重庆市2016中考数学第二部分题型研究二、解答题重难点突破题型四三角形四边形的证明与计算课件

1、二、解答题重难点突破二、解答题重难点突破第二部分第二部分 题型研究题型研究目目录录题型四题型四 三角形、四边形的证明与计算三角形、四边形的证明与计算 类型一类型一 有等腰直角三角有等腰直角三角,通常作底边上的通常作底边上的 高、中线或顶角的平分线高、中线或顶角的平分线 类型二类型二 有直角三角形有直角三角形,通常作斜边上的中线通常作斜边上的中线 类型三类型三 截长补短截长补短类型四类型四 构建适宜的三角形或四边形构建适宜的三角形或四边形类型五类型五 有角平分线，作到角两边的垂线有角平分线，作到角两边的垂线第二部分第二部分 题型研究题型研究二、解答题重难点突破二、解答题重难点突破类型一类型一 有

2、等腰直角三角形，通常作底边上的高、中有等腰直角三角形，通常作底边上的高、中 线或顶角的平分线线或顶角的平分线 题型四题型四 三角形、四边形的证明与计算三角形、四边形的证明与计算 典例精讲 例例 已知，四边形已知，四边形ABCD是正方形，点是正方形，点P在直线在直线BC上，上，点点G在直线在直线AD上（上（P、G不与正方形顶点重合，且在不与正方形顶点重合，且在CD的同的同侧），侧），PDPG，DFPG于点于点H，DF交直线交直线AB于点于点F，将，将线段线段PG绕点绕点P逆时针旋转逆时针旋转90得到得到线段线段PE，连接，连接EF. （1）如图）如图，当点，当点P与点与点G分别在分别在线段线段B

3、C与线段与线段AD上时，若上时，若PC=1，计算出计算出DG的长；的长；例题图例题图（2）如图）如图，当点，当点P与点与点G分别在线段分别在线段BC与线段与线段AD上时，上时，证明：四边形证明：四边形DFEP为菱形；为菱形；（3）如图）如图，当点，当点P与点与点G分别在线段分别在线段BC与线段与线段AD的延长的延长线上时，（线上时，（2）的结论：四边形）的结论：四边形DFEP为菱形是否依然成立？若成立，请给为菱形是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由出证明；若不成立，请说明理由.例题图例题图 （1）【思路分析】作）【思路分析】作PMDG于点于点M，根据等腰三角形，根据等腰三角形

4、的性质由的性质由PD=PG得得MG=MD，根据矩形的判定定理易得四边，根据矩形的判定定理易得四边形形PCDM为矩形，则为矩形，则PC=MD，于是有，于是有DG=2PC. 解解：作：作PMDG于点于点M，如解图，如解图， PD=PG, MG=MD, 四边形四边形ABCD为正方形，为正方形， 四边形四边形PCDM为矩形，为矩形， PC=MD,DG=2PC=2.例题解图例题解图M (2)【思路分析】根据四边形【思路分析】根据四边形ABCD为正方形得为正方形得AD=AB，由四边形由四边形ABPM为矩形得为矩形得AB=PM，则，则AD=PM，再利用等角再利用等角的余角相等得到的余角相等得到GDH=MPG

5、，于是可根据，于是可根据“ASA”证明证明ADF MPG，得到，得到DF=PG，加上，加上PD=PG，得到得到DF=PD，然后利用旋转的性质得，然后利用旋转的性质得EPG=90，PE=PG，所以，所以PE=PD=DF，再利用，再利用DFPG得到得到DFPE，于是可判断四边形于是可判断四边形DFEP为平行四边形，加上为平行四边形，加上DF=PD，则可，则可判断四边形判断四边形DFEP为菱形为菱形. 解解：四边形四边形ABCD为正方形，为正方形， AD=AB, 四边形四边形ABPM为矩形，为矩形， AB=PM, AD=PM, DFPG, DHG=90, GDH+DGH=90,MGP +MPG=90

6、,GDH=MPG,在在ADF和和MPG中中，A=GMP,AD=MPADF=MPG,ADF MPG(ASA),DF=PG,而而PD=PG,DF=PD,线段线段PG绕点绕点P逆时针旋转逆时针旋转90得到线段得到线段PE，EPG=90,PE=PG,PE=PD=DF,而而DFPG,DFPE,即即DFPE,且且DF=PE,四边形四边形DFEP为平行四边形，为平行四边形，DF=PD,四边形四边形DFEP为菱形为菱形. (3)【思路分析】与（【思路分析】与（2）的证明方法一样可得到四边）的证明方法一样可得到四边 形形DFEP为菱形为菱形. 解：四边形解：四边形DFEP是菱形，理由如下：是菱形，理由如下：作作

7、PMDG于点于点M，如解图，如解图，与（与（2）一样同理可证）一样同理可证ADF MPG,DF=PG,而而PD=PG,DF=PD,线段线段PG绕点绕点P逆时针旋转逆时针旋转90得到线段得到线段PE，EPG=90,PE=PG,PE=PD=DF,例题解图例题解图M而而DFPG,DFPE,即即DFPE,且且DF=PE,四边形四边形DFEP为平行四边形，为平行四边形，DF=PD,四边形四边形DFEP为菱形为菱形.第二部分第二部分 题型研究题型研究二、解答题重难点突破二、解答题重难点突破题型四题型四 三角形、四边形的证明与计算三角形、四边形的证明与计算类型二类型二 有直角三角形，通常作斜边上的中线有直角

8、三角形，通常作斜边上的中线 典例精讲 例例 某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：质时，经历了如下过程：（1）在等腰）在等腰ABC中，中，AB=AC，分别以，分别以AB、AC为斜边，为斜边，向向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图的外侧作等腰直角三角形，如图所示，其中所示，其中DFAB于点于点F,EGAC于点于点G，M是是BC的的中点，连接中点，连接MD和和ME,求证：求证： AF=AG= AB; MD=ME.21例题图例题图 （2）在任意）在任意ABC中，仍分别以中，仍分别以AB、AC为斜边，为斜边，向向ABC的内侧作等腰

9、直角三角形，如图的内侧作等腰直角三角形，如图所示，所示，M是是BC的中点，连接的中点，连接MD和和ME，试判断，试判断MDE的形状的形状.（直（直接写答案，不需要写证明过程）接写答案，不需要写证明过程）例题图例题图例题图例题图 （3）在任意）在任意ABC中，分别以中，分别以AB、AC为斜边，向为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，如图的外侧作等腰直角三角形，如图所示，所示，M是是BC的的中点，连接中点，连接MD和和ME，则，则MD与与ME有怎样的数量关系？有怎样的数量关系？ （1）【思路分析】由等腰直角三角形的性质可以得出）【思路分析】由等腰直角三角形的性质可以得出F、G分别是分别是AB、A

10、C的中点，就可以得出的中点，就可以得出FM、GM是是ABC的中位线，就可以得出的中位线，就可以得出BFM=BAC=CGM.就就可以得出可以得出DFM EGM从而得出结论从而得出结论. 证明证明：ADB、AEC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DFAB于点于点F,EGAC于点于点G， DF=AF= AB,EG=AG= AC,DFB=EGC=90， M是是BC的中点，的中点，2121FM、GM是是ABC的中位线，的中位线，FM= AC,GM= AB,FMAC,GMAB,BFM=BAC,BAC=CGM，BFM=CGM,BFM+DFB=CGM+EGC,DFM=EGM.AB=AC, AB= AC,AF

11、=AG= AB，DF=EG,FM=GM，2121212121在在DFM和和EGM中，中， DF=EG DFM=EGM FM=GM，DFM EGM(SAS),MD=ME. （2）【思路分析】取）【思路分析】取BC、AB、AC的中点的中点M、F、G，连连接接DF、MF，EG、MG，DF和和MG相交于相交于H，根据三角形的，根据三角形的中位线的性质及直角三角形斜边中线的性质可以得出中位线的性质及直角三角形斜边中线的性质可以得出DFM MGE，由全等三角形的性质就可以得出结论，由全等三角形的性质就可以得出结论. 解解：如解图：如解图，取，取BC、AB和和AC的中点的中点M、F、G，连接连接MF、DF、

12、MG、EG，DF和和MG相交于相交于H.MFAC,MF= AC,MGAB,MG= AB,四边形四边形MFAG是平行四边形，是平行四边形，MG=AF,MF=AG,AFM=AGM,ADB和和AEC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DF=AF,GE=AG,AFD=BFD=AGE=90，MF=EG,DF=MG,AFM-AFD=AGM- AGE,例题解图例题解图2121FGH即即DFM=MGE.在在DFM和和MGE中，中， FM=GE DFM=MGE ， DF=MGDFM MGE(SAS),MD=ME,MDF=EMG.MGAB,MHD=BFD=90, （3）【思路分析】取）【思路分析】取AB、AC的中

13、点的中点F、G，连接，连接DF、MF、EG、MG，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三，根据三角形的中位线的性质和等腰直角三角形的性质就可以得出四边形角形的性质就可以得出四边形AFMG是平行四边形，从而得是平行四边形，从而得出出DFM MGE,根据其性质就可以得出结论根据其性质就可以得出结论.HMD+MDF=90,HMD+EMG=90,即即DME=90，DME为为等腰直角三角形等腰直角三角形.例题解图例题解图 解解：MD=ME, 理由：如解图理由：如解图，取，取AB、AC的中点的中点F、G，连接，连接DF、MF、EG、MG, AF= AB,AG= AC. ABD和和AEC是等腰直角三角形是等腰

14、直角三角形， DFAB,DF= AB,EGAC,EG= AC, AFD=AGE=90,DF=AF,GE=AG. M是是BC的中点的中点， MFAC,MGAB,21212121FG四边形四边形AFMG是平行四边形，是平行四边形， AG=MF,MG=AF,AFM=AGM，MF=EG,DF=MG,AFM+AFD=AGM+AGE,DFM=MGE.在在DFM和和MGE中中， FM=GE DFM=MGE DF=MG,DFM MGE(SAS),DM=ME.第二部分第二部分 题型研究题型研究二、解答题重难点突破二、解答题重难点突破题型四题型四 三角形、四边形的证明与计算三角形、四边形的证明与计算类型三类型三

15、截长补短截长补短 典例精讲 例例 （20152015本溪本溪）如图）如图，在，在ABC中，中，AB=AC,射线射线BP从从BA所在位置开始绕点所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为顺时针旋转，旋转角为（0180) （1）当）当BAC=60时，将时，将BP旋转到图旋转到图位置，点位置，点D在在射线射线BP上，若上，若CDP120,证明：证明：BD=CD+AD； 例题图例题图例题图例题图 （2）当）当BAC=120时，将时，将BP旋转到图旋转到图位置，点位置，点D在射线在射线BP上，若上，若CDP=60，求证：，求证：BD-CD= AD; （3）将图）将图中的中的BP继续旋转，当继续旋转，当301

16、80时，时，点点D是直线是直线BP上一点（点上一点（点P不在线段不在线段BD上），若上），若CDP=120,试猜想：线段试猜想：线段BD、CD与与AD之间的数量关系，并证明之间的数量关系，并证明.例题图例题图3 （1）【思路分析】如解图）【思路分析】如解图，CDP=120，根据邻补，根据邻补角互补得出角互补得出CDB=60，那么，那么CDB=BAC=60，所以，所以A、B、C、D四点共圆，根据圆周角定理得出四点共圆，根据圆周角定理得出ACD=ABD;在在BP上截取上截取BE=CD,连接连接AE.利用利用SAS证明证明DCA EBA，得出得出AD=AE,DAC=EAB，再证明，再证明ADE是等边

17、三角形，是等边三角形，得到得到DE=AD，进而得出，进而得出BD=CD+AD.证明证明：如解图：如解图，CDP=120，CDB=60，BAC=60，CDB=BAC=60，A、B、C、D四点共圆，四点共圆，ACD=ABD.在在BP上截取上截取BE=CD，连接，连接AE，在在DCA与与EBA中，中， AC=AB ACD=ABE CD=BE,DCA EBA(SAS),例题解图例题解图EAD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=60，DAE=CAE+DAC=60,ADE是等边三角形，是等边三角形，DE=AD,BD=BE+DE,BD=CD+AD. (2)【思路分析】如解图【思路分析】如解图，设

18、，设AC与与BD相交于点相交于点O，在在BP上截取上截取BE=CD，连接，连接AE,过过A作作AFBD于于F.先由两角先由两角对应相等的两三角形相似得出对应相等的两三角形相似得出DOCAOB，于是，于是ACD=ABE.再利用再利用SAS证明证明DCA EBA，得出，得出AD=AE,DAC=EAB.由由CAB=CAE+EAB=120，得出得出DAE=120，根据等腰三角形的性质及三角形内角和，根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出定理求出ADE=AED= =30.解解RtADF，得，得到到DF= AD，那么，那么DE=2DF AD，进而得出，进而得出BD=DE+BE= AD+CD,即即BD-

19、CD= AD.2120-18023333 证明证明：如解图：如解图，设，设AC与与BD相交于点相交于点O，在，在BP上截取上截取BE=CD,连接连接AE，过，过A作作AFBD于于F. CDP=60， CDB=120， CAB=120， CDB=CAB, DOC=AOB， DOCAOB, ACD=ABE.例题解图例题解图EFO在在DCA与与EBA中，中， AC=AB ACD=ABE, CD=BEDCA EBA(SAS),AD=AE,DAC=EAB,CAB=CAE+EAB=120,DAE=120,ADE=AED= =30.2120-180在在RtADF中，中，ADF=30，DF= AD,DE=2D

20、F= AD,BD=DE+BE= AD+CD,BD-CD= AD.32333(3)【思路分析】同（【思路分析】同（2）证明可以得出）证明可以得出BD+CD= AD.3 解解：猜想：猜想：BD+CD= AD或或CD-BD= AD. 证明证明：如解图：如解图，在，在DB的延长线上取的延长线上取BE=CD,连接连接AE,过过A作作AFBE于于F.33由三角形外角性质得由三角形外角性质得CBE=CDB+BCD=60+BCD,又又CBE=ABC+ABE=30+ABE，ABE=30+BCD=ACB+BCD=ACD,AC=AB,CD=BE,ACD ABE（SAS）,EAB=DAC,AE=AD,EAB+BAD=

21、BAD+DAC=120,ADE=30.DE=2DF=2ADcosADF= AD, AD=BD+BE=BD+CD;3例题解图例题解图3FE如解图如解图，当点，当点P在在DB的延长线上，的延长线上，在在CD上截取上截取CE=BD,连接连接AE,过过A作作AFCD于于F.易得易得ACE ABD，AE=AD,CAE=BAD,EAD=CAE+EAB=CAB=120，在在RtDAF中中，FD=ADcosADF= AD,ED=2FD= AD,CD-BD= AD.3323例题解图例题解图EF第二部分第二部分 题型研究题型研究二、解答题重难点突破二、解答题重难点突破题型四题型四 三角形、四边形的证明与计算三角形

22、、四边形的证明与计算类型四类型四 构建适宜的三角形或四边形构建适宜的三角形或四边形 典例精讲 例例 （2015营口）（营口）（1）如图）如图，锐角，锐角ABC中分别中分别以以AB、AC为边向外作等腰为边向外作等腰ABE和等腰和等腰ACD，使，使AE=AB，AD=AC，BAE=CAD，连接，连接BD，CE，试，试猜想猜想BD与与CE的大小关系，并说明理由的大小关系，并说明理由.例题图例题图例题图例题图（2）如图）如图，四边形，四边形ABCD中，中，AB=7 cm，BC=3 cm，ABC=ACD=ADC=45，求，求BD的长的长.（3）如图）如图，在（，在（2）的条件下，当）的条件下，当ACD在线

23、段在线段AC的的左侧时，求左侧时，求BD的长的长.例题图例题图 解：解：BD=CE.理由如下：理由如下： BAE=CAD， BAE+BAC=CAD+BAC，即即EAC=BAD， 在在EAC和和BAD中，中， AE=AB EAC=BAD AC=AD， (1)【思路分析】先通过角度间的等量代换证明【思路分析】先通过角度间的等量代换证明EAC=BAD，再根据，再根据SAS即可证明即可证明EAC BAD，由全等三角形，由全等三角形的性质即可证明的性质即可证明BD=CE. EAC BAD（SAS），）， BD=CE. （2）【思路分析】在）【思路分析】在ABC的外部，以点的外部，以点A为直角顶点作为直角

24、顶点作等腰直角三角形等腰直角三角形BAE，使，使BAE=90，AE=AB，连接，连接EC，证明证明EAC BAD，证明，证明BD=CE，然后在直角三角形，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解中利用勾股定理即可求解. 解解：如解图：如解图，在，在ABC的外部，以点的外部，以点A为直角顶点为直角顶点作等腰直角三角形作等腰直角三角形BAE，使，使BAE=90，AE=AB，连接，连接EC.ACD=ADC=45，AC=AD，CAD=90，BAE+BAC=CAD+BAC，即即EAC=BAD，在在EAC和和BAD中中， AE=AB EAC=BAD AC=AD，EAC BAD（SAS），），BD=CE

25、.例题解图例题解图EAE=AB=7，BE= =7 ，ABE=AEB=45，又又ABC=45，ABC+ABE=45+45= 90，CE= = = ， BD=CE= cm.10710727722+BCBE22+3）27(22+ (3)【思路分析】在线段【思路分析】在线段AC的右侧过点的右侧过点A作作AEAB于点于点A，交交BC的延长线于点的延长线于点E，证明，证明EAC BAD，证明，证明BD=CE，即可求解即可求解.例题解图例题解图解解：如解图：如解图，在线段，在线段AC的右侧过点的右侧过点A作作AEAB于点于点A，交交BC的延长线于点的延长线于点E.AEAB，BAE=90，又又ABC=45，E

26、=ABC=45，AE=AB=7，BE= = ，又又ACD=ADC=45，BAE=DAC=90，AC=AD,7722+27EBAE-BAC=DAC-BAC，即，即EAC=BAD， 在在EAC和和BAD中，中， AE=AB EAC=BAD ， AC=ADEAC BAD（SAS），），BD=CE，BC=3，BD=CE= cm.3)-27(第二部分第二部分 题型研究题型研究二、解答题重难点突破二、解答题重难点突破题型四题型四 三角形、四边形的证明与计算三角形、四边形的证明与计算类型五类型五 有角平分线，作到角两边的垂线有角平分线，作到角两边的垂线 典例精讲 例例 （20142014重庆重庆A A卷卷）如图，）如图，ABC中，中，BAC=90，ABAC，ADBC,垂足是垂足是D，AE平分平分BAD,交交BC于点于点E.在在ABC外有一点外有一点F，使使FAAE,FCBC. （1）求证：）求证：BE=CF; ( 2 )在在AB上取一点上取一点M，使，使BM2DE,连接连接MC，交，交AD于点于点N，连接，连接ME. 求证求证:MEBC; DE=DN.例题图例题图 (1)【思路分析】要证【思路分析】要证BE=CF，通过观察图形，得其分，通过观察图形，得其分别在别在ABE与与ACF中，由于中，由于ABE与与ACF分别有一组分别有一组边相等边相等(AB=AC)，且，且BE、CF的对应角都与