人教中考数学与一元二次方程有关的压轴题及详细答案

1、一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1.某建材销售公司在2019年第一季度销售A 8两种品牌的建材共126件，A种品牌的建 材售价为每件6000元，3种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将4种品牌的建材在上一个季度的基 础上下调4%, 4种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨4;同时，与（1）问中最低 销售额的销售量相比，A种品牌的建材的销售量增加了!", 3种品牌的建材的销售量222减少了彳。%,结果2019年第二季度的

2、销售额比（1）问中最低销售额增加= 4,求。323的值.【答案】 至多销售A品牌的建材56件;（2）。的值是30.【解析】【分析】（1）设销售A品牌的建材X件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等 式求解：（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A品牌的建材x件.根据题意，6000x + 9000（126-j）966000,解这个不等式，得1工56,答：至多销售A品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，3品牌的建材70件，根据题意，得7= (6000x56 + 9000x70) 1+ M236000（l-u%）x561 + !/%j + 9000（l + t

3、z%）x701-1«%令 = y,整理这个方程，得10，2一3），= 0,3 解这个方程，得y=o,为=而，/. aA =0 （舍去），“2=3。， 即。的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未 知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解.2.解下列方程：(1)2x2 - 4x-l=o(配方法)：(x+1)2=6x+6.【答案】X1=1+画X2=l-旦 (2)xi=-1, x2=5.22【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平 方，完成配方，再根据直接开平方法解方程

4、即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=O的形式，然后求解即可.13试题解析：由题可得，x2-2x=-, /.x2-2x+l=-.22厂.仅一1)2=；.士匹.V2 2Xl=l+ , X2=l一好L 22(2)由题可得,(x+l)2-6(x+l)=0, /. (x+l)(x+l-6)=0.二 x+l=O 或 x + 1 6=0.Xi= 1, x2=5.3 .某社区决定把一块长50?，宽30加的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴 影区域为绿化区（四块绿化区为大小形状都相同的矩形），空白区域为活动区，且四周的4 个出口宽度相同，当绿化区较长边X为何值时，活动区的面

5、积达到1344"? 50mT【答案】当x = 131时,活动区的面积达到1344m2【解析】【分析】根据”活动区的而积=矩形空地而积-阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y,则由题意得50-2x = 30-2y.即 y = x-0列方程：50x30-4xU-10） = 1344解得玉=一3（舍），x2 = 13.当x = 13加时，活动区的而积达到1344帆2【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心.4 .某水果店销售某品牌苹果，该苹果每箱的进价是40元，若每箱售价60元，每星期可 卖180箱.为了促销，该水果店决定降价销售.市

6、场调查反映:若售价每降价1元，每星期 可多卖10箱.设该苹果每箱售价x元（40女460）,每星期的销售量为y箱.（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润达到3570元？（3）当每箱售价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？【答案】X=-10x+780：57：当售价为59元时，利润最大，为3610元【解析】【分析】（1）根据售价每降价1元，每星期可多卖10箱,设售价x元,则多销售的数量为60-x,（2）解一元二次方程即可求解，（3）表示出最大利润将函数变成顶点式即可求解.【详解】解：（1） ,.售价每降价1元，每星期可多卖10箱，设该苹果每箱售价

7、x 元（40<x<60）,则 y=180+10 （60-x） =-10x+780,（40<x<60）,依题意得：（x-40） （-10x+780）=3570,解得：x=57,当每箱售价为57元时，每星期的销售利润达到3570元.（3）设每星期的利润为w,W= （x-40） （-10x+780）=-10 （x-59） 2+3610,-10<0,二次函数向下，函数有最大值，当x=59时，利润最大，为3610元.【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，中等难度，熟悉二次函数的实际应用是解题关键.5 .某新建火车站站前广场需要绿化的而积为46000米2,施工队在绿化了 22

8、000米？后， 将每天的工作量增加为原来的L5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程.（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2?（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同 的矩形绿地，它们的面积之和为56米2,两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？on20M【答案】（1）2000； （2）2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成X米2,根据题意得:46000 - 22000 46000 - 22000

9、=41.5x解得：x=2000,经检验，x=2000是原方程的解；答：该绿化项目原冲划每天完成2000平方米:（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20-3x） （8 - 2x） =560 A解得：x=2或乂=彳（不合题意，舍去）.答：人行道的宽为2米.6 .己知：关于x的一元二次方程/+（6+ 1口 + 1/-2 = 0.4（1）若此方程有两个实数根，求没初的最小整数值；（2）若此方程的两个实数根为，x2,且满足才+玉±=18-;/一¥，求“的值.【答案】（1）-4： （2） m=3【解析】【分析】（1）利用根的判别式的意义得到20,然后解不等式得到m的范围，再在此范

10、围内找出 最小整数值即可；（2）利用根与系数的关系得到玉+=一（机+ 1），%/=；/一2,然后解关于m的一 元二次方程，即可确定m的值.【详解】 解：“+（”、+ /-2 =。有两个实数根,. = (z + l)2 - 4xlx(L22)20, 42/?+9>0,9/. m > ：2m的最小整数值为：帆=-4：（2）由根与系数的关系得：玉+=一（m+ 1），不=（/一2,由 X： +京 +xxx =18 -得:-4= 18-l/n24m2 +2, 15 = 0，解得：？ = 3或? = 一5：、92加=3【点睛】本题考查了根与系数的关系：若X，X2是一元二次方程ax2+bx+c=

11、0 （axo）的两根时，则bca和根的判别式.%+占=-一，七/=也考查了根的判别式.解题的关键是熟练掌握根与系数的关系7 .如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台 风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都 属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km,此时台风 中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km.（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这饿轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会 进入台风影响区？（3）假设轮船航向

12、不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区.（2）经过15-炳h就会进入台风影响区：（3） 2厉小时.【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入今风影响区.（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可.（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影 响的时间长.【详解】解：（1）如图易知 AB'=300 - 10t, AC'=400 - 303当B/C/=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：（300 - 10t尸+（

13、400 - 30t）2=2002,整理得到：t2 - 30t+210=0,解得t=15±炳，由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入令风影响区.（2）由（1）可知经过（15 - 底）人就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为：15+厉 -（15- 岳）=2y/5 h.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x的等式是 解题关键.8 .已知关于x的一元二次方程x?-6x+ （2m+l） =0有实数根. （1）求m的取值范围：（2）如果方程的两个实数根为X】，xz，且2x】X2+x】+X2?20,求m的取值范围.【答案】（1） m

14、<4； （2） 3<m<4.【解析】试题分析：（1）根据判别式的意义得到4=（-6） 2-4 （2m+l） >0,然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到x1+X2=6, x1xz=2m+l,再利用Zxm+Xi+xzNO得到2 （2m+l） +6220,然后解不等式和利用（1）中的结论可确定满足条件的m的取值范围.试题解析：（1）根据题意得 = （-6） 24 （2m + l） >0,解得m<4：(2)根据题意得 xa+x2=6, XiX2 = 2m + l,而 2XPQ+X1 + X2220,所以 2 (2m + l) +6220,解得 m?3,而

15、m<4,所以m的范围为3<m<4.9 .关于x的一元二次方程x? - (m - 3) x - m2=0.(1)证明：方程总有两个不相等的实数根：(2)设这个方程的两个实数根为-xz，且|x1| = |x2| -2,求m的值及方程的根.【答案】(1)证明见解析；(2) x1=-l+", X2=-l-衣或【解析】试题分析：(1)根据一元二次方程的判别式 =b2- 4ac的结果判断即可，当4 >0时，有两个不相等的实数根，当=()时，有两个相等的实数根，当<()时，方程没有实数根：hc(2)根据一元二次方程根与系数的关系X1+X2=,”2二一,表示出两根的关系

16、，得到aaxi，X2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：(1) 一元二次方程X? - (m-3) x-m2=0,: a=l» b= - (m-3) =3 - m, c= - m336:,& =b2 - 4ac= (3 - m) 2 - 4xlx ( - m2) =5m2 - 6m+9=5 (m - - ) 2+,55 >0,则方程有两个不相等的实数根；C ,< 2) xi*X2= = - m2<0, Xi+X2=m - 3,a Xl, X2 异号,又|xi| 二 M| - 2,即卜1| - M|= - 2,若 x>0, x

17、2<0,上式化简得：xi+x2= - 2,m - 3= - 2,即 m=l,方程化为x2+2x - 1=0,解得：Xi= - 1+ 72 > X2= - 1 -,若 X1V0, X2>0,上式化简得：-(X1+X2)= - 2,Xi+X2=m - 3=2, RP m=5,方程化为x2 - 2x - 25=0,解得：X1=1-庄，X2=l+V26 .10.若两个一次函数的图象与X轴交于同一点，则称这两个函数为一对"X牵手函数，这个 交点为“X牵手点”.(1)一次函数y=x-1与X轴的交点坐标为； 一次函数)/=。*+2与一次函数y=x-1为一对“x牵手函数"

18、，则。=:(2)已知一对“x牵手函数J y=crx+l与y=bx - 1,其中a, b为一元二次方程x? - kx+k -4=0的两根，求它们的"x牵手点【答案】（1）（1, 0） , a= - 2； （2） “x 牵手点"为（-L 0）或（L 0）. 22【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-l与x轴的交点坐标：把一次函数y=x-l与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据"x牵手函数”的定义得到a+b=0,根据根与系数的关系求得k=0,可得方程x2-4=0,解得x1=2, X2=-2,再分两种情况：若a=2, b=-2,若a=-2, b=2,进行讨论可求 它们的“x牵手点【详解】解：（1）当 y=0 时，即 x-l = 0,所以x=1,即一次函数y=x - 1与X轴的交点坐标为（1, 0）, 由于一次函数y=ax+2与一次函数y=x-1为一对"x牵手函数”，所以0 = a+2, 解得a=-2：（2） y=ax+