简明电路分析基础08二阶电路

1、电电 路路 分分 析析 基基 础础 电路分析基础第八章第一节二阶电路第二部分 动态电路分析 六、电容元件与电感元件 七、一阶电路 八、二阶电路 九、冲击函数在动态电路分析中的应用 十、交流动态电路 电路分析基础课程内容介绍电路分析基础第二部分：第八章 目录第八章 二 阶 电 路1 LC电路中的正弦震荡 4 RLC电路的零输入响应 欠阻尼情况2 RLC电路的零输入响应 5 直流RLC串联电路的完全响应 过阻尼情况3 RLC电路的零输入响应 6 GCL并联电路的分析 临界阻尼情况 7 一般二阶电路电路分析基础第二部分：第八章内容回顾 所有电路都是由动态电路和电阻电路两类电路组成的；内容回顾： 虽然

2、电阻电路和动态电路是两类性质完全不同的电路，但 第一部分中的分析方法，几乎所有都能得到应用，当然， 动态电路还有其自己的方法； 电容和电感是基本的动态元件，它们都是储能元件。电容 通过存储电荷来存储电能，电感通过存储磁链来存储磁能。 电容的电压和电感的电流是它们最本质的变量，一般情况 下，它们都不能突变。 所有电路受到两类约束。即： 电路中的各支路电流、电压受到KVL、KCL的约束， 元件上的电流、电压受到元件VAR的约束；电路分析基础第二部分：第八章主要内容本章主要内容： 本章研究的是包含两个动态元件的二阶电路，它们用二 阶线性常系数常微分方程描述。本章着重分析有电感和 电容组成的二阶电路。

3、 和一阶电路不同，二阶LC电路会出现震荡形式。 学习时应注意：电路微分方程的建立，特征根的重要意义， 微分方程解的物理含义等方面的内容。 然后通过分析说明RLC电路的一般分析方法，以及固有频 率与固有形式的关系。 本章首先从物理概念上阐述LC电路的零输入响应具有正弦 震荡的形式；电路分析基础第二部分：8-1 1/58-1 LC电路中的正弦震荡问题的提出：上一章一阶电路的分析中只涉及到一种储能电场能量或磁场能量，如果一个电路既能储存电能，又能储存磁能，这样的电路会有什么特点呢？特例：我们研究一个只有电容和电感组成的电路的零输入响应。设电容的初始电压为U0，电感的初始电流为 0。C+U0LCIL开

4、始：虽然t=0时刻电流等于 0，但 di/dt 由于 U0 的存在而0。电流增长：由于 di/dt 0，使电流开始增长，而电压开始下降。当电流达到最大且稳定时，电感短路，电压降为零。电压增长：虽然此刻电压 = 0，但 du/dt 由于 I 的存在而0。从而电压又开始反向增加，随着电压的增加，电流开始减小，当电压达到最大值并稳定时，电容开路，电流等于零。C+U0L电路分析基础第二部分：8-1 2/5电压再增长：虽然此刻电压 = 0，但 du/dt 由于 I 的存在而0。从而电压又开始反向增加，随着电压的增加，电流开始减小，当电压达到最大值并稳定时，电容开路，电流等于零。电流再增长：di/dt 由

5、于 U0 的存在而0，因此电流又开始反向增长，达到最大时，电感短路，电压又等于零。注意：此刻电压已经过两次反向，已经与一开始的电压极性相同，意味着“电能磁能”交换已完成了一次循环周期。C+U0LCILC+U0LCILC+U0LC+U0LCIL电路分析基础第二部分：8-1 3/5还请注意：可以想象若电路中有电阻存在，则由于电阻消耗能量，而使电路经过一个周期后的电压幅度比开始有所减少， 实际LC电路由于非理想而存在内阻损耗，即使不外加电阻，也会使震荡存在阻尼。阻尼：这种由于电阻存在而使震荡衰减的现象称为“阻尼”。震荡：这种由于LC元件之间“电能磁能”的交替变换而产生的电压或电流的周期性变化过程称为

6、“震荡”(oscillation)。阻尼震荡：由于阻尼存在而使震荡幅度不断变小的震荡称为“阻尼震荡”(damped oscillation)。 下面对LC回路的震荡作进一步的分析。设 L=1H，C=1F， uC(0) = 1V， iL(0) = 0。由LC元件的VAR可得iL(t)图8-2 LC震荡回路+uC(t)LC电路分析基础第二部分：8-1 4/5（8-1） = iLduCdt（8-2） = uCdiLdt这两个式子表明：电流需要电压的变化，电压需要电流的变化，结果是两个都必须不停地变化。结合初始条件uC(0) = 1 （8-3）iL(0) = 0 （8-4） 由于电路的总储能有限，因此

7、，电流电压的幅度都有限；同时，根据本节一开始的分析，电流电压的极性方向是正负交替不断的变化的，因此，可以猜测uC(t) = cos t V，t0 （8-5）i L(t) = sin t A，t0 （8-6）电路分析基础第二部分：8-1 5/5 = sin t = iLduCdt = cos t = uCdiLdt=dcos tdt = dsin tdt代入微分方程得显然满足由元件VAR构成的微分方程，也就是说，LC回路的等幅震荡是按正弦方式随时间变化的。LC回路的储能为w(t) =12Cu2(t) +12Li2(t)（8-7）将L=1H，C=1F，u(t)=cos t, i(t) = sin

8、t代入上式，可得w(t) =12(cos2t + sin2t) =12J = 常量t=0的初始储能为w(0) =12Cu2(0) +12Li2(0) =12J即 w(t) = w(0) （8-8）这表明：储能不断地在电场和磁场之间往返，永不消失。电路分析基础第二部分：第八章 目录第八章 二 阶 电 路1 LC电路中的正弦震荡 4 RLC电路的零输入响应 欠阻尼情况2 RLC电路的零输入响应 5 直流RLC串联电路的完全响应 过阻尼情况3 RLC电路的零输入响应 6 GCL并联电路的分析 临界阻尼情况 7 一般二阶电路电路分析基础第二部分：8-2 1/108-2 RLC串联电路的零输入响应过阻尼

9、情况 设含电感和电容的二阶电路如图8-3(a)所示，运用戴维南定理可得图(b)所示RLC串联电路。i(t)LC含源电阻网络(a)图8-3 RLC串联电路i(t)+uCLC+ uL +uR+ uoc(b)对每个元件，写出VAR为（8-9）i = CduCdtuR = Ri = RCduCdtuL = Ldidt= LCd2uCdt2根据KVL，可得uL + uR + uC = uocd2uCdt2LC+ uC = uocduCdt+ RC（8-10），t0电路分析基础第二部分：8-2 2/10 方程式（8-10）是线性二阶常微分方程，未知量为uC(t)。要求解必须知道两个初始条件，即uC(0)和

10、uC(0)。 uC(0)为电容电压的初值，而第二个条件为uC(t)在t=0处的导数，该如何确定？ 其实很简单，因为电容电流为电压的导数，因此uC(0) =duC(t)dt（8-11）0=i(t)C0=i(0)C而电容与电感串联于一个回路，因此电流也是电感电流，即 i(0) = iL(0)，所以uC(0)等价为电感电流的初始状态。也就是说：知道了电容初始电压 uC(0) 和电感初始电流 iL(0)，就可以确定 t0 的电容电压 uC(t)。本节重点是零输入响应。也就是戴维南开路电压 uoc(t) = 0 时方程式（8-10）的解，即d2uCdt2LC+ uC = 0 ，t0duCdt+ RC电路

11、分析基础第二部分：8-2 3/10d2uCdt2LCuC = 0 ，t0duCdt1（8-12）或+RL+根据微分方程理论，此类方程的解取决于特征方程根的性质。（8-12）式的特征方程为 = 0（8-13）s2 +RLs +LC1该方程有两个根，即LC1s1, 2 = R2L( )2R2L（8-14）特征根也即电路的固有频率，它将确定零输入响应的形式。由于R、L、C的数值不同，固有频率 s1 和 s2 可以有三种情况：(1) 当LC1R2L( )2时，s1, s2 为不相等的负实数；LC1R2L( )2=(2) 当时，s1, s2 为相等的负实数；LC1R2L( )2时，亦即R2 4CL时，固

12、有频率为不相等的负实数，齐次方程的解答可表示为其中常数K1 和 K2 由初始条件确定。其确定方法为uC(t) = K1e s1t + K2e s2t V，t0 iL(t) = K1e s1t + K2e s2t A，t0（8-15）由（8-15）得 uC(0) = K1 + K2 （8-16）由（8-15）求导得 uC(0) = K1 s1 + K2 s2 =（8-17）iL(0)C解上两式联立方程可得K1 =1s2 s1s2 uC(0) iL(0)C（8-18）K2 =1s1 s2s1 uC(0) iL(0)C（8-19）电路分析基础第二部分：8-2 5/10由于 s1 和 s2 是不相等的

13、负实数，故它们可以表示为s1 = 1 ， s2 = 2LC1即1, 2 =R2L( )2R2L（8-22）以上结果表明：无论是 uC(t) 还是 iL(t)，都是由随时间指数衰减的函数线性组合而成，因而都是非震荡性的。将以上众结果代入（8-15）， uC(t) 可以表示为uC(t) =（8-23）(2e 1t 1e 2t)2 1uC(0)+(e 1t e 2t)(2 1)CiL(0)V，t0iL(t) 可以表示为 iL(t) = CduCdt=(e 2t e 1t)2 1uC(0)21C+2 1iL(0)(2e 2t 1e 1t) A，t0（8-24）电路分析基础第二部分：8-2 6/10uC

14、(0)= U0，iL(0)=0时的具体情况：时的具体情况：由(8-22)知： 1 2 ，故e 1t衰减得慢，e 2t衰减得快，如图8-4(a)所示。由(8-23)和(8-24)知： 由于e 1t衰减得慢，e 2t衰减得快，使 e 2t e 1t，使uC(t) 单调衰减，iL(t)永远为负。注意： uC(t) 的变化率决定着 iL(t)。uC(t)单调衰减，则其变化率永远为负，所以 iL(t) 永远为负。随着时间的增加，最后两者都衰减为零。（为什么？为什么？） iL(t) 在变化过程中，存在一点t=tm，使其幅度达到最大值。此时，diL /dt=d(e 2t e 1t)/dt=0，即图8-4(b

15、) 非震荡性响应OtU0uC iLuCiLtm图8-4(a) 指数衰减曲线 1 4L/C)，所以能量消耗比能量转换储存更迅速；到 t=tm 时，电流达到最大值，以后磁能不再增加，而是随着电流的衰减而逐渐释放，连同电能一起被电阻消耗掉。因此电容电压单调衰减，形成非震荡放电过程。从物理意义上讲： 从初始时刻开始，电容通过电感和电阻放电，其中一部分过阻尼情况：这种由于串联回路中电阻更大(R2 4L/C)而产生非震荡阻尼衰减的过程称为RLC过阻尼情况。电路分析基础第二部分：8-2 8/10例8-1 图8-3所示电路，C=1F，L=1H，R=3；uC(0)=0，iL(0)= 1A；。t0时uoc(t)=

16、0，试求uC(t)、iL(t)，t0。解：电路的微分方程为d2uCdt2LCuC = 0duCdt1+RL+特征方程和特征根为 = 0s2 +RLs +LC1LC1s1, 2 = R2L( )2R2Ls1 = 0.382， s2 = 2.618 电路的微分方程的解为uC(t) = K1e s1t + K2e s2tV，t0将 uC(0)=0和uC(0)=iL(0)/C=1代入得K1 + K2 = 0， K1 s1 + K2 s2 = 1，0.382 K1 +2.618 K2 = 1K2 = 1/(2.6180.382) = 0.447, K1 = K2 = 0.447i(t)+uCLC+ uL

17、 +uR+ uoc电路分析基础第二部分：8-2 9/10即 uC(t) = 0.447e 0.382 t 0.447e 2.618 t V ，t0 iL(t) = CduCdt= 0.171e 0.382 t + 1.17e 2.618 t A ，t0图8-6(a) 指数衰减曲线 1 2Of(t)t1e 1t2e 2t21tm图8-6(b)零输入响应iL(t)OtI0iL(A)tm图8-5 零输入响应uC(t)OtUmuC(V)tm电路分析基础第二部分：8-2 10/10例8-2 图8-3所示电路，C=1/4F，L=1/2H，R=3；uC(0)=2V，iL(0)= 1A；。t0时uoc(t)=

18、0，试求uC(t)、iL(t)，t0。解：LC1s1, 2 = R2L( )2R2L= 3 1 ，s1 = 2， s2 = 4同理可得K1 = 6, K2 = 4即 uC(t) = 6e 2 t 4e 4 t V ，t0iL(t) = CduCdt= 4e 4 t 3e 2 t A ，t0Ot6e 2 t4e 4 t图8-7 零输入响应 uC(t) 和 iL(t)Ot1iL(A)uC(V)24e 4 t3e 2 t电路分析基础第二部分：第八章 目录第八章 二 阶 电 路1 LC电路中的正弦震荡 4 RLC电路的零输入响应 欠阻尼情况2 RLC电路的零输入响应 5 直流RLC串联电路的完全响应

19、过阻尼情况3 RLC电路的零输入响应 6 GCL并联电路的分析 临界阻尼情况 7 一般二阶电路电路分析基础第二部分：8-3 1/38-3 RLC串联电路的零输入响应临界阻尼情况( )LC1R2L2=图8-3电路中，若，亦即R2 = 4CL时，固有频率为相等的负实数，齐次方程的解可表示为uC(t) = K1e t + K2te t V，s1 = s2 = iL(t) = K1e t + K2te t A，s1 = s2 = （8-26）其中常数K1 和 K2 由初始条件确定。其确定方法为uC(0) = K1 （8-27）uC(0) = K1 s1 + K2 = K1 + K2 =（8-28）iL

20、(0)CiL(0)CK2 =+ K1 =iL(0)C+ uC(0) （8-29）即 uC(t) = uC(0)(1+t)e t +（8-30）te tiL(0)CV，t0iL(t)=CduCdt= uC(0)2Cte t + iL(0)(1t)e t A （8-31）t0电路分析基础第二部分：8-3 2/3从(8-30)和(8-31)两式可知：电路电路响应仍然是非震荡性的，但如果电阻稍稍减小一点点，以致R2 4L/C，则响应将为震荡性。因此，符合条件R2 = 4L/C时的响应处于临近震荡状态，称为临界阻尼(critically damped)情况。例8-3 图8-3所示电路，C=1F，L=1/

21、4H，R=1；uC(0)= 1V，iL(0)= 0；t0时uoc(t)=0。试求iL(t)，t0。解：电路固有频率为 LC1s1, 2 = R2L( )2R2L= 2电路属于临界阻尼状态。iL(t) = K1e 2 t + K2te 2 t A，t0iL(0) = K1 = 0 （a）iL(0) = s1K1 + K2 = 2K1 + K2又根据KVL，可得uL(0)+uC(0)+uR(0)=Ldidt0+uC(0)+Ri(0)=0iL(0) = uC(0)/L = 4电路分析基础第二部分：8-3 3/3因此s1K1 + K2 = 2K1 + K2 = 4 （b）由(a)、(b)两式可得 K1

22、 = 0， K2 = 4 因此 iL(t) = 4te 2 t A , t0顶点计算：令diL/dt = 0，可得 4te 2 t(1-2t)=0，即t=0.5S，代入原式可得 iL(0.5) = 40.5e 2 0.5 = 2/e = 0.7376 图8-8 临界阻尼时的零输入响应iL(t)Ot0.74iL(A)0.5电路分析基础第二部分：第八章 目录第八章 二 阶 电 路1 LC电路中的正弦震荡 4 RLC电路的零输入响应 欠阻尼情况2 RLC电路的零输入响应 5 直流RLC串联电路的完全响应 过阻尼情况3 RLC电路的零输入响应 6 GCL并联电路的分析 临界阻尼情况 7 一般二阶电路电

23、路分析基础第二部分：8-4 1/118-4 RLC串联电路的零输入响应欠阻尼情况当LC1R2L( )2时，亦即R2 4CL时，固有频率为共轭复数，可表示为LC1s1, 2 = R2L( )2R2LLC1= R2L j( )2R2L= j d （8-32）其中 = R2L（8-33）d =LC1R2L( )2LC1= 02 2 （8-34）0 =电路分析基础第二部分：8-4 2/11uC(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) V，t0 iL(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) A，t0 （8-35）在此种情况下，齐次方程的解可表示为其中常

24、数K1 和 K2 由初始条件确定。其确定方法为为了便于反映响应的特点，将式（8-35）进一步改写为uC(t) = e tsin dtK12 +K22K1K12 +K22cos dt +K2K12 +K22= Ke t cos ( dt + ) V，t0 （8-39）其中 K = K12 +K22 ， = arctgK2K1uC(0) = K1 （8-36）uC(0) = K1 + dK2 =（8-37）iL(0)CiL(0)CK2 =+ K1 =iL(0)C（8-38）+ uC(0)1d1d电路分析基础第二部分：8-4 3/11OtuC(t)Ke t 包络线 Ke t 包络线周期 =d2图8-

25、9 震荡性零输入响应，uC(0) = U0U0uC(t) = Ke t cos ( dt + )(8-39)式表明： uC(t) 是衰减震荡性的，如图8-9所示。振幅Ke t 随时间作指数衰减。因此R2 4L/C、能引起衰减震荡的情况称为欠阻尼(underdamped)情况。电路分析基础第二部分：8-4 4/11衰减因子或衰减系数： = L/2R 称为衰减因子， 越大，衰减震荡的振幅衰减得就越快，反之则越慢。 震荡角频率： d 称为震荡角频率， d 越大，衰减震荡的震荡速度就越快，震荡周期越小，反之则速度越慢、周期越大。 包络线(envelope)： 按 Ke t 变化的曲线， 将震荡信号包裹

26、在中间，其衰减速度取决于 。 等幅震荡： 当电路中电阻为零时， = 0，包络线Ke t 变成 K 两条与 t 轴平行的直线， 因此震荡信号就变成幅度恒定的等幅震荡。能量在L、C之间无损失地交替转换储存。 将K1 和 K2代入式（8-39）可得e t cos (dt) +uC(t) = uC(0)d0e t sin dt V （8-40）iL(0)dCd2 + 2 ， = arctg0 =d= arcsin0，t0电路分析基础第二部分：8-4 5/11此时，以上所推导的参数变成：LC1 = 0，d = 0 =；uC(0) = K1，K2 =iL(0)0CuC(t) 和 iL(t) 变成：cos

27、0t +uC(t) = uC(0)sin 0t V，t0 （8-42）iL(0)0CiL(t) = iL(0) cos 0t uC(0 ) 0C sin 0t A，t0 （8-43）此时，对任意的L、C值，总能量为：w(t) =12Cu2(t) +12Li2(t) =12Cu2(0)12Li2(0) = w(0) （8-44）+e t cos (dt+) uC(0)iL(t) = iL(0)d0e t sin dt Ad02C（8-41），t0电路分析基础第二部分：8-4 6/11cos 0t +uC(t) = uC(0)sin 0tiL(0)0CiL(t) = iL(0) cos 0t uC

28、(0 ) 0C sin 0tOtuC(t)Ke t 包络线 Ke t 包络线周期=02零输入响应为等幅震荡，uC(0) = U0U0周期 =d2K K电路分析基础第二部分：8-4 7/11谐振角频率： 当电路等幅震荡时的角频率0 = 1/ LC，称为谐振(resonant)角频率，是电路的固有频率（s = j 0）。阶段总结阶段总结（1）综上所述，电路的零输入响应取决于电路的固有频率 s 。固有频率可以是实数、复数或虚数，决定了零输入响应是非震荡过程（过阻尼、临界阻尼）、衰减震荡过程或等幅震荡过程。（2）我们可以认为固有频率 s 是复频率（固有频率只有实部或虚部是其特殊情况）。（3）一阶网络的

29、固有频率 s= 1/，=RC或L/R，是负实数，表示一阶网络的零输入响应是按指数规律衰减的非震荡过程。电路分析基础第二部分：8-4 8/11例8-4 图8-3所示电路，C=1F，L=1H，R=1；uC(0)= 1V，iL(0) = 1A。求零输入响应 uC(t) 及 iL(t)，t0。解：LC1s1, 2 = R2L( )2R2L= 21 j23= j d固有频率是复数，电路响应是欠阻尼状态下的衰减震荡。衰减系数 = ，衰减震荡角频率 d = 3/2。uC(0) = K1 = 1， uC(0) = K1 + dK2 =iL(0)CuC(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin

30、dt)V ，t0= 1K1 = 1， K2 = 3因此uC(t) = e t ( cos23t +323sint ) V， t0电路分析基础第二部分：8-4 9/11或uC(t) = 2e t cos233V， t0t iL(t) = 2e t cos233A， t0t +Ot周期=41 13sindt电路分析基础第二部分：8-4 10/11Ot22e tOt11cos(dt+60)Ot22uC(t)12e t2e t电路分析基础第二部分：8-4 11/11 这是周期等于180或 的余弦信号，只要将初始相位和幅度正确掌握，可以很轻松的画出波形曲线来。例8-5 图8-12所示电路，C=4F，L=

31、 1/16 H；uC(0)= 1V，iL(0) = 1A。求零输入响应 uC(t) 及 iL(t)。iL(t)图8-12 LC震荡回路+uC(t)LC解：d2uCdt2LCuC = 01+LC1s2 += 0s1, 2 = j 0 = j LC1= j 2uC(t) = K1 cos 0t + K2 sin 0tuC(0) = K1 = 1， uC(0) = 0K2 =iL(0)C= 1/4 K1 = 1， K2 = 1/8即 uC(t) = cos 2t + 1/8 sin 2t = 1.008 cos(2t 7) V ，t0iL(t) = CduCdt= 8 sin 2t + cos 2t

32、 = 8.06 cos(2 t + 82.875) A，t0电路分析基础第二部分：第八章 目录第八章 二 阶 电 路1 LC电路中的正弦震荡 4 RLC电路的零输入响应 欠阻尼情况2 RLC电路的零输入响应 5 直流RLC串联电路的完全响应 过阻尼情况3 RLC电路的零输入响应 6 GCL并联电路的分析 临界阻尼情况 7 一般二阶电路电路分析基础第二部分：8-5 内容回顾内容回顾： 本章研究的是包含两个动态元件的二阶电路，它们用二 阶线性常系数常微分方程描述。本章着重分析有电感和 电容组成的二阶电路。 和一阶电路不同，二阶LC电路会出现震荡形式。 学习时应注意：电路微分方程的建立，特征根的重要

33、意义， 微分方程解的物理含义等方面的内容。 然后通过分析说明RLC电路的一般分析方法，以及固有频 率与固有形式的关系。 本章首先从物理概念上阐述LC电路的零输入响应具有正弦 震荡的形式；电路分析基础第二部分：8-5 1/88-5 直流RLC串联电路的完全响应问题的提出：如果图8-3电路中， uoc(t) = Us(t0)，则，这样的电路的响应会有什么特点呢？由（8-10）式可得电路的微分方程为特征方程：其特征方程仍如（8-13）式所示：LCs2 + RCs + 1 = 0。 满足（8-44）式的特解是uCp = Us (t0)。因此，对第一种情况特征方程有两个不相等的负实数根的解可表示为d2u

34、Cdt2LC+ uC = Us t0 （8-44）duCdt+ RC三种情况：根据固有频率的三种不同情况，本方程的解也分为三种情况，其三种情况的齐次解分别如(8-15)、(8-26)、(8-30)式所示。常数K1 和 K2 必须要求得（8-44）的特解，并再加上齐次解形成通解后，再根据初始条件来确定。电路分析基础第二部分：8-5 2/8uC(t) = K1e s1t + K2e s2t + Us t0 （8-45）根据初始条件可求得 K1 =1s2 s1s2 uC(0) Us iL(0)C（8-46）K2 =1s1 s2s1 uC(0) Us iL(0)C（8-47）因此，这个响应与零输入响应

35、相比，差别仅仅在于将(8-46)、(8-47)两式中的 uC(0) Us 代替了(8-18)、(8-19)两式中的 uC(0) 。例8-6 电路如图8-3(b)所示，已知R2 4L/C，直流电压uoc(t) = Us(t0)，试求uC(t)，并绘出波形图。设电路为零初始状态。解：R2 (1) 当 G=10S 时，属于过阻尼iL(t) = K1e s1t + K2e s2t + 125 1s1, 2 = 5 = 5 24s1 = 5 + 2s2 = 5 266其中特解 iLp=1。已知uC(0)=iL(0)=0，故得iL(0) = K1 + K2 = 0 iL(0) = K1 s1 + K2 s

36、2 =uC(0)L= 0 解上两式联立方程可得K1 =s2s1 s2K2 =s1 s2s1= 65 + 264=65 26464iL(t) = 1 +故得(52 6 ) e1 (5+2 6 ) t (5+2 6 ) e (52 6 ) t(t)电路分析基础第二部分：8-6 6/8LC1G2C( )2=(2) 当 G=2S 时，属于临界阻尼iL(t) = K1e s1t + K2te s2t + 1s1 = s2 =G2C= 1iL(0) = K1 + 1 = 0 iL(0) = K1 s1 + K2 =uC(0)L= 0 K1 = 1，K2 = 1iL(t) = 1 (1+ t)e t (t)

37、LC1G2C( )2(3) 当 G=0.1S 时，属于欠阻尼s1, 2 = j d= 0.05 jiL(0) = K1 + 1 = 0iL(0) = K1 + dK2 = 0iL(t) = e t (K1 cos dt + K2 sin dt) + 1 故 iL(t) = 1 e 0.05 t (cos t + 0.05 sin t) (t) 1 e 0.05 t cos t (t) K2 =dK1 = 1 = 0.05由此可得电路分析基础第二部分：8-6 7/8OtuC(t)图8-18 例8-9Us2040电路分析基础第二部分：8-6 8/8再一次强调： 要了解电路固有响应，只要掌握特征根（

38、固有频率）的性质即可。固有频率一般为复数，可以用复频率面（纵轴为虚数，横轴为实数）上的点表示： 若固有频率分布在复频率面的左半面，则固有响应幅度是衰减的（稳定），属于欠阻尼状态；若在右半面，则固有响应的幅度是发散的（不稳定）。 若固有频率分布在复频率面的实轴上，则固有响应幅度是非震荡的。根据固有频率是不重合或重合，可确定 RLC 或 GCL 是过阻尼状态，或是临界阻尼状态。 若固有频率分布在复频率面的虚轴上，则固有响应幅度是等幅震荡的，完全没有衰减。 虽然本章只是讨论二阶动态电路，但以上结论可以推广到高阶电路，因为根据第四章电路分解理论，高阶电路可以分解为低阶（一阶、二阶）电路的组合。电路分析

39、基础第二部分：第八章 目录第八章 二 阶 电 路1 LC电路中的正弦震荡 4 RLC电路的零输入响应 欠阻尼情况2 RLC电路的零输入响应 5 直流RLC串联电路的完全响应 过阻尼情况3 RLC电路的零输入响应 6 GCL并联电路的分析 临界阻尼情况 7 一般二阶电路电路分析基础第二部分：8-7 1/78-7* 一般二阶电路 除了前面介绍的一阶电路和LC二阶电路以外，其他二阶电路，以及高阶电路也可以用状态方程来描述。状态变量：动态电路中，动态元件的连续电压或连续电流称为动态变量，典型为电容电压或电感电流。状态方程：动态电路中，根据KCL或KVL列写的、由状态变量及其一截微分以及输入电压或电流构

40、成的方程称为状态方程。 状态方程具有一定的标准形式，可以遵循系统化的列写步骤。本节重点介绍状态方程的列写方法和解法。二阶电路：动态电路中，由两个动态元件构成的动态电路称为二阶电路，典型为电容电感型、电容电容型或电感电感型。电路分析基础第二部分：8-7 2/7状态方程的物理意义：状态方程体现了电路状态演变的情况，具体地说，就是反映了状态变量的变化率变化率是状态状态变量当前值变量当前值和当前输入变量当前输入变量的函数。i C2N(b)+u C2i C1+u C1C 1C 2Li LN(a)+u Li C+u CC 图8-22 二阶电路的三种 基本结构形式L2i L1N(c)+u L2i L1+u L1L1状态方程的具体形式：对任何二阶电路（图8-22），其输入为一个独立电压源u s，则状态方程可描述为duCdt= f1(u C, i L, u s )（8-51）di Ldt= f2(u C, i L, u s )（8-52）若图8-22(a)中的网络 N 为一个有源电阻网络，则用电压源 u C 置换电容、电流源置换电感 i L 以后，用叠加定