矩阵及矩阵运算坐标变换

1、矩阵及矩阵运算坐标变换北京化工人学姜冬青教学目的：1）通过生动有趣的例子，贯穿本节引入 矩阵、矩阵乘法定义，；2）通过课程内容的讲解，耍求学生能够门己编程实现例子加深 対矩阵及英乘法运算的 理解；教学重点、难点：矩阵定义，矩阵乘法。教学用时：30分钟。使用建议：本例是基本的旋转变换,只要学生学习了c语言均可编程实现,算法简单,S J-实现，所灯专业均可。该例子还可用作正交矩阵和线性空间中例子。这里只是矩阵定义和乘法，并非完整教学内容。教学对象：大二，计算机专业、高分子材料专业引入：首先演示一卜示例，激发学生兴趣，让学生带着问题进入课程屮O引例平而上一点在计算机中可以通过它的坐标进行存储，如P点

2、坐标&,）以 而平面上的 一个图形町以在计算机上存储为顶点的集合，通过画出顶点，并将顶点用苴线进行相连即可得到图形。若仃”个顶点Pl，p”.，p“,则它们対应个坐标，如果将这“个坐标写成数表,既有:PiP2« 0 aPnXX1“20 9 0xnyyi丿2 儿1 矩阵的概念由恥71个数ai （/= 1,2, -,/n; 7 = 1,2, ,/!）排成的加行川列的数表173#称为m fif/i列矩阵,简称m x n矩阵,记作#或简记为A”切或）皿”，A或A = （n. ）.a”是第f行第/列的元素称为A的QJ）尤.A屮的元索全为实数的矩阵称为实矩阵，A屮的元索是复数的炬阵称为复矩

3、阵. 解决问题：平面上图形有个顶点几，几，几，则它们対应/个坐标，将这n个坐标存储在2Xn矩阵中，顶点的x坐标存储在矩阵的第一行，y坐标存储在第二行。X. X,xn即：1-n_Yi y=yn_学生课堂练习：存储一个顶点为（0, 0）,（, /）,（1,4的三角形，给出存储矩阵：ro 1 1 o'A0 1-10图形封闭，所以终点也是（0, 0）2矩阵乘法现在我们己经会将一个半面图形存储在计算机中，卜面通过改变顶点的位置，并币:新绘 制图形，实现图形变换。如果变换是线性的，则可以通过矩阵乘法实现。计算机中经常用到的一种基本几何变换为旋转变换：旋转：对象绕着处标原点旋转。一般，逆时针为正.顺

4、时针为负。X=厂 COS0 屮=厂 COS(0+0)由图可知:和. C 由三角公式可以推出：y = rsm(p /=厂 sin(O+0)r cos(8 + 0) = r(cos 0cos 0 - sm 0 sm 0) = xcos 0 - y sm 0r sui(& + 0)=厂(sin 0 cos © + cos 0 sin 0) = xsm 0 + y cos 0即x*= xcos&一 ysinOyf= xsni&+ y cos 0若将p点坐标描述为(x,y),将刃坐标描述为(,)")，定义旋转变换矩阵为:cos 0 一 sin 0 R&

5、= sin0 cos。xf= xcos&- ysinO/= XS1110+ ycos&可以表示为cos 6sin。-sin 0cos&176#与矩阵B的乘积是一个m x n矩阵C = （c） 其中定义 设A =（5）是一个加xs矩阵，B = （"）是一个sx”矩阵那末规定矩阵A#记为C = AB.注意：左边矩阵的列数等右边矩阵的行数才能定义乘积。学生课堂完成：顶点为（0, 0）,（/, /）, a, -/）的三角形,逆时针旋转90度。该图形对应的矩阵为：9 110A -0 1 -1 0变换矩阵为:cos(90) - sin(90) sm(90)cos(90)旋

6、转后的图形坐标为:-1 1 0在MATLAB中的计算结果及源程序:A2 =0 -1.0000 1.00000 1.0000 1.000000elfA=0 1 1 0;0 10;Rc=cos(pi/2) -sui(pi/2); sm(pi/2) cos(pi/2);%变换矩阵，逆时针旋转pi/2figuie(2)hold onplot(A( 1 ,：) A(2,:)%绘出初始图形axis(-1.5 1.5-1.5 1.5);%避免坐标轴改变影响图形效果A2=Rc*A;plot(A2(l,：)、A2(2,：),r)legendC原图T旋转Ju图形')当连续对图形进行旋转变换，就町以得到我们

7、丿F始看到的动画。在MATLAB中的计算结果及源程序：下面给出旋转动画程序，旋转P”6,旋转12次，即旋转1周.%动画制作程序A=0 1 1 0;0 1 -1 0;Rc叫cos(pi/6)sin(pi/6); sin(pi/6) cos(pi/6); %变换矩阵,逆时针旋转 pi/6figuic(2)plot(A( 1 ,:),A(2,:)%绘出初始图形Y=A(2,:);fill(xyb)axis(-1.5 1.5 -1.5 1.5); %避免坐标轴改变彩响图形效果% hold onpauseA2=Rc*A;for i=i:12plot(A2(l,：),A2(2,:) %绘 HJ 旋转图形x-

8、A2(l,:);尸A2(2,：)；fill(x.y,b,)axis(-1.5 1.5 15 1.5);pauseA2=Rc*A2;end练习题：计算机屮常用的一种甚木几何变换是缩放变换。缩放：指放丿、或缩小一个对彖尺寸。缩放常彊片和s、怛为正，分别用來描述X轴和y轴方 向的长度变化.缩放常駁大7表示放人图形，小丁 /表示缩小图形。英 中,x*= sxx, /= syy,变换矩阵为s, 01Ss S = ： C ，Sj Sy分别为X轴和丫轴的缩放比例。若二者不等，则图形形状改Sz，$y 0 Sv变。现请将前ihi三角形等比例、不等比例缩放。MatLab源程序：%缩放变换程序A=0 1 1 0;0 1 -1 0