方向导数与梯度70080

1、6.6 方向导数与梯度方向导数与梯度 6.6.1 方向导数方向导数6.6.2 梯度梯度 函数的增量函数的增量f (x+x，y+y)f (x，y)与与p、p两点间的距离即两点间的距离即 1 方向导数的定义方向导数的定义 设函数设函数z=f (x，y)在点在点p(x，y)的某的某一邻域一邻域u(p)内有定义，自点内有定义，自点p引射线引射线l。设设x轴正向到射线轴正向到射线l的转角为的转角为 , ,并设并设p(x+x，y+y)为为l上的另一点上的另一点（如图）且（如图）且pu(p)。我们考虑。我们考虑的的比比值值，22)()(yx xoyyxppl6.6 方向导数与梯度方向导数与梯度 6.6.1

2、方向导数方向导数，即即记记作作lf ),(),(lim0yxfyyxxflf 当当p沿着沿着l 趋于趋于p时，如果这个比的极限存在，时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数则称这极限为函数f (x，y)在点在点p沿方向沿方向l的方向导数的方向导数 ),()sin,cos(lim0yxfyxf 方向导数与偏导数之间的关系方向导数与偏导数之间的关系 （1）从定义可知，当函数）从定义可知，当函数f (x，y)在点在点p(x，y)的的偏导数偏导数fx、fy存在时，存在时，函数函数f (x，y)在点在点p沿着沿着x轴正向轴正向e1=，,y轴正向轴正向e2=，的方向导数存在，的方向导数存在, ,且其值依

3、次为且其值依次为fx，fy. . ),()sin,cos(lim01yxfyxfef 因为因为, 0sin, 1cos ),(),(lim0yxfyxf xf yfef 2同理同理函数函数f(x，y) 在点在点p沿沿x轴负向轴负向e1=，),y轴负向轴负向e2=，的方向导数也存在，的方向导数也存在, ,且其值依次为且其值依次为fx，fy 。 ),()sin,cos(lim01yxfyxfef 因为因为, 0sin, 1cos ),(),(lim0yxfyxf xf yfef 2同理同理 （2）即使沿任何方向的方向导数都存在，也不能）即使沿任何方向的方向导数都存在，也不能保证保证fx、fy存在存

4、在 例如例如 22yxz lf 但但fx( (，) )、fy( (，) )不存在。不存在。在点在点( (，) )处处 )0 , 0()sin0 ,cos0(lim0ff 1lim0 方向导数的计算方法方向导数的计算方法 cossin,coscos)( ，则，则，的方向角为的方向角为看成向量看成向量若方向若方向l注注解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所求方向导数所求方向导数 )4sin(2)4cos( lz.22 这这里里方方向向l即即为为1, 1 pq, 21cossin,21coscos 所以所以对对于于三三元元函函数数),(zyxf

5、u ，它它在在空空间间一一点点),(zyxp沿沿着着方方向向 l 的的方方向向导导数数 ，可可定定义义为为 ),(),(lim0zyxfzzyyxxflf 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义（ 其中其中222)()()(zyx ） .coscoscos zfyfxflf 设设方方向向 l 的的方方向向角角为为 , ,cos x,cos y,cos z解解 令令, 632),(222 zyxzyxf, 44 ppxxf, 66 ppyyf, 22 ppzzf故故 zyxfffn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦为方向余弦为,142cos ,143c

6、os .141cos ppyxzxxu22866 ;146 ppyxzyyu22868 ;148 ppzyxzu22286 .14 ppzuyuxunu)coscoscos( .711 故故1 梯度的定义梯度的定义 定义定义6.6.26.6.2 设函数设函数z=f (x，y)在区域在区域d内具有一阶内具有一阶连续偏导数连续偏导数，则对每点则对每点p (x，y)d，都可定出一个都可定出一个向量向量 j ji iyfxf 这个向量称为函数这个向量称为函数z=f (x，y)在点在点p(x，y)的梯度，记作的梯度，记作:j ji ig gr ra ad dg gr ra ad dyfxfyxfyxf

7、),( ),( 即即：注注(ii)对于三元函数可类似地定义对于三元函数可类似地定义: k kj ji ig gr ra ad dzfyfxff (i) 梯度是一向量。梯度是一向量。 zfyfxf,6.6.2 梯度梯度2 梯度的性质梯度的性质 （与方向导数的关系）（与方向导数的关系） sincosyfxflf sin,cos, yfxfeyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 当当1),(cos( eyxgradf时时， lf 有有最最大大值值. 设设jie sincos 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量， 由方向导数公式知由方向导数

8、公式知 当当1),(cos( eyxgradf时时， 且最大值为梯度的模且最大值为梯度的模| ),(|yxgradf| ),(|yxgradf 经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知，经过与二元函数的情形完全类似的讨论可知，三元函数的梯度也是这样一个向量，它的方向与取三元函数的梯度也是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。的最大值。 结论结论： 函数函数z=f (x，y)在某点在某点p (x，y)处沿梯度方处沿梯度方向的方向导数最大（函数增长最快），而它的最大向的方向导数最大（函数增长最快），而它的最大值为梯度的模。值为梯度的模。 lfyfxfyxf max)()(),(22gradgrad即：即：例例3 求函数求函数f(x，y，z)=x2+y2+z2在点在点m0(1，1，2)处方向导数的最大值，及处方向导数的最大值，及m0在取得方向导数最在取得方向导数