二次函数与相似三角形问题(含答案)

1、综合题讲解函数中因动点产生的相似三角形问题1、如图，已知抛物线与 X交于A(-1, 0)、E(3, 0)两点，与y轴交于点B(0, 3)。(1) 求抛物线的解析式；(2) 设抛物线顶点为 D,求四边形AEDB的面积；(3) 4AOB与 DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。Word资料2、已知抛物线 y ax2 bx c经过 P(石3) E苧,0及原点O(0,0).(1)求抛物线的解析式.(2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线 PC下方的抛物线上，任取一点 Q ,过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直

2、线PC及两坐标轴围成矩形 OABC .是否存在点 Q,使得4OPC与4PQB相似？若存在，求出 Q点的坐标;若不存在，说明理由.(3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方，连结 OQ ,矩形OABC内的四个三角形 OPC , PQB , OQP, OQA之间存在怎样的关系？为什么?23、如图所不，已知抛物线 y x 1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C.(1)求A、B、C三点的坐标.(2)过点A作AP/CB交抛物线于点 P,求四边形ACBP的面积.(3)在X轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG X轴于点G,三角形与 PCA相似.若存在，请求出 M点的坐标；否则，请说明理由.,一. . 一

3、 一.一24、在平面直角坐标系 xOy中，已知二次函数y ax bx c(a 0)的图象与x轴交于A, B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C ,其顶点的横坐标为1,且过点(2,3)和(3, 12).2- 一(1)求此二次函数的表达式；(由二股式 得抛物线的解析式为 y x 2x 3) (2)若直线l :y kx(k 0)与线段BC交于点D (不与点B, C重合)，则是否存在这样的直线l ,使得以B, O, D为顶点的三角形与 ABAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；A( 1,0), B(3Q),C(0,3)试比较锐角 PCO与 ACO(3)若点P是

4、位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点, 的大小(不必证明)，并写出此时点 P的横坐标xp的取值范围.5、如图，已知抛物线y= 3x2+bx + c与坐标轴交于 A、B、C三点，A点的坐标为(一1, 0),4过点C的直线y=x 3与x轴交于点Q,点P是线段BC上的一个动点，过 P作PHLOB于点H.若 4tPB=5t,且 0vtv 1 .(1)填空：点C的坐标是_ _ b=_ _ c=_(2)求线段QH的长(用不T的式子百)；(3)依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与 COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由.6、如图，抛物线经过 A(4,0

5、)B(1,0), C(0, 2)三点.(1)求出抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点，过 P作PM x轴，垂足为M,是否存在P点，使得以A, P, M为顶点的三角形与4OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；(3)在直线AC上方的抛物线上有一点 D,使得4DCA的面积最大，求出点 D的坐标.7、已知，如图1,过点E 0, 1作平行于x轴的直线l ,抛物线y12,一，八，x2上的两点 A B的横坐标分别4为1和4,直线AB交y轴于点F ,过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点 C、D ,连接CF、DF .(1)求点A、B、F的坐标;E D图1)备用图(2)

6、求证：CF DF ；Word资料1 2(3)点P是抛物线y -x对称轴右侧图象上白一动点，过点 P作PQ，PO交x轴于点Q ,是否存在 43EDOBA x点P使得4OPQ与4CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由.9、如图，一次函数 y= 2x的图象与二次函数 y= x2+3x图象的对称轴交于点 B.(1)写出点B的坐标;(2)已知点P是二次函数y= x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，将直线y= - 2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点.若以CD为直角边的 PCD与 OCD相似，则点P的坐标为210、如图，抛物线 y ax bx 1与x轴

7、交于两点A ( 1, 0), B (1, 0),与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)过点B作BD/CA与抛物线交于点D,求四边形ACBD的面积；(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M,过M作MN，x轴于点N,使以A、M、N为顶点的三角形与BCD相似？若存在，则求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.11、已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.(1)求这个函数关系式；(2)如图所示，设二次 函数y=ax2+x+1图象的顶点为B,与y轴的交点为A, P为图象上的一点，若以线 段PB为直径的圆与直线 AB相切于点B,求P点的坐标； (3)在(2)中，若圆与x轴另一交点关

8、于直线 PB的对称点为M,若在抛物线上，求出 M点的坐标；若不在，请说明理由.2212、如图，设抛物线Ci：y ax 15, C2：y a x 15,。与C2的交点为A, B,点A的坐标是(2,4),点B的横坐标是一2.(1)求a的值及点B的坐标；(2)点D在线段AB上，过D作x轴的垂线，垂足为点H,在DH的右侧作正三角形 DHG.记过C2顶点M的直 线为l ,且l与x轴交于点N.若l过4 DHG的顶点G,点D的坐标为(1,2),求点N的横坐标;若l与 DHG的边DG相交，求点N的横坐标的取值范围.13、如图，在矩形 ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设 AP= x ,现将

9、纸片折叠，使点 D与 点P重合，得折痕EF (点E、F为折痕与矩形边的交点)，再将纸片还原。(1)当x=0时，折痕EF的长为;当点E与点A重合时，折痕EF的长为 ;(2)请写出使四边形 EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当 x=2时菱形的边长；.2(3)令EF y ,当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断VEAP与VPBF是否相似？若相似，求出 x的值；若不相似，请说明理由。L状“也留14、如图，已知 A( 4,0) , B(0,4),现以A点为位似中心，相似比为 9:4,将OB向右侧放大，B点的对应点为C.(1)求C点坐标及直线 BC的解析式；(2) 一

10、抛物线经过 B、C两点，且顶点落在 x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象(3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为3/2的点P.S24JHH参考答案例题、解:由题意可设抛物线的解析式为y a(x 2)2 1抛物线过原点， 0 a(0 2)2 11a412 L12抛物线的解析式为 y (x 2)2 1,即y -x2 x如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时，CD2ob,A4412由 0(x 2)1 得 x10,x2 4,4B(4,0),OB = 4.D点的横坐标为612将 x=6 代入 y (x 2)1,得 y=-3,4D(6,

11、-3);根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形 ODCB是平行四边形，此时D点的坐标为(-2-3),当OB为对角线即四边形 OCBD是平行四边形时，D点即为A点，此时D点的坐标为(2,1)如图2,由抛物线的对称性可知 ：AO = AB,/AOB= / ABO.BOPAAOB 相似,必须有 / POB= / BOA= / BPO设OP交抛物线的对称轴于 A点，显然A (2,-1)1,直线OP的解析式为y -x24 11 2由一x x x,24得 x1 0,x26.P(6,-3)过 P 作 PELx 轴，在 RtA BEP中,BE= 2,PE= 3,PB=而现PBOB,

12、.1.Z BOP也 BPO,. PBO与ABAO不相似，同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.所以在该抛物线上不存在点P,使得 BOP与 AOB相似.练习1、解：（1）由已知可得：3a、3b 3 755 325 3一a b 0 解之得，a bc 0.4233c 02 2 5.3 因而得，抛物线的解析式为：y -x2 x.3 3（2）存在. 22 5.3 设Q点的坐标为（m, n）,则n m m,333 2 2 5V3要使OCPs/XPBQ,史-PB,则有 3/m-3 ,即 一3一厂成一m工3CPOC 133.33解之得，mi 2 3, m2 2.当m, 2百时，n 2,即为Q

13、点，所以得Q（2向2） 3 2 2 5V3要使OCPs/qbp,EQ PB 则有 3_ m_/3 即 一33- m-/3OC CP3、33.3解之得，m1 3后 m2 73,当m 73时，即为P点， 当明 3百时,n 3,所以得Q（3石3）.故存在两个Q点使得 OCP与 PBQ相似.Q点的坐标为（262）（3%, 3）. CP 、.3°（3）在 RtzXOCP 中，因为 tan COP 所以 COP 30o . OC 3当Q点的坐标为（273,2）时， BPQ COP 30°.所以 OPQ OCP B QAO 90 0.因此，OPC.A PQB,AOPQ,AOAQ都是直角三

14、角形. , 一一 QA 、. 30又在RtAOAQ中，因为tan QOA 所以 QOA 30 .AO 3 Word资料在 ADCE 中，CD2 DE2 CE2,即有 POQ QOA QPB COP 300.所以 zOPC s pqb s oqp s oqa ,又因为 QP ± OP, QA ± OA POQ AOQ 30°,所以 zOQA ©zOQP .练习2解：（1） AOCD 与 AADE 相似。理由如下：由折叠知， CDE B 90° , . 12 90 , Q 13 900,23.又; COD DAE 90°,.OCDs/X

15、ade。AE 3（2） . tan EDA ，.设 AE=3t, AD 4贝U AD=4t。由勾股定理得DE=5t。OC AB AE EB AE DE 3t 5t 8t。由（1） /XOCDs/XADE ,得 OC CD, AD DE8t CD ,4t 5t .CD 10to (10t)2 (5t)2(52,解得 t=1。OC=8 , AE=3，点 C 的坐标为(0,8),点E的坐标为(10, 3),设直线CE的解析式为y=kx+b ,Word资料10k bb 8,3解得k ；，b 8,8,则点P的坐标为（16, 0）。（3）满足条件的直线l有2条：y= 2x+12 ,y=2x 12。如图2:

16、准确画出两条直线。练习3解：（1） Q二次函数图象顶点的横坐标为1,且过点（2,3）和（3,12),b 1,2a由 4a 2b c 3,解得1,2,9a 3b 212.3.此二次函数的表达式为2x 3.（2）假设存在直线l:ykx(k0）与线段BC交于点D （不与点B,C重合），使得以B, O, D为顶点1,x23的三角形与ABAC相似.2x 2x 3中，令y 0,则由 x 2x 3 0,解得x1A(1,0) B(3,0).0,得y3.C(0,3).设过点O的直线l交BC于点D ,过点Q点B的坐标为（3,0），点C的坐标为AB 4, OBOC 3, OBC45OBC ，32 32 3五.要使

17、/XBODs BAC或BDOsBAC,已有 BBDBOBOBDBCBABCBAD作DE，x轴于点E.（0,3），点A的坐标为（成立.若是，则有BDBO gBC而 OBC 450,BE在 RtA BDE 中,解得BEDEOEOBBE点D的坐标为将点D的坐标代入满足条件的直线BA由勾股定理，得BEDE2 BEBD9.29 （负值舍去）.444y kx(k0）中，求得3.l的函数表达式为y 3x.或求出直线AC的函数表达式为y3x 3,则与直线AC平行的直线l的函数表达式为易知ZXBOD bac ,再求出直线BC的函数表达式为x 3.联立 y 3x, yy 3x .此时x 3求得点D的坐标为44若是

18、，则有BDBO gBABC3:2而 OBC 450,BE在 RtA BDE 中,由勾股定理，得 BEDE2 BEBD2 (2历2.解得BEDE2 （负值舍去）.OEOBBE3 2 1.点D的坐标为（1,2）.将点D的坐标代入y kx（k 0）中，求得k2.满足条件的直线l的函数表达式为y 2x .存在直线l :y3x或y 2x与线段BC交于点D（不与点B, C重合），使得以B, O,D为顶点的三 3 9角形与ABAC相似，且点D的坐标分别为 一，或（1,2）.4 40）与该二次函数的图象交于点(3)设过点 C(0,3), E(1,0)的直线 y kx 3(k将点E（1,0）的坐标代入y kx

19、3中，求得k 3.此直线的函数表达式为 y 3x 3.设点P的坐标为（x, 3x3）,并代入yx2 2x 3,得 x2 5x 0 .解得a12 , a21 （不合题意，舍去）解得xi 5, x2 0 （不合题意，舍去）.x 5, y 12 .点P的坐标为（5, 12）.此时，锐角 PCOACO.又Q二次函数的对称轴为 x 1 ,点C关于对称轴对称的点 C的坐标为（2,3） .当xp 5时，锐角 PCO ACO；当xp 5时，锐角 PCO ACO;p当2 xp 5时，锐角 PCO ACO.p练习四2解：(1)令y 0,得x 1 0 解得x 1令x 0 ,得y 1 A( 1,0) B(1,0)C(

20、0, 1)(2) OA=OB=OC= 1.1. BAC= ACO= BCO= 45o AP / CB,PAB= 45o过点P作PE x轴于E,则 APE为等腰直角三角形令 OE= a ,贝U PE=a 1 P(a,a 1)点P在抛物线y x2 1上a 1 a2 1PE=3四边形ACBP的面积S =AB?OC+ AB?PE= PAB= BAC = 45oPA AC MG x轴于点G,MGA= PAC = 90o在 RtA AOC 中，OA=OC=AC= 2 2在 RtPAE 中，AE=PE=3AP= 3,2设M点的横坐标为m ,则,2(m, m 1)点M在y轴左侧时，则m(i )当AMG s PCA 时,» AG MG有=一PACA. . AG=,2 m 1m 1, MG= m2 1 即一 3.221 (舍去) m2 (舍去)3(ii)当MAG s PCA 时有AG MGCAPAm2 1一一解得：m3 2（舍去）m2M( 2,3)点M在y轴右侧时，则m(i )当 AMG sPCA时有AGPAMGCAAG= mm 13.2m2 1（舍去）m2/4 7、M( , )3 9(ii)当 MAGs PCA 时有AGMGC