《计算方法》实验大纲2014

1、计算方法实验大纲数学与统计学学院信息与计算科学教研室2014修订 内容提要本书内容包括：一元非线性方程的解法、线性代数方程组的直接解法、线性方程组的迭代解法、插值法和曲线拟合等主要方法简介，给出了上机实验的目的、内容，并设计了一些实验习题，最后给出了几个综合型案例供有兴趣的学生进一步研究选用。前 言随着计算机的广泛应用和迅猛发展，在各门自然科学和工程、技术科学的发展中，“数值计算”已经成为平行于理论分析和科学实验的第三种科学手段。现在，不管是在高科技领域还是在一些传统领域，数值计算都是一个不可或缺的环节。而计算方法介绍了一些基础性和应用较广的数值计算方法，使学生对计算数学的特点和计算

2、机如何解题有一个初步的了解；同时，本课程又是一门实践性较强的课程，必须通过实验课使学生对于算法如何在计算机上实现有一个感性的认识，要求学生运用matlab语言结合上机实践，掌握编写数值计算程序的基本方法，通过做一些实验性练习，强化已经学到的知识，逐步完成从学到用的过程。适用专业：信息与计算科学专业、应用数学专业四年制本科生。实验要求：1用matlab语言或你熟悉的其他算法语言遍程序，使之尽量具有通用性。2上机前充分准备，复习有关算法，写出并反复查对程序，列出上机步骤。3根据老师要求选做实验习题。4完成计算后根据要求写出计算实验报告，内容包括：实验目的，实验内容，算法步骤描述，变量说明，程序清单

3、，输出计算结果，结果分析、小结及心得体会、备注等。大纲说明1课程名称：即 计算方法2课程类型：专业课3适用专业：应用数学、信息与计算科学4课程学时与学分：8 学时数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的基础、桥梁和纽带，是架设在数学与计算机之间的一条通道。本大纲是计算方法的配套上机实验，旨在引导学生使用计算机开展数值试验，掌握数值算法和程序设计的基本原理和技能。学生通过选择算法，编写程序，分析数值结果，写数值实验报告，课堂讨论等环节的综合训练，从而逐步掌握数值试验的方法和技巧，获得多方面的计算经验。通过实验，加深学生对一些重要算法的理解，提高学生的编程能力与解决实际问题的能力，

4、培养学生应用计算方法解决工工程计算的能力，以期达到初步的科学计算和研究的目的。实验内容实验一 计算机算术的若干问题实验目的：1更深刻地理解计算机中的数的基本运算，体会误差对算法的计算结果的影响2体会算法的稳定性在选择算法中的地位实验内容：一、考虑matlab程序format longx=4/3-1y=3*xz=1-y如果是精确计算z应当是多少？实际的计算输出是？-请思考！eps,realmin,realmax是多少？二、解释下面Matlab程序的输出结果t=0.1n=1:10e=n/10-n*te的精确值应当是多少？实际的计算输出是？-请思考！三、考虑matlab程序x=0.988:0.000

5、1:1.012;y=x.7-7*x.6+21*x.5-35*x.4+35*x.3-21*x.2+7*x-1;plot(x,y)画出的是什么？与你想像中的曲线一样吗？所看到的现象是什么在起作用？-请思考！四、解释下面Matlab程序的输出结果t=0.1n=1:10e=n/10-n*te的精确值应当是多少？实际的计算输出是？-请思考！五、已知这些恒等式在计算机中还恒等吗？Matlab中运行：a=sym('sqrt(2)')a1=(a-1)6,(3-2*a)3,99-70*a;1/(1+a)6,1/(3+2*a)3,1/(99+70*a)vpa(a1,10)六、（课外练习）浮点数的加

6、法利用matlab中的rand(1,n)分别生成（0，1）区间上两组各为n个的随机数，分别存放于一维数组A和B中，记A= B=考虑如下两个和： 其中>>1，显然理论上，请通过计算看结论如何，两者是否有优劣？ 理论上S3=S4,计算结果又如何？实验要求：取n充分大（如104），mk与n同样量级，多次上述实验并记录实验结果，实验的结论是什么？七、算法的稳定性考虑积分序列，得 （1）又 （2）算法一：由（1）得 （以前数学分析中的递推公式）算法二：由（1）变形，结合（2）得到实验要求：分别用算法一、算法二计算，请判断哪种算法能给出更精确的结果。实验二 非线性方程求根实验一、方程求根方法回

7、顾(一)二分法 (二） 简单迭代法(三）牛顿法(四）弦截法二、实验目的了解迭代、不动点的基本概念。了解牛顿迭代法的基本概念，了解牛顿迭代法的收敛性和收敛速度。了解逻辑斯谛迭代中的分叉和混沌现象。三、实验方法与步骤：（一）利用迭代法求解方程：x3-x-1=0先画出函数f(x)= x3-x-1的图形，观察函数的图形可以看出，在区间1，2方程有唯一正根。迭代格式1：方程变形为先用for语句，初值设为1.5clearx=1.5;for i=1:10 x=(x+1)(1/3)end可得迭代数列的前10项，可见此迭代格式是收敛的，方程的根约为1.3247。进一步，如果要控制计算误差，如要使得计算误差小于1

8、0-5，可用while语句:n=0;e=1.0e-5;x=1.5;while abs(x-(x+1)(1/3)>e x=(x+1)(1/3); n=n+1;endx,n迭代格式2：方程变形为迭代格式3：方程变形为以上三种迭代格式收敛吗？迭代格式是否收敛的关键是什么？（二）计算平方根的迭代算法根是，构造不动点方程，来计算1做迭代函数的图形：clear;x=1.2:0.01:2;y1=x;y2=0.5*(x+2./x);plot(x,y1,x,y2)2分析迭代的收敛性。3观察迭代的收敛过程（用while语句，取迭代精度为10-10，初值为2），迭代了几次？一般，利用，(其中 a>0，

9、x0>0)来计算。4使用迭代格式计算，并比较迭代结果。（三）用牛顿法求解方程在x=0.5附近的近似根，误差不超过10-3。（四）分叉与混沌逻辑斯谛方程可写为标准形式：对于不同的r，观察数列的收敛情况：(1) 对于r=0.6,x0=0.3，n=30相应的matlab代码为：function x=luo(x0,r,n)x=zeros(1,30);x(1)=x0;for i=2:30x(i)=r*x(i-1)*(1-x(i-1);endplot(x,k-o)迭代收敛于多少？(2) 对于r=2.8,x0=0.3，n=30，从图中可知，迭代数列上下震荡，收敛于不动点(3) 对于r=3.2,x0=0

10、.3，n=40，迭代数列有什么特点？-2-循环(4) 对于r=3.46,x0=0.3，n=40呢？(5) 对于r=3.55,x0=0.3，n=100呢？(6) 对于r=3.80,x0=0.3，n=100呢？注意，当参数r的值变化时，从收敛到唯一不动点到2-循环，再从2-循环到4-循环,8-循环，这样的分裂行为成为分叉（bifurcation），对于r=3.80,x0=0.3，迭代数列不再呈现稳定的周期性，也不具有任何可预测的模式，迭代数列在（0，1）内跳来跳去，而且表现出对初始条件非常敏感的依赖性，称这种状态为混沌（chaos）。实验三 线性方程组数值解法实验一、主要算法回顾（一）高斯顺序消去

11、法（二）高斯列主元消去法（三）三对角方程组的追赶法。（四）系数矩阵为对称正定阵的平方根法。（五）雅可比迭代法(简单迭代法)（六）高斯¾¾赛德尔迭代法（七）超松弛迭代法二、实验目的：要求学生掌握求线性方程组求解的高斯顺序消去法、矩阵分解法、列主元法等，掌握线性方程组的迭代解法，对迭代法的收敛性作初步分析能用matlab语言编制程序，上机调试,进行数值实验,通过实验理解问题的病态与良态以及对算法的比较三、实验内容：（一）编写doolittle分解法程序并用书上的例题P79例3.7，进行数值实验。（二) 上机习题：给定方程组：（I） 方程组(II)是:将（I）中系数矩阵中3.01

12、该为3.00,0.987该为0.990,其他元素不变,或者自己改变原始数据,进行实验.要求：（1）用doolittle分解和列主元消去法分别求解上述方程组。（2）输出中的矩阵A及向量B，分解的L及U，解向量X。（3）输出列主元法行交换次序及解向量，并比较方程组（1）与（2）的结果。（三）编写Jacobi迭代法和G-S迭代法的程序，并利用 P92中的例3.11做数值实验。（四）考虑方程组，其中H为Hilbert矩阵， ( Matlab中H=hilb(n) )适当选择方程组的维数，并通过首先给定解再求出右端的办法确定方程组，再用列主元消去法求解，其结果如何？计算的结果说明了什么？分别构造求解该问题

13、的Jacobi迭代法和G-S迭代法，看它们是否收敛。（五）利用编写的Jacobi迭代法和G-S迭代法的程序，计算P109习题10和11题，并理论分析Jacobi迭代法和G-S迭代法的计算结果。四、完成计算后写出计算实验报告（包括实验目的、实验内容、程序清单、结果分析、心得体会）。实验四 插值实验一、主要内容回顾：（一）函数插值（二） 拉格朗日多项式（三） 均差与牛顿插值多项式（四） 分段线性插值（五） 三次样条插值函数 二、实验目的及意义 1. 了解插值的基本原理 2. 了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想； 3. 掌握用MATLAB计算三种插值的方法； 4. 掌握求解实际问题的初步

14、建模过程； 三、实验内容 1编写拉格朗日插值方法的函数M文件， 并用 P149例5.1 进行数值实验。2观察龙格现象：P166例5.63采用适当的方法求解下列问题： （1）火车行驶的路程、速度数据如下，计算从静止开始20 分钟内走过的路程。t(分)2468101214161820v(km/h)10182529322011520（2） 确定地球与金星之间的距离天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如下表：日期（号）18202224262830距离对数9.96177249.95436459.94680699.9390950

15、9.93122459.92319159.9149925由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？(3)日照时间分布 下表的气象资料是某一地区1985-1998年间不同月份的平均日照时间的观测数据（单位：小时/月），试分析日照时间的变化规律。月份123456789101112日照80.967.267.150.532.033.636.646.852.362.064.171.24画自己的左手，并在图中注明你的班级、姓名、画图的日期，输出图形为bmp格式，以你的姓名保存文件，单独将此图提交。运行figureset(gcf,'menubar','none&#

16、39;)axes('position',0 0 1 1)x,y=ginput; %将你的手放在计算机屏幕上，用鼠标取点n=length(x); %插值计算s=(1:n)'t=(1:0.05:n)'u=spline(s,x,t); % 将spline改为interp1再画一遍图形，比较效果v=spline(s,y,t);clf resetplot(x,y,'.',u,v,'-')实验报告格式一个完整的实验，应包括数据准备、理论基础、实验内容及方法，最终对实验结果进行分析，以期达到对理论知识的感性认识，进一步加深对相关算法的理解，数值

17、实验以实验报告形式完成，要求实验报告格式如下：1）实验目的首先要求每一个做实验者明确，为什么要做某个实验，实验目的是什么，做完该实验应达到什么结果，在实验过程中的注意事项，实验方法对结果的影响也可以以实验目的的形式列出。2）实验题目实验者可根据报告形式需要适当改写或重述。3）实验原理与理论基础数值实验本身就是为了加深对基础理论及方法的理解而设置的，所以要求将实验涉及到的理论基础，算法原理详尽列出。4）实验内容实验内容主要包括实验的实施方案、步骤、实验数据准备、实验的算法流程图以及可能用到的仪器设备。5）实验结果实验结果应包括实验的原始数据、中间结果及实验的最终结果，复杂的结果可以用表格形式实现

18、，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现。6）实验结果分析实验结果分析是数值实验的重要环节，只有对实验结果认真分析，才能对实验目的、实验方法进一步理解对实验的重要性充分认识，明确数值计算方法的实用范围及其优缺点。每个实验都应在计算机上实现或演示，由实验者编程实现。选做实验一、实验目的：会用所学知识解决实际问题二、实验习题：1 湖水中氯和磷的浓度之间有一定的关系，下面是一组不同湖水中的测量值。湖泊磷浓度（p）mg/m3氯浓度（c）mg/m314.50.828.02.035.51.2439.011.0519.54.4617.53.8721.05.51) 试建立用磷浓度预报氯浓度的经验公式。2) 当磷的浓度为15 mg/m3时，氯的浓度是多少？22000年悉尼奥运会上第一次列入女子举重项目。各级别冠军的成绩如下：级别kg运动员国籍体重kg抓举kg挺举kg总成绩kg48德拉诺娃保加利亚47.48 82.5102.518553杨霞中国52.4610012522558门丁维尔墨西哥56.9295127.5222.563陈晓敏中国62.82112.5130242.569李伟宁中国66.7411013224275乌鲁蒂亚哥伦比亚73.28110135245>75丁美媛中国103.56135165300试利用这些数据组建立模型,描述运动员举重