数学北京理工大学工科数学分析定积分应用PPT课件

1、一.一.定积分的元素法定积分的元素法回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限第1页/共65页面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下:iiixfA )( ,1iiixx ni 11). , ;iiia bnxnnAAA 把把区区间间分分成成个个长长度度为为的的小小区区间间，相相应应的的曲曲边边梯梯形形被被分分成成个个小小窄窄曲曲边边梯梯形形，第第个个窄窄小

2、小曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为，则则的近似值的近似值计算计算iA ).2.)().31iniixfAA 的近似值，的近似值，求和，得求和，得第2页/共65页ab xyo)(xfy 4). 4). 求极限，得求极限，得A A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素第3页/共65页特点：特点：1.所求量具有代数可加性，即大区间上对应所

3、求量具有代数可加性，即大区间上对应 的量等于个小区间上对应的量的和，如面积、的量等于个小区间上对应的量的和，如面积、 质量、功、体积等；质量、功、体积等；2. 所求量在区间上分布不均匀所求量在区间上分布不均匀。第4页/共65页元素法元素法(微元法微元法)的一般步骤：的一般步骤：;,)1bax变化区间变化区间积分变量，并确定它的积分变量，并确定它的为为选取一个变量如选取一个变量如根据问题的具体情况，根据问题的具体情况，2) , ,. , ( )( )( ).a bnx xdxUUa bxf xdxf x dxUdUdUf x dx 设设法法把把区区间间分分成成个个小小区区间间，取取其其中中任任一

4、一小小区区间间并并记记为为求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量的的近近似似值值 若若能能近近似似地地表表示示为为上上的的一一个个连连续续函函数数在在处处的的值值与与的的乘乘积积，就就把把称称为为量量的的元元素素且且记记作作，即即第5页/共65页这个方法通常叫做这个方法通常叫做 微元法或元素法微元法或元素法应用方向应用方向：几何：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；几何：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；物理：功；水压力；引力和平均值等物理：功；水压力；引力和平均值等的积分表达式。的积分表达式。所求量所求量即为即为上作定积分，得上作定积分，得区间区间为被积表达式，在为被积表

5、达式，在的元素的元素以所求量以所求量UdxxfUbadxxfUba,)(,)()3 第6页/共65页二二. . 定积分的几何应用定积分的几何应用 平面图形的面积；平面图形的面积； 立体体积；立体体积； 曲线弧长。曲线弧长。第7页/共65页1. 平面图形的面积平面图形的面积1). 直角坐标下的面积公式直角坐标下的面积公式xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x 第8页/共65页)(yx )(yx dcxy0围成，则面积围成，则面积与直线与直线平面图形由曲线平

6、面图形由曲线)(,)(),(dcdycyyxyx dcdyyyA)()( 第9页/共65页解解: 两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 1 , 0, xx 作积分变量作积分变量选选dxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx ;1.22形的面积形的面积围成的图围成的图和和计算由两条抛物线计算由两条抛物线例例xyxy 第10页/共65页解：解：两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy4, 2 yy 作作积积分分变变量量，选选dyyydA 242.1842 dAAxy22 xy22 4 xy成的图

7、形的面积；成的图形的面积；所围所围和直线和直线计算由曲线计算由曲线例例422.2 xyxy第11页/共65页 8220)4(2)2(2dxxxdxxxA822822/3202/3)4(213223222 xxx18 x若若选选为为积积分分变变量量，则则第12页/共65页2). 2). 参数方程的面积公式参数方程的面积公式若所给曲线方程为若所给曲线方程为.,)()( ttyytxx.)(| )(| dttxtyA所围图形的面积为所围图形的面积为与直线与直线轴轴，的增加而增加，则由的增加而增加，则由随随连续，连续，在在，bxaxxtyytxxttxtxtytxbxax ,)(),()(,)()()

8、(,)(,)( 第13页/共65页解：解：椭圆的参数方程椭圆的参数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4 4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 202sin4.ab .13.2222的面积的面积求椭圆求椭圆例例 byax第14页/共65页；轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积的一拱与的一拱与求由摆线求由摆线例例xatayttax)0)(cos1(, )sin(. 4 )cos1(tadA 解解:ttad)cos1( ttad)cos1(2022 ttad2sin42042 )2(tu 令令uua

9、dsin8042 224408(sincos)dauuu 23 a 20Axyoa2第15页/共65页21nnnIIn2200sincosnnnIxdxxdx；()!()!()!.()!21222222121mnmmmnmm， 2/044sin xdxI22413 163 第16页/共65页,0)(, ,)( C设设求由曲线求由曲线)( r及及 ,射线射线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 .)( r x d在区间在区间, 上任取小区间上任取小区间d, 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d)(21d2 A所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为

10、 d)(212 A 3). 3). 极坐标下的面积公式极坐标下的面积公式第17页/共65页解：解：由对称性知总面积由对称性知总面积=4=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 1A1A 2cos22a ;2cos5.22的面积的面积所围成平面图形所围成平面图形求双纽线求双纽线例例 a 第18页/共65页解：解： dadA22)cos1(21 利用对称性知利用对称性知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 d).0()cos1(6. aar的面积的面积所围平面图形所围平

11、面图形求心型线求心型线例例 第19页/共65页6 4 解：解：图形关于图形关于y y轴对称，由轴对称，由 2cossin22rr216 r，交点坐标为交点坐标为求得两曲线在第一象限求得两曲线在第一象限 围成；围成；与射线与射线图形由图形由6sin2 r.62cos2围成围成与射线与射线图形由图形由 r分的面积；分的面积；的公共部的公共部与双纽线与双纽线求园求园例例 2cossin27.2 rr第20页/共65页故所求面积为：故所求面积为：2cos21)sin2(21 24/6/6/02 ddA 4/6/6/022cossin2 dd2316 第21页/共65页Oxy解：解：和第三象限，由对称性

12、和第三象限，由对称性位于第一位于第一双纽线的两个分支分别双纽线的两个分支分别 dA202212 202sin4 d. 42cos220 .2sin48.2所围图形的面积所围图形的面积求双纽线求双纽线例例 第22页/共65页xy解：解：所围图形如图所示，对称性所围图形如图所示，对称性 dA 0222)sin1(212121 022)sinsin21(2 d. 245 .sin119.面积面积所围公共部分的所围公共部分的与心形线与心形线求园求园例例 第23页/共65页小结小结求在直角坐标系下、参数方程形式下、求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积极坐标系下平面图形的面积. .（

13、注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有助于简化积分运算）积分运算）hw：p316 1(2,4,6,9),2(2),3(2),4(2),6.第24页/共65页设所给立体垂直于设所给立体垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在在则对应于小区间则对应于小区间d,xxx 的体积元素为的体积元素为xxAVd)(d 因此所求立体体积为因此所求立体体积为xxAVbad)( xabxxxd)(xA上连续上连续,2.2.立体体积立体体积1). 已知平行截面面积的立体体积已知平行截面面积的立体体积第25页/共65页解解:取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为22

14、2Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形截面面积截面面积,tan21)(2222 xRxRxA 立体体积立体体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R RR xyo xRR x立体的体积；立体的体积；所得所得，计算这平面截圆柱体，计算这平面截圆柱体并于底面交成角并于底面交成角的圆柱体的底园中心，的圆柱体的底园中心，一平面经过半径为一平面经过半径为例例 R1.第26页/共65页 hRxoxA(x)A(x)yh xRhV = RRxxAd )(. RRxxRhd hRdcos22022 hR . . .Ry. 例例2. 求以半径为求以半径为R的圆为底，平行且

15、等于底圆直径的的圆为底，平行且等于底圆直径的 线段为顶，高为线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。y第27页/共65页2). 2). 旋转体的体积旋转体的体积圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴第28页/共65页xyoabxyoab)(xfy 当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段2)(xf 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有轴轴绕绕 xbxaxfy)()( xd baV当考虑连续曲线段当考虑连续曲线段)()(dycyx 绕

16、绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有2)(y yd dcVxxoy)(yxcdy第29页/共65页xf(x)ab 曲边梯形：曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x轴旋转轴旋转 求旋转体体积求旋转体体积第30页/共65页xf(x)abx.111111111 )(xA)( 2xf baxxf)d( 曲边梯形：曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转V = 求旋转体体积求旋转体体积第31页/共65页x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴 求旋转体体积求旋转体体积

17、第32页/共65页x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴. 求旋转体体积求旋转体体积第33页/共65页x=g(y)yx0cd dcyyAVd)( )(yAy dcyygVd)(.)( 2yg. 求旋转体体积求旋转体体积.曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴第34页/共65页abf (x)yx0 求旋转体体积求旋转体体积 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴xdx第35页/共65页xabyx0)(2xxf内表面积内表面积.dx. 求旋转体体积求旋转体体积 曲边梯

18、形曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f (x)dxf (x)第36页/共65页byx0a. 求旋转体体积求旋转体体积 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f (x)dxf (x)第37页/共65页byx0a. 求旋转体体积求旋转体体积 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f (x)dxf (x)第38页/共65页0y0 xbxadx. 求旋转体体积求旋转体体积 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV

19、=2 x f (x)dxf (x)第39页/共65页f (x)Yx0bdx0yz. baxxxfVd)(a.曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴 求旋转体体积求旋转体体积 dV=2 x f (x)dx第40页/共65页积；积；轴旋转所得旋转体的体轴旋转所得旋转体的体所围图形绕所围图形绕与与求抛物线求抛物线例例yxyxy 2. 1解：解：，与与两曲线交点为两曲线交点为)1 , 1()0 , 0() 1 , 1(2xy 2yx yx0ydyy 所求旋转体体积应为所求旋转体体积应为两个曲边梯形绕两个曲边梯形绕y y 轴轴旋转所得旋转体体积旋转所得旋转体体积之差

20、，故之差，故 1022102)()(dyydyyV dyyy 104)( 103 第41页/共65页；旋转体的体积为旋转体的体积为轴旋转所成轴旋转所成绕绕证明由椭圆证明由椭圆例例22222341. 2abVxbyax 证明：证明：上半椭圆方程为：上半椭圆方程为：22xaaby aadxyV2 dxxaabaa)(2222 234ab ).(343为球半径为球半径时，为球体体积时，为球体体积特别地，特别地，aaVba 第42页/共65页另法另法 利用椭圆参数方程利用椭圆参数方程 tbytaxsincos则则xyVad202 ttabdsin232 22 ab 32 234ab 1 02 第43页

21、/共65页轴所得旋转体的体积。轴所得旋转体的体积。绕绕所围图形所围图形求星形线求星形线例例xttaytax)20(sincos. 333 xy0aa 解：解： 由对称性，有：由对称性，有： adxyV022 02/223sincos3)sin(2 tdttata 2/0973)sin(sin6 dttta310532a 3516753642sin207 dxx 29512897538642sin209 dxx 第44页/共65页心形线方程还可写为：心形线方程还可写为：)0(323232 aayx332322)(yax Vdyxaa 2 dyyaaa 33232)( 第45页/共65页该圆锥体的

22、体积。该圆锥体的体积。，试求，试求，高为，高为设一正园锥体的半径为设一正园锥体的半径为例例hr. 4),(rhhxxdxx ry0解：解：, 0,hxxhry dxxhrdV2)( , 0dxxxh 上任取一小区间上任取一小区间在在 hdxxhrV02)( .),(),0 ,(),0 , 0(轴旋转所得的旋转体轴旋转所得的旋转体形绕形绕为顶点的平面三角为顶点的平面三角该锥体可以看作是以点该锥体可以看作是以点xrhh三角形的斜边方程为：三角形的斜边方程为： hdxxhr0222 32hr 第46页/共65页),(rhhyxdyy ry0yrhh 或或dyyrhhydV)(2 轴而得轴而得看作是一

23、窄曲边梯形绕看作是一窄曲边梯形绕 x rdyyrhhyV0)(2 rrdyyrhydy02022 32hr ，故体积元为：，故体积元为：为高的矩形薄片的体积为高的矩形薄片的体积为宽为宽为长，为长，可以近似地等于以可以近似地等于以dyyrhhy,)(2 第47页/共65页体积；体积；旋转一周所得旋转体的旋转一周所得旋转体的绕直线绕直线图形图形所确定，求所确定，求与与由由设平面图形设平面图形例例225.22 xAxyxyxA21xy0ydyy ) 1 , 1 (解：解：，与与园园与与直直线线的的交交点点为为)1 , 1()0 , 0(转体的体积微元为转体的体积微元为旋转一周所得旋旋转一周所得旋图形

24、绕图形绕相应的平面相应的平面小区间小区间上取上取在在为积分变量为积分变量选选2,1 , 0. xdyyyydyxxdV)2()2(2221 dyyy)2()11(222 dyyy)1(1(222 .,11221yxyx 其中其中第48页/共65页积分得积分得: :dyyyV 1022)1(12 dyydyy 102102)1(212 tysin 令令 102202)1(2cos2dyydtt 3222 第49页/共65页解解:4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM;3046.2旋转构成旋转体

25、的体积旋转构成旋转体的体积绕直线绕直线所围成的图形所围成的图形及及求由曲线求由曲线例例 xyxy, y取积分变量为取积分变量为第50页/共65页轴所围图轴所围图及及表示表示xtxxfytV)0(, )()( 例例7 7. 设)(xfy 在在 x0 时为连续的非负函数时为连续的非负函数, 且且 ,0)0( f形绕直线形绕直线 xt 旋转一周所成旋转体体积旋转一周所成旋转体体积 ,证明证明:. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd 利用柱壳法利用柱壳法xxfxtVd)()(2d 则则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)

26、(0 )(2tft)(2tft)(2)(tftV 故故p317 8,9(1,4,6),10(2)p317 8,9(1,4,6),10(2)。第51页/共65页ox12yBC3A例例2. 2. 求曲线求曲线132 xy与与 x 轴围成的封闭图形轴围成的封闭图形绕直线绕直线 y3 旋转得的旋转体体积旋转得的旋转体体积.(94 考研考研)解解: 利用对称性利用对称性 , y10 x,22 x21 x,42x 故旋转体体积为故旋转体体积为 V432 xxd)2(321022 xxd)1(2361022 xxd) 1(22122xxd)1(22022 15448 在第一象限在第一象限 xxd)4(322

27、122 第52页/共65页Dec. 14 Fri. Dec. 14 Fri. Review Review 直角坐标方程直角坐标方程. 1一一. . 平面图形面积平面图形面积;)()()(),(,)()(围成围成图形由图形由xgxfxgyxfybxaxdxxgxfAba ;)()()(),(,)()(围成围成图形由图形由yyyxyxdycydxyyAdc 第53页/共65页参数方程下的面积公式参数方程下的面积公式. 2若所给曲线方程为若所给曲线方程为.,)()( ttyytxx.| )()(| dttxtyA围图形的面积为围图形的面积为所所轴与直线轴与直线，则由则由连续，连续，在在，bxaxxt

28、yytxxtxtytxbxax ,)(),(,)()()(,)(,)( 第54页/共65页,0)(, ,)( C设设由曲线由曲线)( r及及 ,射线射线围成的曲边扇形的面积围成的曲边扇形的面积 . d)(212 A3. 3. 极坐标下的面积公式极坐标下的面积公式第55页/共65页积积已知截面面积立体的体已知截面面积立体的体. 1二二. . 立体体积立体体积2. 2. 旋转体的体积旋转体的体积围成的立体的体积为围成的立体的体积为轴旋转一周轴旋转一周绕绕连续曲线段连续曲线段xbxaxfy)()( badxxfV2)( badxxAVbaxAxAx.)(,)()(为为上连续，所求立体体积上连续，所求立体体积在在，轴的截面面积为轴的截面面积为设所给立体垂直于设所给立体垂直于第56页/共65页围成的立体体积为围成的立体体积为轴旋转一周轴旋转一周绕绕连续曲线段连续曲线段ydycyx)()( dyyVdc 2)( . baxxxfVd)(形绕轴旋转形绕轴旋转曲边梯曲边梯0,),( ybxaxxfy第57页/共65页3. 3. 曲线的弧曲线的弧长长xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMMMMMAnni ,110并依次连接相邻分点得一