大学物理：量子物理基础6-5

1、第十六章 量子物理基础116.6 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程如何描写具有波粒二象性的微观粒子的运动状态？如何描写具有波粒二象性的微观粒子的运动状态？波动性：波动性： 波动方程波动方程粒子性：粒子性： 矩阵力学矩阵力学1926 薛定谔薛定谔（Schrodinger）2()0( , )exit x t其物质波是单色平面波其物质波是单色平面波:1925 海森伯海森伯（Heisnberg）一一. 波函数波函数 1. 自由粒子的波函数自由粒子的波函数( , )cos2 ()xy x tAt 2()exitA ()0eiEtpxEhhp0eeiipxEt第十六章 量子物理基础216.6 波函数波函

2、数 薛定谔方程薛定谔方程2. 波函数的物理意义：波函数的物理意义：2| ),(|trVtrtrVtrWd),(),(d| ),(|d*21) 时刻时刻 t , 粒子在空间粒子在空间 r 处处 dV 体积内出现的概率体积内出现的概率1ddd| ),(|2zyxtr2) 归一化条件归一化条件 (粒子在整个空间出现的概率为粒子在整个空间出现的概率为1) 3) 波函数必须单值、有限、连续波函数必须单值、有限、连续 t 时刻，粒子在空间时刻，粒子在空间 处的处的单位体积中出现的概率，又称为概率密度单位体积中出现的概率，又称为概率密度r第十六章 量子物理基础316.6 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程电

3、子数电子数 N=7电子数电子数 N=100电子数电子数 N=3000电子数电子数 N=20000电子数电子数 N=70000单个粒子在哪一处出现是偶然事件；单个粒子在哪一处出现是偶然事件；4) 大量粒子的分布有确定的统计规律。大量粒子的分布有确定的统计规律。出现概率小出现概率小出现概率大出现概率大电电子子双双缝缝干干涉涉图图样样第十六章 量子物理基础416.6 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程二二. 薛定谔方程薛定谔方程 (1926年年)描述微观粒子在外力场中运动的微分方程描述微观粒子在外力场中运动的微分方程 。2222222( , )( , )( , )2r tV r tr timxyzt

4、 关于时间和空间位置的二阶线性偏微分方程关于时间和空间位置的二阶线性偏微分方程. 质量质量 m 的粒子在外力场中运动，势能函数的粒子在外力场中运动，势能函数 ，薛定，薛定谔方程为谔方程为( , )V r t 量子力学的基本方程量子力学的基本方程. 低速微观粒子在外力场中运动，其波函数满足的方程低速微观粒子在外力场中运动，其波函数满足的方程.第十六章 量子物理基础516.6 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程2222( )( )0m rEV rx一维定态薛定谔方程一维定态薛定谔方程粒子能量粒子能量描述外力场的描述外力场的势能函数势能函数0( , )eeiipxEt x t自由粒子波函数自由粒子波

5、函数 若已知若已知m，V，结合初始条件、边界条件、归一化条，结合初始条件、边界条件、归一化条件，便可由上式求解波函数，进而可得粒子在某处或件，便可由上式求解波函数，进而可得粒子在某处或某空间出现的几率。某空间出现的几率。第十六章 量子物理基础616.6 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程三三. 一维无限深势阱中的粒子一维无限深势阱中的粒子 0 x a 区域，定态薛定谔方程为区域，定态薛定谔方程为x0 aV ( x )势能函数势能函数 02dd222xmExx2k令令V (x) = 0 0 x x 或或 x a 区域区域0)(x 0dd222xkxx第十六章 量子物理基础716.6 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程 0dd222xkxx波函数在波函数在 x = 0 处连续，有处连续，有 00 cos0 sin0kBkA在在 x = a 处连续，有处连续，有 kxAxsin 0sinkaAa222mEkank所以所以0)(xx0 aV ( x )0)(x)(x kxBkxAxcossin解为解为其中其中因此因此0 B第十六章 量子物理基础816.6 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程量子数为量子数为 n 的定态波函数为的定态波函数为 sinnnxAxa由归一化条件由归一化条件1d| )(|2xxn2 /Aa xanaxnsi