三角函数化简求值证明技巧

1、三角函数化简求值证明技巧第三讲一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧1、网络tan2a二2呼 1 - tan2 Mtan(a± =tan。± tan 产1 1 tantan 产相除cos2a=cos2 a- sin2 a=2cqs2 a-1= 1-2sin2 asin2a = 2 sin acos a移项。7 2a相除%T%T噎嚏卜目加减2 Cu1 + cosa= 2 cos 21c2比l - cosa= J sin 2sin acos j6 = sinfof 十向十 sin (值 - 2Lcos Of sin = pin(of + - sin 侬-刚cosac

2、os§=工cos(&十 十 cos(a-e 2sin a sinin 也二-；cosQ+ 户)-cos(a 变形相除,A -.力+S A - B sm yl + sin d = 2 sincosa. fl-cosar tan ± J2 I + cos ersin 四 l - cosGl + cos。 sin acos j一cos £ = -2 sin sin.A . n c/ 十 Bj4 Bsm 4 - sin 5 = 2 cossin22, n - AB AB cos A 十 cos B = 2 coscos2、三角函数变换的方法总结(1)变换函数名对于

3、含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公 式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所 需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法.它实质上是“归一”思想, 通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。【例 1】己知。同时满足 asec，8-/?cos8=2a 和 Bcos28-asec8=26,且b均不为0,求a、b的关系。21 tana练习：已知 sin ( a + £) = 3 , cos (a£)=5,求 tan 的值。2)变换角的形式对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相 表示，改变原

4、角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变.它应用广泛，方式灵活，如a可变为(a+B) 8; 2a可变为(a + B) + (aB) ； 2a6 可变为(aB)+a； a /2 可看作 a / 4 的 倍角；(45° +a)可看成(90° +2a)的半角等等。【例 2】求 sin (。+75° ) +cos ( 8+45° )、二；cos (。+15° )的值。13cos(a+f) =-,cqs(g内)=一L 乂 心练习已知5- 5,求丽8 t血B的值【例3】已知sin a = Asin ( a + B ) (其中cos WA

5、),试证明：tan sin 3(a + 3) =cos,8T提示：sin (a + B) 6 = Asin ( a + 3 )(3)以式代值利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊 值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常 见且最灵活。“1” 可以看作是 sin'+cos'x, sec2xtan2x, csc2x -cot、， tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1"作某种 变形，常能获得较理想的解题方法。1, E61- sin x- cos x例 4化简：

6、l-sin4x-cos4 j(4)和积互化积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升寒和降次实际上就是和积互化 的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。例 5解三角方程：sin2x+sin22x=sin23x(5)添补法与代数恒等变换一样，在三角变换中有时应用添补法对原式作一定的添项裂 项会使某些问题很便利地得以解决。将原式“配”上一个因子，同时除以这个sin 2x式子也是添补法的一种特殊情形。1 + cos x【例 6】 求证：(smx + cosx-l)(sin x-cosx + 1) = sin a（6）代数方法三角问题有时稍作置换，用各种代数方法对三角函数式作因式分解、等量置 换等的变形，从

7、而将三角问题转换成代数问题来解，而且更加简捷。这其中有 设元转化、利用不等式等方法。.4-4sm & cos a .2-+2- = 1【例7】锐角a、B满足条件B他B ,则下列结论中正确的是7TB. a+B<27TC. a+3 > 2(7)数形结合有的三角变换问题蕴含着丰富的几何直观，此时若能以数思形，数形渗透， 两者交融，则可开辟解题捷径。利用单位圆，构造三角形，利用直线、曲线的 方程等方法都是数形结合的思想。sina+sin #二 cosa+cos 户二口 ( 品【例9】已知：心力求同(&+为的值。5.非特殊角的化简、求值问题的解题方法探究非特殊角的化简求值是给

8、角求值中一类常见的三角求值类型，对于此类 求值问题，由于涉及到的三角公式及其变形灵活多样，因而如何利用三角公式 迅速准确的求值应是解决这类问题的重点，现在我们通过一个题目的解法探寻, 体会非特殊角三角函数的求法。【题目】求？=同20。+ 49也20°的值。练习一< 8 < r;1若42 ,则Jl-初28的值为()A.cos 6-sin QB. sin 9-cos 0近sm 6D.而cos 3.442函数?二以11 x+cos n的值域是(°B.C.43.已知等腰三角形顶角的余弦值等于5，则这个三角形底角的正弦值为( )巫A.10B.710一记C.3a3、何丁D.

9、 .丁tan 70 cos 10* (75 tan 20 -1VzI等于(A. -1B.1C.2D. -2二、辅助角公式及其应用辅助角公式对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如 下：y=asinx=bcosx=+b2(sinx , " +cosx ,卜 )o1求周期例1求函数y = 2cos(x + 2)cos(x一为+ V5sin2.x的最小正周 44期。2.求最值例 2.已知函数 f (x)=cos'x-Zsinxcosx-sin'x。若xe呜,求f(x)的最大值和最小值。3求值域例 4.求 函 数f(x) = cos(" + 1 乃 + 2x) + cos(6) ! ri - 2x) + 2>/3 sin( + 2x)(x wR,k eZ) 的值域。4图象对称问题 例6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=q对称，那么a=() 0(A) V2 (B) -V2 (C) 1 (D) -15.图象变换 例7已知函数丫=:3 2+£$亩乂必乂+1*1。该函数的图象 可由 y = sin x(,v e R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变 换得到？6.求值例 8.已知函数 f (x)=-AiMx+sinxcosx。设 a£ (0,冗)，f(9)=