系统的频率特性分析

1、第五章系统的频率特性分析本章目录5.1 频率特性5.2 对数坐标图5.3 极坐标图5.4 乃奎斯特稳定判据5.5 相对稳定性分析5.6 频域性能指标和时域性能指标的关系小结本章简介在经典的控制系统分析方法中，有两种基本方法是可以不需解微分方程而可对控制系统的性 能进行分析和校正的：其一是上一章的根轨迹法，其二即本章介绍的频率特性分析法。频率 响应法是一种工程方法，是以传递函数为基础的一种控制系统分析方法。这种方法不仅能根 据系统的开环频率特性图形直观地分析系统的闭环响应，而且还能判别某些环节或参数对系 统性能的影响，提示改善系统性能的信息。控制系统的频域分析方法不仅可以对基于机理模 型的系统性

2、能进行分析，也可以对来自于实验数据的系统进行有效分析。它同根轨迹法一样 是又一种图解法，研究的主要手段有极坐标图 （Nyquist图）和伯德图（Bode图）法。与其它方法相比较，频率响应法还具有如下的特点：1）频率特性除可以由前述传递函数确定外，也可以用实验的方法来确定，这对于难以 列写微分方程式的元部件或系统来说，特别便于工程上的应用。2）由于频率响应法主要是通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直 观和计算量较少的特点。3）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的纯滞后 系统和部分非线性系统的分析。由于上述的特点，频率响应法不仅至今仍为控制理论中的一个

3、重要内容，而且它的有关 理论和分析方法已经广泛应用于鲁棒多变量系统和参数不确定系统等复杂系统的研究中。本章我们将在介绍控制系统频率特性的基本概念后，着重于开环控制系统的频率特性分 析：极坐标图（Nyquist图）和半对数坐标图（Bode图），同时将应用Matlab工具分析控制系统 的频率特性，最后简要分析开环控制系统的频率特性与闭环控制系统的频率特性的关系，并 研究它们与控制系统性能指标的关系。5.1 频率特性频率特性又称频率响应，它是指系统或元件对不同频率的正弦输入信号的响应特性。系 统的频率特性可由两个方法直接得到：（1）机理模型一传递函数法；（2）实验方法。5.1.1 由传递函数求系统的

4、频率响应设系统的开环传递函数当=Q二亚歹力士右港口（£*外）（6 + 均）S+FJ（5-1）对应的频率特性为由十马）（/小+2,（Jm十0曰十户i）Cz由+卫。口3十声G如果在s平面的虚轴上任取一点J吗，把该点与行的所有零、极点连接成向量，并 将这些向量分别以极坐标的形式表示：J的十马二口/眼上二12,加j5 +/ = piw' J =12，则式（5 3）可改写为需口必冠P禁）= V国-(5 3)n4由上式得到其对应的幅值和相角：lw吗)卜卡- riz(5 4)1-1 i-i(5 5)同理，可求得对应于 叱的仔u叱X和火吗）。如此继续下去，就能得到一系列幅值和相位与 频率面的

5、关系，其中幅值随频率变化而变化的特性称为系统的幅频特性，相角随频率变化而 变化的特性称为系统的相频特性。5.1.2 由实验方法求频率特性系统的频率特性也可用实验方法得到。 图53给出了一种求取系统频率特性的实验接线 方法，它由一台正弦信号发生器、系统或元件装置和双踪示波器组成。信号发生器的频率范 围由被测试的实验装置决定，双踪示波器的一路用于测量输出、输入信号的比值，即系统的Y幅频特性：二另一路用于测量输出信号与输入信号的相位差,即系统的相频特性:矶的=乙邙2o通过不断改变输入信号的频率 中值，应可以得到系统的频率特性。5.1.3 频率特性的基本概念线性定常系统的频率特性和时域响应是一致的。在

6、频率特性已知的情况下，可通过数值 或解析的方法得到系统的时间响应。如果一个系统的频率特性已知，则可根据反富里叶级数示取系统的时间响应。令CUM为控制系统输出的频率特性，则由c(£)=J- r 号壮的(5-7)可得到系统输出的时间响应。上面的积分式可通过解析法或根据频特性图由数值法求得。反过来，若已知系统的时间响应，也可求出系统的频率特性。为了方便理解，下面先以 R- C电路为例，并说明频率特性的物理意义。同样，对于一般的线性定常系统，设输入为一频率为的正弦信号，在稳态时，系统的 输出具有和输入同频率的正弦函数，但其幅值和相位一般均不同于输入量，且随着输入信号 频率的变化而变化。设线性

7、系统的传递函数具有式(5 2)的形式，已知输入信号据=月沏出,其拉氏变换 苫一更，A为常量，则系统的输出为K相十4)(5 + %)(s +2m) 76+尸)(S+N)(£ + 外)(£+田3r 助(5-12)式中，理 海-中入J1-网为改力的极点。对于稳定系统，这些极点都位于s的左平面， 即它们的实部 凡一户均为负值。为简单起见，令GO)的极点均为相异的实数极点，则式(5 12)改写为C = + + 士总十.:一坤千+为(5-13)其中金、图和e(i=i , 2,n),均为待定系数。对上式取拉氏反变换，求得%)=耐廿+&如+力LL(514)(515)其中修、和点由下

8、列两式确定"G言”+回-7“噌(516)y加中当EfR时，系统响应的瞬态分量 趋向零，其稳态分量为lim t:(0 =+宠ITS(517)其中仇切二产（砌+/Q（时=|出/助卜w3m j创二血=住区里号驾尸）。注意到式中(518)打、"5切是的偶函仔（jM是一个复数向量，因而可表示为数，写为5r磅=仃。财*"网(519)2、以助是的奇函数，因而 1-J团与里川）互为共腕复数。这样 E-J砌可改把式(520)(516) (519)代入式(515),可得以上证明了线性定常系统的稳态输出是和输入具有相同频率的正弦信号，其输出与输入的幅值比为g创，输出与输入的相位差用=晒

9、改;叽比较频率特性与传递函数的形式可以发现，只要把传递函数中的白用/由代之，就可得 到系统的频率特性，即有 g匕吟=0，也。可见，频率特性只是传递函数的一种特殊形式, 因而它和传递函数一样能表征系统的运动规律，成为描述系统的又一种数学模型。5.2 对数坐标图如前所述，频率特性法是一种工程方法，主要采用的是一种图解法。常用的频率特性图 示方法分两种：极坐标图示法、对数坐标图示法。本节介绍极坐标图示法。由于频率特性 仃是一个复数，因而可在复平面上用直角坐标形式表示:(5 21)(522)GU图)=产(砌+同样也可用极坐标形式写成：G(J) = J户超洞"式中，F。这样，G(j吗可用幅值为

10、、相角为职国的向量来表示。当输入信号的频率由口 . 变化时，向量 四功的幅值和相位也随之作相应的变化，其端 点在复平面上移动而形成的轨迹曲线，称为极坐标图，又称为 0g的幅相特性或奈奎斯特(Nyquist)曲线，简称奈氏图。5.2.1 典型环节的奈氏曲线为了便于对频率特性作图，本章中的开环传递函数均以时间常数形式表示。具有这种形 式的开环频率特性 W&狎行一般由下列五种典型环节组成。1)比例环节K;2) 一阶环节CL*'；3）积分和微分环节（财”；-41+必巴+。当口4）二阶环节L /叫；5）延迟环节。1 .比例环节比例环节的频率特性为5a） = 4+川7尸（5 23）出哈复平

11、面实轴上的由于K是一个与无关的常数，它的相角为零度，因而它的奈氏图为 一个定点，如图5 5所示。笈 Re图5-5比例环节频率特性极坐标图2 .积分和微分环节积分环节的频率特性为1 ->2= - = e 2k（5 24）由上式可见，积分环节的幅值与成反比，相角恒为一削口，其奈氏图如图5 6a所示。显然积分环节是一个相位滞后环节，每当信号经过一个积分环节后，其相位滞后三：二 对于微分环节，其频率特性为5m）二1由二集丐（5 25）它的奈氏图应如图5 6b所示。由图可见，微分环节是一个相位超前环节，每当系统增加一 个微分环节，将使相位增加90口。比较积分环节和微分环节可以发现，它们的幅值特性和

12、相位特性均刚刚相反。H=03积分环节付微邠节图5-看积分、微分环节频率特性极坐标图3 . 一阶惯性环节一阶惯性环节的频率特性为(5 26)式中,吠出)=-arctgTo)若将上式写成实频特性和虚频特性的形式:式中于是得也即（产 一；尸=（L。）显然上式是一个圆的方程，具圆心为-,半径为2 ,如图57a所示。可见，一阶惯性环节是一个相位滞后环节，其最大滞后角为 90此时频率为无穷大。一阶微分环节的频率特性为b（Jm）二1+7?出二a行尹嬴）(5 27)式中 则» 二即蛆7叫当sOtco时，其幅值从,相角Of 9。"因此它是一个相 位超前环节。图5 7b为它的奈氏图。0惯性环节

13、极坐标阳b） 一阶辘分环节极坐标图图7惯性环节和一阶翱分环节频率特性4.二阶振荡环节和二阶微分环节根据第三章内容，典型二阶振荡环节的频率特性可写为的二=二灯"1十必券包乒康?'” V 吗 吗（5 28）式中2fa?(5 29)由式（5 28）可知，振荡环节奈氏图的低频段和高频段分别为lim 凸口面）=1ZO0JUTlElim G（J®） = 0/-180。当卬二叫时，式）® = "键，其相角为-90口当己值已知，则由式(528)可求得对应于不同值时的 EJ创和双切值。图58为式 g J(5 28)在不同己值下用Matlab绘制的奈氏曲线。当 婚时

14、，在奈氏曲线上距原点最远 的点所对应的频率就是振荡环节的谐振频率 叼，其谐振峰值 也用杼U吗与仔0必之比来 表示。fCSLl55SO25i mage20T5105-WO -SO -50-40-20 Q 2。real图5-8二阶振荡环节不同己的奈氏曲线图5-9二阶微分环节不同 己的奈氏曲线由第三章的讨论可知，当短时，振荡环节不产生谐振， 叫吟向量的长度将随着的增加而单调地减小。当时，行（£）有两个相异的实数极点。如果己值足够大，则其中一个极点靠近s平面的坐标原点，另一个极点远离虚轴。显然，远离虚轴的这个极点对瞬态响 应的影响很小，此时式（528）的特性与一阶惯性环节相类同，它的奈氏图近

15、似于一个半圆,二阶微分环节的频率特性为奥步共1+J2J白+»卫）、尸+离巴叫 叫 N 4 吗（5 30）式中(5 31)图5 9为二阶微分环节的奈氏图5.时滞环节时滞环节的频率特性为(5- 31)由于时滞环节的幅频值包为1,而其相位与成比例变化，因而它的奈氏图是一个单位圆，如图510所示。在低频区，时滞环节和惯性环节0的频率特性很接近，如图5- 11所示。因为i+i+g当=<<1时，上式可近似为(532)I + J OPT图3-U时滞环节与下一阶惯性环节在 低频段的等效性.1jiur1£产冏1 + jmr因此当劲7«1时，时滞环节通常近似地可用惯性环节

16、表示。5.2.2开环系统的奈奎斯特图在采用频率特性法对控制系统进行分析时，一般采用两种方法：一种是直接采用开环频 率特性分析闭环系统的性能，另外一种是根据开环频率特性曲线绘制闭环频率特性，然后用 闭环频率特性分析闭环系统的性能。但不论采用哪一种方法，在用极坐标图进行分析时，首 先应作出极坐标形式的开环幅值特性和开环相位特性曲线。C（5）图5-闭环控制系统对于如图512的闭环控制系统，具开环传递函数为，把开环频率特性写作如下的极坐标形式或直角坐标形式：由）=pUM祝上加.）=十 /Q©）(5 33)当由0 78变化时，逐点计算相应的创和平的值，可画出开环系统的奈氏 图。在控制工程中，一

17、般只需画出奈氏曲线的大致形状和几个关键点的位置，如与实轴相交 点、与虑轴相交点及曲线的旋转方向等，即可对控制系统进行分析。在实际的控制系统中，开环传递函数常常由若干典型环节串联而成，因此通过对典型系 统的奈氏图的绘制将有助于用奈氏图分析和设计控制系统。下面通过对不同类型系统的奈氏图在山=04和5-8时特征的分析，简要研究控制系统的静态和动态性能。1. 0型系统设0型系统的开环频率特性为寓4口 （1+/JQ?）C?（J®） =，再 > 晒立（1十卬前口（5 34）当 : 0时，杼（7。）|=K、矶0）=0即为实轴上的一点（K, 0）,它是0型系统奈氏图的 始点。当a T 0时，口

18、（朋）卜。、忒=-90%lM。当0* cm时，奈氏曲线的具体 形状由开环传递函数所含的具体环节和参数所确定。2. I型系统设I型系统的开环频率特性为GG m）=一9口（535）由上式不难看出，当m二°i时，虱心=8 /-冢口；当曲T5时，矶的二。Z - 9Q%l 溶）图5-14a 0型、1型和II型系统的奈氏图图5-14b开环系统高频段的奈氏图3、II型系统设n型系统的开环频率特性为端+“田）GQ 喻=/ > 加口面/rt（i十小曲）U（536）由式（5 36）可知，当出二°.时，曲/。+） = 8/-130° ；当面78时，仔3） 二 ° / -

19、湖（柚。综上所述，开环系统极坐标图的低频部分是由因式 长心党 确定的。对于0型系统， 5j3 = K/ct；而对于i型和i型以上的型系统，MjO+） = g/-90%。如果网 >加， 当必T5时，2-90%-啕 九曲线以顺时针方向按-90口5-河的角度趋向于坐标 原点，如果（n-m）是偶数，则曲线与横轴相切；反之，若是奇数，则曲线与虚轴相切。图5 14a为0型、I型和II型系统的奈氏图。 图514b为高频段的奈氏图。5.3极坐标图如果要比较精确地计算和绘制极坐标图，一般来说是比较麻烦的，为此可用频率特性的另一 种图示法：对数坐标图。对数坐标图法不但计算简单，绘图容易，而且能直观地表现开环

20、增 益、时间常数等参数变化对系统性能的影响。一般对数坐标图由两部分组成：一张是对数幅频特性图，它的纵坐标为,单位是分贝，用符号dB表示。通常为了书写方便，把2。电"。|用符号/也表示。另一张是相频图。两张图的纵坐标都是按线性分度，单位分别为dB和（口），横坐标是角频率 中。为了更好地体现开环系统各频段的特性，可对横坐标采用 值中的对数坐标分度，从而形成了半对数坐标系。这对于扩展频率特性的低频段，压缩高频段十分有效。在以 加8分度的 横坐标上，1到10的距离等于10到100的距离，这个距离表示十倍频程，用符号 dec表示。 对数幅频特性的“斜率” 一般用分贝/十倍频（dB/dec）表示

21、。对数坐标图又称伯德图（Bode 图）。用伯德图表示的频率特性有如下的优点：1）把幅频特性的乘除运算转变为加减运算。2）在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简化 了图形的绘制。3）用实验方法，将测得系统（或环节）频率响应的数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的 曲线，容易估计被测系统（或环节）的传递函数。在Matlab控制工具箱中，亦有专门的函数用于绘制 Bode图：Bode函数。同时为绘制开 环系统的幅频特性的渐近线，我们编制了画渐近线的作图函数：Bode_asymp有关它们的使用方法将结合例题进行说明。5.3.1 典型环节的伯德图1 .比例环节比例环节K的对

22、数幅频特性是一高度为201gKdB的水平线，它的相角为零度，如图 518 所示。改变开环频率特性表达式中 K的大小，会使对数幅频特性升高或降低一个常量，但不 影响相角的大小。2!Frequency rad/sec(gp)aJpnl-UHEKECLIF) 5e=d_1= 20' K(5 37)虱喻=0"图5-18比例环节K的对数幅频特性显然，当长：1时，”的位于横轴上方；当及=1时，”的位于横轴上；当及亡1时，以» 位于横轴下方。2 . 一阶环节-11'一阶环节吟的对数幅频和相频表达式分别为3-2% 1 + （V /（5 38）忒喻=一】比里(5- 39)4叼

23、 其中当叼时，略去式（5 38）中的 5 项，则得£g）"201gl = 0四,这表示“的 低频渐近线是高度为0dB的一条水平线。工1口剋一20电当吗时，略去式(5 38)中的1,则得叫，表示上出高频部分的渐近线是一条斜率为20dB/dec的直线，当输入信号的频率每增加十倍频程时，对应输出信号的 幅值便下降20dR图5-19所示的是精确对数幅频特性及其渐近线和精确的相频曲线，其中 T= 1, Matlab命令如下：G=tf(1,1,1);x0,y0,w=bode(g),x,y=bode_asymp(g,w);subplot(211),semilogx(w,20*log10(

24、x0(:),x,y)subplot(212),semilogx(w,y0(:)不难看出，两条渐近线相交点的频率 叫 丁，这个频率称为转折频率，又名转角频率。如果(14/由ZT1环节的对数幅频特性能用其两条渐近线似表示，则使作图大为简化。问题是，这种近似表示所产生的误差有多大？图5-19 一阶惯性环节频率特性_2由图519可见，最大的幅值误差产生在转折频率 “1亍处，它近似等于一3dR这是因为-20lg 4+T+ 201gl = -3.03涡用同样的方法，可计算其它频率点上的幅值误差。图5 20为0+3c"环节精确的对数幅频曲线与其渐近线在不同 面值时的误差曲线。0 J-21 一阶微分

25、加比例环节频率特性由于渐近线易于绘制，且与精确曲线之间的误差较小，所以在初步设计时，。"哂"环节的对数幅频曲线可用其渐近线表示。如果需要绘制其精确的对数幅频曲线，可按照图5-20修正。图5-19所示的对数幅频特性表明该环节具有低通滤波器的特性。如果系统的输入信号中含 有多种频率的谐波分量，那么在稳态时，系统的输出只能复现输入信号中的低频分量，其它 高频分量的幅值将受到不同程度的衰减，频率越高的信号，具幅值的衰减量也越大。由于(l+j% 与。鹤T互为倒数,因而它们的对数幅频和相频特性只相差一个符号，即 有201g h += -201g arg（l + jg?T）=-噂（+ ,

26、 与获取一阶惯性环节频率特性相似，同样方法可绘制(1+S环节的对数幅频和相频曲线如 图 5 21。3 .积分、微分环节九的对数幅频和相频特性的表达式分别为7.(a?) - -203g a?火砌=-90°由于-2031g=-2。e-2炖如(5-40)因而一2。电3是一条斜率为-20 dB/dec的直线。同理，/公的对数幅值表达式为£（四）=20Jg a?10'110°w1图5-22a 一阶积分环节频率特性图5- 22b 一阶微分环节频率特性显然，它是一条斜率为+ 20 dB/dec的直线。J由环节的相角恒为。图5 22a和5 -22b 分别为 %必和的对数幅

27、频和相频曲线。在 Matlab中，它们的绘制方法与一阶惯性环节 完成相似，仅需修改传递函数即可。由图522可见,-20% a? + 20 lg AT匡15如 哲型式开环黑境唯/特性比较(5- 43)和/*伯德图的差异是两者幅频特性的斜率和相角都相差一个符号在m = l时，它们的对数幅值都为0dB。如果传递函数中含有个积分环节，即 %砌，则 它的对数幅频和相频表达式可分别写成(5 41)(5 42)贝田)=-u900式（541）所示的是一簇斜率为-20u75/匕北的直线，且在卬=1处，£3） = 2。弛£ ,如图5 23所示。由式（5 41）求得，这些不同斜率的直线通过0dB

28、 直线的频率为由二（玄）"。图5 23给出了口二。，1, 2和3时的对数幅频特性曲线，其中 K= 1000。4,二阶环节1 + 2其/”+ （）©总）|+1当系统的开环传递函数中含有一对共腕极点时，就有下列形式的二阶环节存在，即其中 月。它的对数幅频特性为&助70号、0吟尸(5 44)©tt? fl?"1M -当职 时，略去上式中的?和吗项，则得也理）阳-2Qlgl=氟51这表示£（M的低频渐近线为一条0dB的水平线。»12自巴当外 时，略去式（5 44）中的1和 叫项，则得工（国）图20固卫尸二40旭上上式表示 笈助的高频渐

29、近线为一斜率-40d3/威二直直线。不难看出，两条渐近线相交于 向二m/。称为振荡环节的转折频率。基于实际的对数幅频特性既与频率的和%有关，又与阻尼比5有关，因而这种环节的对数幅频特性曲线一般不能用其渐近线近似表示，不然会 引起较大的误差。图5- 24为不同值情况下的对数幅频曲线及其渐近线和相角曲线，它们 之间的误差曲线如图5 25所示。由图可见，值越小，对数幅频曲线的峰值就越大，它与 渐近线之间的误差也就越大。k? 配M a/ J Q.t 1”*3it !. mws-qAX健李登重 £s图5 24二阶振荡环节的对数幅频特、渐近线和相角曲线将式（5 43）的幅值表达式写为|电助|二工

30、(5-45)J-，+（空巴产V 4 叫 r BB(5 46)显然，如在某一频率时，椅有最小值，则"口”便有最大值。把式（5 46）改写为君曷(1- 2f2) T(547)下面针对不同的廿值范围，讨论在什么条件下，式（5-44）会有峰值出现，这个峰值和相应 的频率应如何计算。（1）口父£父07。7时从式（5 47）中看出，当由二冬匹营 时，砥的有最小值，即同创有最大值，这个 最大值称为谐振峰值，用画表示之。基于砥回值为4铲（1-铲）,由式（5-45）求得好“胡 的峰值因为2时一片0<£ <0,707(548)141210， , B 4 2 廿 am%与占

31、间的关系曲线如图5 26所示。产生谐振峰值时的频率叫谐振频率，用 啊表示，它的值为% =可/1-2<0,707由上式可见，当E趋于零时，叫就趋向于 A。当QW0MQ/7O7时，%总小于有阻尼自然频率叫r。JO1 A图5-26 Mr与七的关系（2）时此时可将式（5 46）改写为陶（出）=十面"2 1)+隹七-产）(5 49)不难看出，由于 皿随着田的增大而增大，因而 同期随着由的增大而单调地减小。这 意味着，当C 0 707时，幅值曲线不可能有峰值出现，即不会产生谐振。当0 = o时，皿 有最小值，其值为期1,即口。砌匚=1。同样由式（5-43）可得到系统的相频特性表达式为相角3

32、是小和1的函数。当中=0时，相角等于0%而二吗，不管。值的大小，相角总 是等于一如当酹c时，相角等于-1犯口。可以证明，相角曲线对口 二 一9。口的弯曲点而 言是斜对称的由于环节aa1+2 斤一 + (一)44与上述振荡环节的频率特性互为倒数关系，即以 小轴为对称轴，因此它们的对数幅值和相角与上述的都只相差一个符号，参见图5 24,这时不再赘述。5 .时滞环节屋.时滞环节的幅频和相频表达式分别为如创=卜一次=1(5- 50)图 5-27时滞系统的相频特性(5 51)由此可知，它的对数幅频特性为一条 0 dB的水平线；其相角 我与频率切呈线性关系。图5-27为时滞环节的相频特性曲线。5.3.2

33、开环系统的伯德图设系统的开环传递函数为仃=555则其对应的对数幅频和相频特性分别为£（砧=2叫氏砌二2岫同U砌十2。四d0砌+ 20|g|6G砌=4（附+z式财+、9）磔0 =就&白，m） +第七仃式J陶 +*,”+舐皂 5。切 因此，只要作出 仃（JM所含各环节的对数幅频和相频特性曲线，然后对它们分别进行代数相加，就能求得开环系统的伯德图。一般绘制开环系统伯德图的步骤如下：（1）写出开环频率特性的表达式，将其写成典型环节相乘的形式。（2）将所含各环节的转折频率由小到大依次标准在频率轴上。注意，由于比例环节和积分环 节没有转折频率，因此可以排在最左边。（3）绘制开环对数幅频曲

34、线的渐近线。渐近线由若干条分段直线所组成，其低频段的斜率为-20M5/d",其中为积分环节数。在3 = 1处，工）二20坨M。以低频段作为分段直线的起始段，从它开始，沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜田之率。如遇到（1+J团汽厂环节的转折频率1/雪，当 z时，分段直线斜率的变化量为Q） Z一钝间此;如遇到环节的转折频率Vn 当 %时，分段直线斜率的变化量为+ 20的招四，其它环节用类似的方法处理。分段直线最后一段是开环对数幅频曲线的高频渐近线，其斜率为-20（再-飒/烈，其中n为仔的极点数，m为行的零点数。（4）作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按照

35、前述的各典型环节的误差曲线对相 应的分段直线进行修正，就可得到实际的对数幅频特性曲线。（5）作相频特性曲线。根据开环相频特性的表达式，在低频、中频及高频区域中各选择若干 个频率进行计算，然后连成曲线。5.3.3 最小相位系统与非最小相位系统如果系统的开环传递函数在右半 s平面上没有极点或零点，则称为最小相位传递函数。具有 最小相位传递函数的系统，称为最小相位系统。如果开环传递函数在右半平面上有一个或多 个零点，称为非最小相位传递函数（如果开环传递函数在右半平面上有一个或多个极点，则 开环系统是不稳定的，一般也称为非最小相位传递函数）。具有非最小相位传递函数的系统， 称为非最小相位系统。设有a和

36、b两个系统，它们的传递函数分别为1+%1+和14彳+金其中G- 这两个系统的极点完全相同，且位于 s平面的左方，以保证系统能稳定。它们的零点一个在平面的左方，一个在 S平面的右方。由于系统a的零、极点都位于 S的左 半平面，因而它是最小相位系统。而系统 b零点位于s的右半平面，因而它是非最小相位系 统。它们对应的频率特性分别为酹）=1-J竭1+J哂川(mp)OJpn-l|己6乃二二6口三OJgEqfi_方=1芯=0 1图5-29最小相位、非最小相位系统频率特性比较 图5-30最小相位、非最小相位系统单位阶跃比较由于口 + ,而4|=必修，所以两个系统的幅频特性完全相同。而它们的相频特性表达式分

37、别为印口 (a?) =啊( =-arctgT - arctg7o)当中则Of m时 系统a的相位变化量为口口，系统b的相位变化量为一备V 0由此可见,最小相位系统的相位变化量总小于非最小相位系统的相位变化量。令的对数幅频和相频特性曲线如 图5 29所示，相应的单位阶跃响应如 图5 30。由图可见， 最小相位系统的对数幅频特性和相频特性曲线的变化趋势基本相一致，这表明它们之间有着 一定的内在关系。可以证明，如果确定了最小相位系统的对数幅频特性，则其对应的相频特 性也就被唯一地确定了。反之，亦然。因此对于最小相位系统，只要知道它的对数幅频特性 曲线，就能估计出系统的传递函数。对于非最小相位系统，它

38、的对数幅频和相频特性曲线的 变化趋势并不完全相一致，两者之间不存在着唯一的对应关系。因此对于非最小相位系统， 只有同时知道了它的对数幅频和相频特性曲线后，才能正确地估计出系统的传递函数。当 力.阳时，虽然最小相位系统和非最小相位系统对数幅频特性的斜率均为-20（*-胞）*/港哽但前者的相位值（时=-90。（用-闻，而后者的相位曲（前工-9叭也-加）这个特征可用于判别被测试的系统是否是最小相位系统。控制系统中的时滞环节是典型的非最小相位系统。关于此点无论从它的近似展开式或其 完整形式均可证明。同时从 图5 30可以明显看出，最小相位系统的稳态误差为零，而非最 小相位系统则是发散的。因此，对于控制

39、系统而言，相位滞后越大，系统的稳定性越差，因 此应尽可能减小或避免时滞环节对控制系统的影响。5.3.4 系统开环对数幅频特性与闭环稳态误差的关系 对于一定的输入信号，控制系统的稳态误差与系统的类型和开环放大倍数有关。在给定了系统的开环幅频特性曲线后，即可根据其低频段的位置或斜率确定其稳态位置误差系数 速度误差系数 七丫和加速度误差系数对数幅频特性的低频段是由因式 口"来表征的, 对于实际的控制系统，口通常为0、1或2。下面分析系统的类型与对数幅频特性曲线低频渐 近线斜率的对应关系及 4、£和值的确定。1. 0型系统设0型系统的开环频率特性为则其对数幅频特性的表达式为W口=1

40、+j- 1/T-31 0型系统的对数幅频特性£（助=201g / - 201g J1 +据此作出对数幅频特性曲线的渐近线如 图5 31所示。由图可见，0型系统的对数幅频特性 低频段具有如下特点：1）低频段的渐近线斜率为0 dB/dec ,高度为203长产； 2）如果已知幅频特性低频段的高度，即可根据式：“助=如15改尸求出位置误差系数及的 值，进而计算系统的稳态误差。2、I型系统设I型系统的频率特性为其对数幅频特性的表达式为£（由=203舄-2跳0-2豌1 +由上式作出的对数幅频特性曲线的渐近线如 图5 32所示。不难看出，I型系统的对数幅频特性有如下的特点:1）低频渐近线

41、的斜率为2）低频段渐近线（或其延长线）在 毋二1处的纵坐标值为2。",由此可求出稳态速度误 差系数£ 03）开环增益即稳态速度误差系数 犬，在数值上也等于低频渐近线（或其延长线）与 0dB线 相交点的频率值。3、II型系统设R型系统的频率特性5 皿二-其对数幅频特性的表达式为也少）=2。场及昆一4。年中一20也，+ （品）工由上式作出对数幅频特性曲线的渐近线如 图533所示。易知，R型系统的对数幅频特性有 如下的特点：1）低频渐近线的斜率为 TOdBfd既02）和I型系统一样，低频渐近线（或其延长线）在 0二1处的纵坐标值为20切m口由此可求 出稳态加速度误差系数公。3）系

42、统的开环增益即加速度误差系数在数值上也等于低频段渐近线（或其延长线）与0dB线相交点的频率值和平方。图5-弘口型泵统的对数幅频特性5.4奈奎斯特稳定判据前面我们从代数角度出发讨论了控制系统稳定性的定义和劳斯-赫尔维茨稳定判据。本 节介绍判别系统稳定性的另一种判据一一奈奎斯特稳定判据。该判据是根据开环频率特性来 判定闭环系统的稳定性。同时，它还能反映系统的相对稳定的程度，对于不稳定的系统，判 据与劳斯稳定判据一样，还能确切回答闭环系统有多少个不稳定的特征根。E5- 34闭环控制奈技对于图5 34所示的反馈控制系统，闭环传递函数为:(5 38)其特征方程式为(5 39)N 3 、 局仁+4乂吕十力

43、）G + 打）G（e） H=，内之明0 +必）0 + 外）£ 一马）（5 40）将式（5 40）代入式（539）得佰十巧）S + pJ值+pQ十笈为）"+/）R=8+广L）S+产2>-8+尸型）=（>+勺）一一句）G+%）一（s+尹 1）0 +仍）（田+心）（5-41）式中，£ = T、.石、一：是尸的零点，也是闭环特征方程式的根；£二-必、-巧、 一鼻是F的极点，也是开环传递函数的极点。因此根据前述闭环系统稳定的充分必要条件， 要使闭环系统稳定，特征函数尸的全部零点都必须位于s平面的左半平面上。下面我们应用复变函数理论中的 辐角原理一一柯西

44、定理来研究特征函数 "的特征根 情况。5.4.1 辐角原理由于F是s的有理分式，则由复变函数的理论知道，除了在s平面上的有限个奇 点外，它总是解析的，即为单值、连续的正则函数。因而对于s平面上的每一点，在W平面上必有唯一的一个映射点与之相对应。同理，对s平面上任意一条不通过W（s）的极点和零点的闭合曲线 g，在尸平面上必有唯一的一条闭合曲线与之相对应，如图5 35所示。若s平面上的闭合曲线 G按顺时针方向运动，则其在严平面上的映射曲线的运动方向 可能是顺时针，也可能是逆时针，它完全取决于复变函数 百本身的特性。在此我们感兴趣 的不是映射曲线的具体形状，而是它是否包围 不区）平面的坐标

45、原点以及围绕原点的方向 和圈数，因为它与系统的稳定性有着密切的关系图5 35 s平面上封闭曲线及其在F（s）平面上的映射线由式（5-41）可知，复变函数 产值）的相角为囤3-竟 M 3平面到F平面的映射关天保角堂粮假设s平面上的闭合曲线 G以顺时针方向围绕夕8）的一个零点一句，不的其余零 点和极点均位于闭合曲线g之外。当点s沿着闭合曲线q走了一周时，向量（£十4）的相角 变化了 -2瘩，其余各向量的相角变化都为0°。这表示在百平面上的映射曲线按顺时针方向围绕着坐标原点旋转一周，如图5 36所示。由此推论，若s平面上的闭合曲线以顺时针方向包围尸的z个零点，则在声平面上的映射曲

46、线将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转z周。如果s平面上的闭合曲线a按顺时针方向围绕着S3）的一个极点一外旋转一周，则向 量G + 外）的相角变化了 - 2元。由式（542）可知，F的相角变化了 +2笈0这表示不 平面上的映射曲线按逆时针方向围绕其坐标原点一周。由此推广到一般，若 s平面上的 闭合曲线4按顺时针方向围绕着 囚的p个极点旋转一周，则其在方平面上的映射曲线 “按逆时针方向围绕着坐标原点旋转 p周。综上所述，可得到如下的辐角原理。辐角原理设除了有限个奇点外，百是一个解析函数。如果s平面上的闭合曲线q以顺时针方向包围了严的Z个零点和P个极点，且此曲线不通过用（E）的任何极点和零点， 则其在

47、百平面上的映射曲线将围绕着坐标原点旋转N周，其中M三2-F。若加， 表示曲线以顺时针方向围绕；若 犷灯），则表示曲线以逆时针方向围绕。5.4.2 奈奎斯特稳定判据如果闭环系统是稳定的，则其特征方程式的根,即$所有的零点均位于s的左半平面占平面为了判别系统的稳定性，检验耳（中是否有零点在s的右半平面上即可。为此，在s平面上所取的闭合曲线 G应包含s的整个右半平面，如图5-37所 示。这样，如果不才有零点或极点在s的右半平面上， 则它们必被此曲线所包围。这一闭合曲线称为奈奎斯特轨 线，它是由/由轴表示的】部分和半径为无穷大的半圆 心部分组成。即s按顺时针方向沿着 g由一运动到图5 37右半平面的封

48、闭曲线+曲,尔后沿着半径为无穷大的半圆 G由£二推.运动到S二Re当，其中R-g。由于中的比之明，当s沿着奈氏轨线q运动时，有11mh熊）刊®=吊效这说明当S沿着半径为无穷大的半圆变化时，函数 尸始终是一常数。由此，声 平面上 的映射曲线c是否包围坐标原点，只取决于奈氏轨线中 G部分的映射，即由轴的映射 曲线来表征。设在J曲轴上不存在囚的极点和零点，则当S沿着J面轴由一 J03运动到十加°时，在 声（J砌平面上的映射曲线。为FQ 通= l + G（彼必（543）设闭合曲线，以顺时针方向包围了产的z个零点和p个极点，由辐角原理可知，在 F（j平面上的映射曲线

49、6;F将按顺时针方向围绕着坐标原点旋转 N周，其中N =E -F（5 44）由于因而映射曲线对其坐标原点的围绕相当于开环频率特征曲线 "J哈HU附对GHF面 上的（一1, j0）点的围绕，图538示出了奈氏曲线映射在这两个平面上的位置。的5-史 奈氏曲线映射在F和g目平面上通过上述分析可知，闭环系统的稳定性可通过其开环频率响应 印J明NCM曲线对(i, j0)点的包围与否来判别，这就是下述的奈奎斯特稳定判据。奈奎斯特稳定判据：(1)如果开环系统是稳定的，即p= 0,则闭环系统稳定的充要条件是 出喻"。嗡曲线不包 围(1, j0)点。(2)如果开环系统不稳定，且已知有 P个开

50、环极点在s的右半平面，则闭环系统稳定的充要 条件是GC/MHO的曲线按逆时针方向围绕(一1, j0)点旋转P周。综上，应用奈氏判据判别闭环系统的稳定性的具体步骤为：(1)首先要确定开环系统是否稳定，若不稳定，则 P为多少？(2)作出奈氏曲线 5J初再C/砌。具体作图时可先画出也从0到+8的一段曲线，然后以 实轴为对称轴，画出 由从0到的另一段曲线，从而得到完整的奈氏曲线。(3)计算奈氏曲线 5J砌EC/砌对点(一1, j0)按顺时针方向的包围圈数Nlo(4)根据辐角原理确定Z是否为零。如果Z= 0,表示.闭环系统稳定；反之,，表示 该闭环系统不稳定。Z的数值反映了闭环特征方程式的根在 s右半平

51、面上的个数。5.4.3 奈奎斯特稳定性判据的进一步说明1、开环极点位于虚轴的情况如果巴C/W在虚轴上存在极点，那么就不能直接用图 5 37所示的奈氏轨线，因为辐角原理只适用于奈氏轨线 G不通过F的奇点。为此，可对图5-37所示的奈氏轨线作些修改，使其沿着半径为 厂T。的半圆绕过虚轴上的所有极点。假设开环系统在坐标原点 处有其极点，则对应的奈氏途径要修改为如图5 40所示。比较图5 40与图537可以发现，它们的区别在于 图5 40中多了一个半径为无穷小的半圆 G部分，其余两者完全相同。因此，只需要研究 图5- 40中的部分在GH平面上的映射。图5-打虚轴上存在极点的奈氏就我设系统的开环传递函数

52、迂1口+巧甘）依、H 二一痣,界Z班-no十啊口（ 5-45）在q部分上，令£=收押，其中厂口，代入上式得用(5-46)盯7。十个加）3-1一口（1+3）口当s按逆时针方向沿着 Qi由点a移动到c时，由式（546）可求彳#其在Ghff面上的映 射曲线：对于u = 1的I型系统，G部分在GH平面上的映射曲线为一个半径为无穷大的半圆，如图5 41a所示。图中点/、丛和一分别为J半圆上点a、b和c的映射点。对于u=2的U型系统，7部分在GHff面上的映射曲线是一个半径为无穷大的半圆，如图5 41b所示。把上述 三部分在GHF面上的映射曲线和0vM月的奈氏曲线在由二川一和山二加一 处相连接，

53、就组成了一条封闭曲线。此时，又可应用奈奎斯特稳定判据了。2、利用奈氏判据确定系统的参数稳定范围如果系统中的某个参数或若干个参数是可以变化的，为使系统稳定，可利用奈氏判据来 确定系统的参数稳定范围，即根据奈氏曲线是否通过（-1, j0）点的条件来选定参数。下面以例说明之。3、具有时滞环节的稳定性分析由于时滞系统的开环传递函数中有着百Y的环节，具闭环特征方程为一超越方程，因而 劳斯稳定判据就不适用了。但是，奈氏稳定判据却能较方便地用于对这类系统稳定性的判别。设含有时滞环节的开环系统的传递如下：麟笈口（1 +卢）e电H （$） = 白 y * > M口（5 47）式中，为时滞时间常数。将上式改

54、写成：G月三5/厂（5-48）其中中£口（1+印）50）五 19）: 一,郡 > m/（1 + 即）上-i（5 49）不含时滞环节的传递函数。相应地，开环系统的幅频特性和相频特性为：上口二好。由）=兄。由）|式助=N5。劝/（曲）（5-50）上式表明，当w。,如时，相对于5。叫%。助，氏附的幅值没有变化，而相角 则在每个田上顺时针多转动了血。由于实际的控制系统中，制了班，因此当STS时，5（，山）月1（，团）的模趋于零，因而吟Hj必随由：0 T g以螺旋形趋于原点,并且与GHF面的负半轴相交无穷点，如图5 45。因此为使系统稳定，奈氏曲线与负实轴相交点必须位于（一 1, j0）的左边。5.4.4奈氏稳定判据在对数坐标图上的应用口 与奈氏图的绘制相比，开环对数频率特性的绘 了”制更为简单、方便，因而研究开环对数频率特性形 赢济的奈氏稳定判据是有实际意义的。注意到开环系统的奈氏图与相应的对数坐标图之间有着下列的对应关系：1） GHT面上单位圆的圆周与对数坐标图上的图 5-45单位圆