方程： ； ， yy3 1)0(y2)0( y课堂练习课堂练习答案答案1解：解：这属于这属于 型；型；),(yxfy 令令 ，则，则 ，代入得，代入得)(xpy dxdpy 即即 ；221112xpxxdxdp课堂练习题解课堂练习题解这是一阶线性方程，由公式得这是一

15、阶线性方程，由公式得1212 xpdxdpx，1122122211cdxexepdxxxdxxx11ln21ln2211cdxexexx2112111xcxcxx212211ln211carctgxcxdxxcxy返回2解解这属于这属于 型；型；yyfy ,令令 代入得代入得 dydppyypy 则，将将 代入上式得代入上式得 ，所以，所以2)0(, 1)0(py01c故所求特解为故所求特解为 。1241xy2412cxy ，代入，代入y(0)=1得得c21，342ypy（舍去负根），（舍去负根），12324,3cypydydpp；返回1求求 的通解。的通解。2试求试求 的经过点的经过点m（0

16、，1）且在此点）且在此点与直线与直线 相切的积分曲线。相切的积分曲线。3求微分方程求微分方程 满足初始条满足初始条件件 的特解。的特解。4解方程解方程 .5解方程解方程 .xxey xy 12xy012 yxyx 10, 00yy012 yyy02 yyy自测题自测题答案123451解解 1cexedxxeyxxx2112cxcexedxcexeyxxxx322121232cxcxcexedxcxcexeyxxxx自测题解自测题解返回2解：解： 122cxy2131262cxcxdxcxy故所求曲线故所求曲线 .12163xxy1,21,21, 12100ccyyxx得由题设：由题设： ;返回3解：解：令令 ，原方程化为，原方程化为 dxdpyxpy 则,分离变量后并积分得分离变量后并积分得 ;21211xcpxyarc