平面向量-向量的数量积

1、.设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：.答案：由与垂直，即，；，最大值为32，所以的最大值为。由得，即，所以.来源：09年高考江苏卷题型：解答题，难度：容易已知向量的夹角为60°，则的值为A.2 B.3 C.D.答案：D来源：09年陕西西安月考三题型：选择题，难度：中档设向量 （1）若与垂直，求的值； （2）求的最大值; （3）若，求证：. 答案：来源：09年高考北京卷题型：解答题，难度：中档已知向量与互相垂直，其中.（1）求和的值；（2）若，求的值. 答案：（1）与互相垂直，则，即，代入得，又，.（2），则，.来源：09年高考广东卷题型：解答题，难度：容

2、易PABCDE如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，DABABC90o，PA底面ABCD，PAABAD2，BC1，E为PD的中点.(1) 求证:CE平面PAB；(2) 求PA与平面ACE所成角的大小；(3) 求二面角EACD的大小.答案：(1) 证明：取PA的中点F，连结FE、FB，则FE/BC，且FEADBC，BCEF是平行四边形，PABCDExyzFGHCE/BF，而BFÌ平面PAB，CE/平面PAB.(2) 解：取 AD的中点G，连结EG，则EG/AP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则GEH为直线EG与平

3、面ACE所成的角.现用等体积法来求GH. VEAGCSAGC·EG又AE，ACCE，易求得SAEC，VGAEC ´´GHVEAGC，GH在RtEHG中，sinGEH，即PA与平面ACE所成的角为arcsin. (3) 设二面角EACD的大小为a.由面积射影定理得cosa，aarccos，即二面角EACD的大小为arccos.向量解法：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角系.则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，1，0)，E(0，1，1)，(2，1，0)，(0，1，1)，(0，0，2)

4、 设平面ACE的一个法向量为= (x，y，z) ， ，Þ令x1，则y2，z2，得(1，2，2) (2) 设点P在平面ACE上的射影为Q，由共面向量定理，设mn(1mn)，得m(0，0，2)n(2，1，2)(1mn)(0，1，1)(2n，1m，mn1) ，Þ解得m，n (， ，)，|. 设PA与平面ACE所成角为q，则sinq，qarcsin 别解：易得向量在n上的射影长为d=设PA与平面ACE所成角为q，则sinq，qarcsin (3) 显然，为平面ABCD的法向量，cos<,>.二面角EACD的大小为arccos 来源：1题型：解答题，难度：较难在ABC中，

5、又D在线段BC上，且满足（1）用和表示向量；（2）若和夹角为60°，试用|，|及来表示答案：（1）由及可知（1+（2）由两边取模可知，又与夹角为60°来源：1题型：解答题，难度：中档已知向量向量与向量夹角为，且.（1）求向量；（2）若向量与向量=（1，0）的夹角为，其中A，C为ABC的内角，且A，B，C依次成等差数列，试求求|+|的取值范围.答案：解：（1）设，有 1分由夹角为，有.3分由解得 即或4分 （2）由垂直知5分由2B=A+C 知6分来源：题型：解答题，难度：中档平面直角坐标系有点（1）求向量的夹角的余弦用x表示的函数f(x);（2）求的最值.答案：解：（1） （

6、2） 来源：题型：解答题，难度：中档在,内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a,b,c成等比数列，且cosB=.求cotA+cotB的值。设，求a + c 的值。答案：（I）由cosB=得，于是=(II)由得由余弦定理得，a+c=3来源：05高考题型：解答题，难度：较难已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角.答案：解：a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，(a+3b)·(7a5b)=0，(a4b)·(7a2b)=0.4分 即 两式相减：a·b=|b|2，代入得|a|2=|b|2.8分cos=.=60&#

7、176;，即a与b的夹角为60° 12分来源：题型：解答题，难度：中档.已知二次项系为m(m0)的二次函数 f(x)对任意xR,都有f(1-x)=f(1+x)成立，设向量a=(sinx,2),b=(2sinx,),c=(cos2x,1),d=(1,2). (1)分别求a·b和c·d的取值范围； (2)当x0，时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集.答案：解：(1)a·b=2sin2x+11c·d=cos2x+116分(2)f(x)= f(1+x)f(x)图象关于x=1对称1分当m>0时，f(x)在(1，+)

8、内单调递增，由f(a·b)>f(c·d)a·b>c·d,即2sin2x+1>2cos2x+1又x0， x()3分当m<0时，f(x)在(1，+)内单调递减，由f(a·b)>f(c·d)a·b>c·d,即2sin2x+1>2cos2x+1又x0,x0,3分故当m>0时不等式的解集为()；当m<0时不等式的解集为0,1分来源：07年浙江省月考四题型：解答题，难度：中档设两向量满足，的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围。答案：解：，设

9、当时，与的夹角为 来源：题型：解答题，难度：中档已知向量（1）当时，求的值；（2）（文科）求f(x)=的值域；（3）（理科）求f(x)=在上的值域.答案：（1）， （6分）（2）（文科），f（x）的值域为 （文12分）（3）（理科） ， （理12分）来源：08年高考武汉市联考一题型：解答题，难度：中档已知 、是夹角为600的两个单位向量，令向量=2+， =3+2. （1）求向量的模； （2）求向量与的夹角.答案：解：（1）6分.（2）、同法得， =，cos<,>=,<,>=1200 12分.来源：题型：解答题，难度：中档在直角坐标平面上的一列点，简记为. 若由构成的数列

10、满足，其中为方向与轴正方向相同的单位向量，则称为点列.(1)判断，是否为点列，并说明理由；(2)若为点列，且点在点的右上方. 任取其中连续三点，判断的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；(3)若为点列，正整数满足，求证： .答案：（1） ， ，显然有， 是点列. 3分（2）在中，. 5分 点在点的右上方，为点列，则. 为钝角， 为钝角三角形. 8分（3）证明 ，. . 同理. 12分由于为点列，于是， 由、可推得， 15分，即 . 16分来源：08年春季高考上海卷题型：解答题，难度：较难已知（I）求的值；（II）求证：与互相垂直；（III）设且，求的值。答案：（I）解： （

11、II）证明：， 8分（III）解：，又 来源：05北京朝阳题型：解答题，难度：中档如图，AOE和BOE都是边长为1的等边三角形，延长OB到C使|BC|t(t>0)，连AC交BE于D点.OxyABCDE(1)用t表示向量和的坐标；(2) (理)求向量和的夹角的大小。(文)当时，求向量和的夹角的大小。答案：(t+1)，(t+1)，2分t，t，又(，)，(t，(t+2)；(，)，4分(，)6分（理）(，)，···8分又|·|·10分cos<,>，向量与的夹角为60°。12分（文）由已知t，(，)，(，)·8分又|

12、，|10分q11A1B1E1ADBCEqqcos<,>，向量与的夹角为60°。来源：1题型：解答题，难度：中档向量与满足，且夹角为60°，（。求函数的解析式。当且时，求向量与向量的夹角。答案：f(x)=2x2+15x+7 =p-arccos来源：题型：解答题，难度：中档已知向量，.（）当时，求|的值；（）求函数·（）的值域.答案：（）； （）.来源：题型：解答题，难度：中档如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，是棱的中点.（1）求证:；（2）求点到平面的距离；（3）求二面角的大小.答案：证明:连接，是正方形，又，平面，又，平面，（2）解:在平面中，过点作

13、，垂足为，连接，又过点作，垂足为，则为点到平面的距离，在中，有，在中，点到平面的距离为.解法2:用等体积法，设点到平面的距离为， 在中，为直角三角形，由得， ，点到平面的距离为.（3）解:取线段的中点，连接，则，再取线段的中点，连接，是二面角的平面角，在中， ，取线段的中点，连接，则，在中，由余弦定理知，二面角的大小为.空间向量解法:（1）证明:用基向量法. 设，即， （2）解:构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算.以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角系.则，设平面的一个法向量为， ，令，则，得.，求点到平面的距离（3）解:设平面的一个法向量为. ， ，令，则，得.又设平面的一

14、个法向量为， ，令，则，得.，二面角的大小为.或者，的中点的坐标为， ，二面角的大小为.命题意图与思路点拨:认识多面体中的线面关系，求二面角，求点到平面的距离:认识多面体中的线面关系，求点到平面的距离.二面角来源：1题型：解答题，难度：较难已知向量（）向量是否共线?请说明理由.（）求函数的最大值.答案：解：（）共线.（1分） ， 共线.（5分）（）（7分）（8分）又（10分）来源：题型：解答题，难度：较难 求与向量和的夹角相等，且模为的向量的坐标。答案：解：（2分）又（4分） 与和夹角相等且（6分）故与共线，且（8分）的坐标是和（12分）来源：题型：解答题，难度：中档设向量=（1+cos，si

15、n），=（1+cos，sin），=（1，0），（0，），（，2），与的夹角为1，与的夹角为2，且12=，求的值。答案：（0，），（，2）， ，又， 又且， 来源：题型：解答题，难度：中档已知平面向量a与b不共线，若存在非零实数x, y，使得（1）当c=d时，求x, y的值；（2）若的表达式.答案：（1）由条件得：来源：题型：解答题，难度：中档CDAB四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，且，求数量积的值.答案：解：2分由 得 .4分 ADBC .6分 从而 .8分 . 12分另解： .来源：1题型：解答题，难度：中档已知向量，且与之间有关系式：，其中k0（1）试用k表示；（2）求的最小值，并

16、求此时与的夹角的值答案：（1）因为，所以， （2）由（1），当且仅当，即时取等号此时，所以的最小值为，此时与的夹角为来源：题型：解答题，难度：中档已知向量，.（1）当，且时，求的值； （2）当，且/时，求的值.答案：（1）当时，由，得， 上式两边平方得，因此，. （2）当时，由得 .即. ，或 .命题意图与思路点拨:本题考查三角函数与平面向量的综合运用，理解平面向量的平行和垂直关系，并合理转化为三角函数变形求值问题。来源：1题型：解答题，难度：中档已知a（，），b（，），a与b之间有关系式|ka+b|=|a-kb|，其中k0（1）用k表示a、b；（2）求a·b的最小值，并求此时，a与

17、b的夹角的大小答案：解析：由已知，k0，此时60°来源：题型：解答题，难度：中档已知函数的大小.答案：解法一：来源：1题型：解答题，难度：较难设向量a(cos23°，cos67°)，a(cos68°，cos22°)，u=a+tb(tR)。(1)求a·b；(2)求u的模的最小值。答案：5分 10分来源：题型：解答题，难度：中档已知： 、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（）若|，且/，求的坐标；（）若|=且与垂直，求与的夹角. 答案：（）设 3分 由 得 或 5分 （） 6分 （） 代入（）中, 9分 12分来源：题型：解答题，难

18、度：中档已知锐角ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量（1）求角B的大小；（2）求的值.答案：.解：（I） 2分 6分 （II）原式=（12分）来源：07年石家庄市模拟题题型：解答题，难度：较难已知，又，且。(1)求；(2)求。答案：（1）由>0，则，。（6分）（2）由，则，由，当时，与矛盾，故舍去。当时，可取。因此 （12分）来源：05武汉调考题型：解答题，难度：中档设，试求的值答案：sin2x+2sinxcosx-3cos2x=0tanx= -3或tanx=1 (舍去)=来源：06年湖南省三月大联考题型：解答题，难度：容易已知(1)求函数的最小正周期；(2)若，求的最大

19、值和最小值及相应的值.答案： 6分 (1)函数的最小正周期7分 (2)因为,所以,所以当，即时, 10分所以当，即时，12分来源：08年高考辽宁省联考一题型：解答题，难度：中档设、是两个不共线的非零向量（）（1）记那么当实数t为何值时，A、B、C三点共线？（2）若，那么实数x为何值时的值最小？答案：解：（1）A、B、C三点共线知存在实数即，4分则6分（2）9分当12分来源：题型：解答题，难度：中档已知ABC的面积S满足S3，且的夹角为()求的取值范围；()求函数的最值及相应的的值答案：（） ÷得： 由S3，得 （）当时，；当时，来源：06年北师大附中月考三题型：解答题，难度：中档（1

20、）已知|=4，|=3，（23）·（2+）=61，求与的夹角；（2）设=（2，5），=（3，1），=（6，3），在上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由.答案：解：（1）（23）·（2+）=61，（12分） 又|=4，|=3，·=6.（4分）. （5分） =120°.（6分） （2）设存在点M，且 （8分） 存在M（2，1）或满足题意.（12分）.来源：题型：解答题，难度：较难已知向量在区间（1，1）上是增函数，求t的取值范围.答案：解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（1，1）上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛

21、物线，来源：05年湖北题型：解答题，难度：中档已知A、B是ABC的两个内角，=cos其中、为互相垂直的单位向量，若.（I）试问tanA·tanB是否为定值.若为定值，请求出；否则请说明理由。（II）求tanC的最大值，并判断此时三角形的形状。答案：（I）,即2cos2 (2分)即 cos(A+B)+1+cos(A+B),cosAcosB=3sinAsinB.tanA·tanB=为定值。（4分）（II）tanC=tan(A+B)=tanCmax=当tanA=tanB=即A=B=30°，C=120°时取到，此时三角形为等腰钝角三角形。 (3分)来源：题型：解

22、答题，难度：中档设两个向量满足，的夹角为，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围答案：60°=1，所以又因为向量与向量的夹角为纯角，则，解到当向量与反向时，令即时，向量与向量的夹角为；t的取值范围是来源：题型：解答题，难度：中档若，,其中,记函数 (1)若图象中相邻两条对称轴间的距离不小于，求的取值范围； (2)若的最小正周期为，且当时，的最大值是，求的解析式.答案： 故 (1)由题意可知，又>0，0<1 (2) T，1 f （x）=sin(2x)kx 从而当2x即x=时fmax(x)=f()=sink=k1=k= 故f (x)=sin(2x)来源：08年高考南京市

23、月考一题型：解答题，难度：中档在直角坐标系中，已知点和点，其中. 若向量与垂直，求的值.答案：由，得，利用，化简后得，于是或，.来源：04年上海春季题型：解答题，难度：容易已知锐角ABC中，三个内角为A、B、C，两向量，是共线向量。（I）求A的大小；（II）求函数y=2sin2B+cos()取最大值时，B的大小。答案：解：(1)=(22sinA,cosA+sinA)，=(sinAcosA,1+sinA)，/（22sinA）(1+sinA)(cosA+sinA)(sinAcosA)=0; ABC为锐角形，sinA=A=60°（2）y=2sin2B+cos()=2sin2B+cos()=

24、2sin2B+cos(2B60°)=1cos2B+cos(2B60°) =1+sin(2B30°) 当B=60°时取最大值2来源：题型：解答题，难度：中档已知O为坐标原点，（，a是常数），若（I）求y关于x的函数解析式；（II）若时，的最大值为2，求a的值并指出的单调区间。答案：解：（1）2分 4分 （2）6分 ，解得时，取最大值 由，解得9分 可解得函数的单调增区间是： 单调减区间是：12分来源：题型：解答题，难度：中档在直三棱柱中，分别是的中点，是上一点，且.(I)求的长；(II)求直线与平面所成的角的大小.答案：(I)以为原点建系，易得是的中点；(

25、II)平面的一个法向量为，则.来源：07年成都市月考二题型：解答题，难度：容易BAxyOCSz如图直角梯形OABC中，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.（）求的大小（用反三角函数表示）；（）设OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）；O到平面SBC的距离.（）设 . 异面直线SC、OB的距离为 .（注：（）只要求写出答案）.答案：解：（）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0）4分（）6分, ； 12分来源：1题型：解答题，难度：较难已知二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（co

26、s2x，1），（1，2），当0，时，求不等式f（）f（）的解集答案：解析：设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1x，）因为，所以，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x1对称，若m0，则x1时，f（x）是增函数，若m0，则x1时，f（x）是减函数，当时，当时，同理可得或综上：的解集是当时，为；当时，为，或来源：题型：解答题，难度：中档设向量a（cos23°，cos67°），b（cos68°，cos22°），uatb（tR）（1）求a·b；（2）求u的模的最小值答案：a （cos23°，sin23°），

27、b （cos68°，sin68°），（1）a·b cos23°cos68°sin23°sin68° cos45°（2）a23°23°）1，b68°68°1，|u|u（atb）ab2ta·b，所以当时，|u|来源：题型：解答题，难度：中档设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),xR,且函数y=f(x)的图象经过点，（）求实数m的值；（）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合答案：（），由已知，得（）由（）得，当时，的最小值

28、为，由，得值的集合为来源：07年高考陕西卷题型：解答题，难度：容易在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，ECAC，EFAC，AB，EFEC1， 求证：平面BEF平面DEF；求二面角ABFE的大小。答案：解法1： 证明: 平面ACEF平面ABCD，ECAC，EC平面ABCD；连接BD交AC于点O，连接FO，正方形ABCD的边长为，ACBD2； 在直角梯形ACEF中，EFEC1，O为AC中点，FOEC，且FO1；易求得DFBF，DEBE，由勾股定理知 DFEF，BFEF，BFD是二面角BEFD的平面角，由BFDF，BD2可知BFD，平面BEF平面DEF （6

29、分）取BF中点M，BE中点N，连接AM、MN、AN，ABBFAF，AMBF，又MNEF，EFBF，MNBF，AMN就是二面角ABFE的平面角。易求得，；在Rt中，可求得，在中，由余弦定理求得， （12分）解法2：平面ACEF平面ABCD，ECAC，EC平面ABCD；建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则,，(2分)设平面BEF、平面DEF的法向量分别为，则 ， , .由解得,（4分），故平面BEF平面DEF（6分）设平面ABF的法向量为，解得，（8分）（10分）由图知，二面角ABFE的平面角是钝角，故所求二面角的大小为（12分）来源：07年江苏省月考四题型：解答题，难度：中档AEBCFSD如

30、图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点.（1）证明平面；（2）设，求二面角的大小.答案：AEBCFSDHGM解法一：（1）作交于点，则为的中点.连结，又，故为平行四边形.，又平面平面. 所以平面.（2）不妨设，则为等腰直角三角形.取中点，连结，则.又平面，所以，而，所以面.AAEBCFSDGMyzx取中点，连结，则.连结，则.故为二面角的平面角.所以二面角的大小为.解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系.设，则，.取的中点，则.平面平面，所以平面.（2）不妨设，则.中点EF又，,EAEF，所以向量和的夹角等于二面角的平面角.cos.所以二面角的大小为.来源：07年高考全国卷二题型：

31、解答题，难度：中档(文)如图3，已知直二面角，直线CA和平面所成的角为. (1)证明；(2)求二面角的大小.答案：(1)证明：在平面内过点C作COPQ于点O，连结OB， 因为，所以又因为CA=CB，所以OA=OB，而，所以，从而BOPQ，又COPQ，所以PQ平面OBC，因为平面OBC，故(2)解：解法一 由()知，BOPQ，又，所以过点O作OHAC于点H，连结BH，由三垂线定理知：BHAC，故是二面角的平面角。由(1)知，所以是CA和平面所成的角，即不妨设AC=2，则，在中，所以于是在中，故二面角的大小为解法二 由(1)知：，故可以O为原点，分别以直线OB、OA、OC为轴、轴、轴建立空间直角坐

32、标系（如图）。因为，所以是CA和平面所成的角，即，不妨设AC=2，则，在中，所以则相关各点的坐标分别是，所以，设是平面ABC的一个法向量，由得：取，得。易知是平面的一个法向量设二面角的平面角为，由图可知，所以故二面角的大小为来源：07年高考湖南卷题型：解答题，难度：较难如图，正三棱柱的所有棱长都为2，D为CC1中点。(1)求证：AB1平面A1BD；(2)求二面角AA1DB的大小；(3)求点C到平面A1BD的距离。答案：解法一：(1)取中点，连结为正三角形，ABCDOF正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点，在正方形中，平面(2)设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面，

33、为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又，所以二面角的大小为(3)中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由得，点到平面的距离为解法二：(1)取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，xzABCDOFy，平面(2)设平面的法向量为，令得为平面的一个法向量由(1)知平面，为平面的法向量，二面角的大小为(3)由(2)，为平面法向量，点到平面的距离来源：07年高考福建卷题型：解答题，难度：中档设两个向量、，满足|2，|1，、的夹角为60°，若向量与向量的夹角为钝角，求实数t的取值范围答案：解析：由已知得，欲使夹角为钝角，需得设，此时即时，向量与夹角为p 夹角为钝角时，t的取值范围是（-7，）（，）来源：题型：解答题，难度：较难已知向量;若