第3章刚体的转动plus力学公式列表

1、大学物理1大学物理2大学物理33-1、3-24 刚体：刚体：在外力作用下，形状和大小都不在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体发生变化的物体( (任意两质点间距离保持任意两质点间距离保持不变的特殊质点组不变的特殊质点组) )刚体的运动形式：刚体的运动形式：平动、转动平动、转动 刚体是理想模型刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的刚体模型是为简化问题引进的说明：说明：5 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：平动：刚体中所刚体中所有点的运动轨迹都保有点的运动轨迹都保持完全相同持完全相同 特点：特点：各点运动各点运动状态一样，如：状态一样，如： 等都相同等都相同a、v6转动转动：分分定

2、轴转动定轴转动和和非定轴转动非定轴转动刚体的刚体的平面运动平面运动 7刚体的一般运动可看作：刚体的一般运动可看作：随质心的平动随质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+的合成的合成8沿沿逆时针逆时针方方向转动向转动一一 刚体转动的角速度和角加速度刚体转动的角速度和角加速度)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标沿沿顺时针顺时针方方向转动向转动 tttddlim0角速度矢量角速度矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向P(t+dt)z.OxP(t)r.d9角加速度角加速度tdd 刚体刚体定轴定轴转动转动( (一维转动一维转动) )的的转动转动方向方向可以用可以用角速度角速度的正、负的正、负来

3、表示来表示. .00zza0a0 角加速度是矢量，但对于刚体角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两定轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加个，在表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必用矢量表示。度的方向，不必用矢量表示。说明：说明： 角坐标、角位移、角速度角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量是用来描述定轴和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；述质点的曲线运动；位矢、位移、速度、加速度等线位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。

4、量是用来描述质点的运动。11二二 角量与线量的关系角量与线量的关系tervte2ntraran2tereratddtt22ddddavrtana12( (1) ) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；平面； ( (2) ) 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；,a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 大学物理13vvmrprLLrxyzomsinvrmL 大小大小方向：右手法则方向：右手法则. 质点的角动量必是相对于某一点而言质点的角动量必是相对于某一点而言 注意注意质点角动量的定义质点角动量的定义 三、动量矩（角动量） 单位：单位：k

5、gkgm m2 2s s-1-1 14 例例 一半径为一半径为 R 的的光滑圆环置于竖直平面光滑圆环置于竖直平面内内. 一质量为一质量为 m 的小球的小球穿在圆环上穿在圆环上, 并可在圆并可在圆环上滑动环上滑动. 小球开始时小球开始时静止于圆环上的点静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的的水平面上水平面上)，然后从，然后从 A点开始下滑设小球与圆环间的摩擦力略点开始下滑设小球与圆环间的摩擦力略去不计求小球滑到点去不计求小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的的角动量和角速度角动量和角速度大学物理15)(mvrLLiiiii指某一质点的角动量iL质点系质点系（刚体）（刚体）

6、vmrprL质点质点质点系的角动量质点系的角动量 irim ivzLiiiivmrL krmii 2 对于绕固定轴对于绕固定轴oz 转转动的整个刚体而言动的整个刚体而言: : 对于绕固定轴对于绕固定轴oz的的转动的质元转动的质元 而言而言: : im 2Ni iiLmr 注意 质点的角动量是相对于某一点来说的，刚体质点的角动量是相对于某一点来说的，刚体的角动量则是对某一固定转轴而言的。的角动量则是对某一固定转轴而言的。大学物理17cosdmdLzzRvLzORmdr)d(dvmrLzzLd整个刚体对整个刚体对O O点的角点的角动量沿动量沿OZOZ轴的分量轴的分量dmrrdm2r标量标量四、刚体

7、定轴转动的角动量与转动惯量Jdm2rLz方向：方向：Z Z轴方向（轴方向（ 的方向）的方向）转动惯量转动惯量 JcosdmddzRvmrvL大学物理18转动惯量转动惯量单位：kg.m2dm为质量元，简称质元。计算方法：为质量元，简称质元。计算方法：dldmdsdmdVdm质量为线分布质量为面分布质量为体分布 、 、 分别为质量的线密度、面密度和体密度。分别为质量的线密度、面密度和体密度。与转动惯量有关的因素：与转动惯量有关的因素：刚体的质量、转轴的位置、刚体的质量分布刚体的质量、转轴的位置、刚体的质量分布大学物理19RO解：解：22mRdmR J J是可加的，所以若为薄圆是可加的，所以若为薄圆

8、筒（不计厚度）结果相同。筒（不计厚度）结果相同。dmdmRJ2例例1、求质量为、求质量为m、半径为半径为R的均匀圆环的转动的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。大学物理20例例2、求长为、求长为L、质量为质量为m的均匀细棒对图中的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。不同轴的转动惯量。ALXL/2L/2OXBLX同一刚体对不同位置的转轴，其转动惯量不同。同一刚体对不同位置的转轴，其转动惯量不同。12dd322220lxxmrJll2121ml23023131dmllxxJlA22222121dmhmlxxJhlhlB大学物理21 例例3 一质量为一质量为

9、 、半径为、半径为 的均匀圆盘，的均匀圆盘，求通过盘中心求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .mROROR4032d2RrrJRr dr 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2 Rm而而rrmd2d圆环质量圆环质量221mRJ 所以所以rrmrJd2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量大学物理22?dd,ddtLFtpptrtprprttLdddd)(dddd *质点的角动量定理质点的角动量定理 质点所受的合外质点所受的合外力矩力矩等于它的角动量对时间的变化率等于它的角动量对时间的变化率

10、.vmvFr1.质点的角动量定理质点的角动量定理prL五、角动量定理FrM大学物理232.质点系的角动量定理质点系的角动量定理对第对第i个质点个质点dtLdMMieili,niieinilidtLdMM1,1,)(所有质点所有质点niinieiniliLdtdMM11,1,内力成对出现且等值反向内力成对出现且等值反向01,niliMtLMdd大学物理243.刚体的角动量定理与定轴转动定律刚体的角动量定理与定轴转动定律tLMdd刚体所受合刚体所受合外力矩外力矩刚体对一点刚体对一点的角动量的角动量绕定轴转动的刚体，只考虑绕定轴转动的刚体，只考虑M与与L沿转轴（沿转轴（Z）的分量）的分量tLMZZd

11、dt d)d(J)(JLzJ刚体定轴转动的转动定律刚体定轴转动的转动定律绕定轴转动的刚体绕定轴转动的刚体所受的合外力矩在所受的合外力矩在OZ轴的分量轴的分量MZ等于刚体对该轴等于刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积。的转动惯量与角加速度的乘积。大学物理25总的来说，总的来说，tLMdd是角动量定理的一般表达式，是角动量定理的一般表达式，与牛顿第二定律与牛顿第二定律tPFdd同样重要同样重要FrdtPrdtLM)(dd 质点tLMZZdd 刚体t d)d(JJ大学物理26六、力矩Pz*OFdFrMsin大小MFrd : 力臂力臂dFrM 对转轴对转轴 Z 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0ii

12、MFFFFFM方向：右手定则F0,0iiMF大学物理27zOkFr讨论讨论FFFzFrkMzsin rFMzzFF 1）若力若力 不在转动平面内不在转动平面内 F2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMM 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩为力矩为zFF大学物理28冲量矩定理：对同一参考点冲量矩定理：对同一参考点 O ，系统所受的冲量，系统所受的冲量矩等于质点角动量的增量矩等于质点角动量的增量.12d21LLtMtttLMdd冲量矩定理力矩对时间的累积效应改变系统的角动量力矩对时间的累积效应改变系统的角动量冲量矩大学物理29

13、力力的时间累积效应：的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理 力矩力矩的时间累积效应：的时间累积效应： 冲量矩、动量矩、动量矩定理冲量矩、动量矩、动量矩定理大学物理30力的空间累积效应 力的功,动能,动能定理.力矩的空间累积效应 力矩的功,转动动能,动能定理.orvFxvFoxrrdd七、刚体转动的动能定理力矩的功：力矩的功：当刚体在当刚体在外力外力矩作用矩作用下绕定轴转动而发下绕定轴转动而发生生角位移角位移时，就称力矩对时，就称力矩对刚体做功刚体做功。大学物理31 力力 对对P 点作功点作功：FrFddAsindsF2cosdsFddrs 00 drFrdP大学物理32因因

14、MFrsinddMA 0ddMMA力矩作功：力矩作功：00 drFrdP大学物理33221iivm因此整个刚体的动能因此整个刚体的动能 刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点刚体的转动动能应该是组成刚体的各个质点的动能之和。的动能之和。 设刚体中第设刚体中第i i个质点的质量为个质点的质量为 ，速度为速度为 , , 则该质点的动能为：则该质点的动能为：imiv 刚体做定轴转动时，各质点的角速度刚体做定轴转动时，各质点的角速度 相同。相同。设质点设质点 离轴的垂直距离为离轴的垂直距离为 ，则它的线速度，则它的线速度imir2222121iiiiKrmvmEiirv大学物理34221JEK 上式中

15、的动能是刚体因转动而具有的动能，因上式中的动能是刚体因转动而具有的动能，因此此叫刚体的转动动能。叫刚体的转动动能。 式中式中 是刚体对转轴的转动惯量是刚体对转轴的转动惯量 ，所，所以上式写为以上式写为2iirmJ总外力矩对刚体所作的功为：总外力矩对刚体所作的功为： 21dAM21222111d22AMJJ转动的动能定理转动的动能定理21dAM2121ddddJtJ大学物理3521222111d22AMJJ刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理: : 合外力矩对绕定轴转动的刚体所合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量作的功等于刚体转动动能的增量 . .转动动转动动能能大学物理36

16、cpmghE 即：即：iiiiphmgghmE质心高度为：质心高度为：mhmhiic 对于一个不太大的质量为对于一个不太大的质量为 的物体，它的重的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和m大学物理37 系统所受对参考点系统所受对参考点 O 的合力矩为零时，则系统对的合力矩为零时，则系统对该参考点该参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. LM,0当当 恒矢量恒矢量 八、动量矩守恒定律tLMdd根据角动量定理根据角动量定理 注意注意这里的系统可以是这里的系统可以是质点、质点系、刚体质点、质点系、刚体。只。只要它们所受的合外力矩为

17、要它们所受的合外力矩为0，就可以用角动量守，就可以用角动量守恒定律解题。恒定律解题。常量JL刚体刚体大学物理38 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件0M若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJ讨论讨论再如：跳水运动员的再如：跳水运动员的“团团身身- -展体展体”动作动作例如：花样滑冰运动员例如：花样滑冰运动员的的“旋旋”动作动作大学物理40 例例 设某恒星绕自转轴每设某恒星绕自转轴每45天转一周，它的内核半径天转一周，它的内核半径R0约为约

18、为2107m，坍缩成半径，坍缩成半径R仅为仅为6103 m的中子星，的中子星，试求中子星的角速度（坍缩前后的星体内核均看做是试求中子星的角速度（坍缩前后的星体内核均看做是匀质圆球）。匀质圆球）。解：在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因此恒星的角动解：在星际空间中，恒星不会受到显著的外力矩，因此恒星的角动量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的角动量量应该守恒，则它的内核在坍缩前后的角动量J J0 00 0和和JJ应相等应相等 JJmRJmRJ002200;52;522020RRd/s18s/d6060241106102452237200raraRR得：由于中子星的致密性和极快的旋转角速度，在星

19、体周围形由于中子星的致密性和极快的旋转角速度，在星体周围形成了极强的磁场，并沿着磁轴方向发出很强的无线电波、光或成了极强的磁场，并沿着磁轴方向发出很强的无线电波、光或X X射线，当这个辐射束扫过地球时，就能检测到脉冲信号，因此，射线，当这个辐射束扫过地球时，就能检测到脉冲信号，因此，中子星又叫脉冲星，目前已探测到的脉冲星超过中子星又叫脉冲星，目前已探测到的脉冲星超过300300个。个。 大学物理41vo子弹击入杆ov以子弹和杆为系统机械能不守恒 .角动量守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒 .讨 论子弹击入沙袋细绳质量不计大学物理42例例 如图所示，质量为如图

20、所示，质量为M，长为，长为l的均匀细杆，可绕的均匀细杆，可绕A端的水平端的水平轴自由转动，当自由下垂时，有一质量为轴自由转动，当自由下垂时，有一质量为m的小球，在离杆的小球，在离杆下端为下端为a处垂直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰处垂直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰撞后的最大偏角为撞后的最大偏角为，试求小球击中细杆前的速度。，试求小球击中细杆前的速度。vAla解解：过程分两步：过程分两步1、球与棒发生碰撞，角动量守恒、球与棒发生碰撞，角动量守恒2、球与棒摆动，机械能守恒。、球与棒摆动，机械能守恒。Jalmv )(21(1 cos )22lJMg细杆细杆213JMl解得 2sin32)(glalmMlv大学物理43大学物理44质点运动质点运动刚体定轴