经济数学教案（高职）

1、.第一讲 第一章：函数 4学时教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。教学内容概述：本讲主要复习中学所学集合；函数；函数的表示方式，函数的几种特性；反函数与复合函数；基本初等函数；初等函数等。教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。教学过程：一、集合1、 集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素。1)2)元素与集合的关系：，一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是

2、有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作若作且则称A是B的真子集。全集I：AiI（I=1，2，3，.）。空集： 。2、 集合的运算并集： 交集：差集：补集（余集）：IA集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律： 结合律：，分配律： ，对偶律： ( 笛卡儿积： A×B3、区间和邻域1）有限区间：开区间，闭区间，半开半闭区间。2）无限区间：（），。3）邻域：注：a 邻域的中心，邻域的半径；去心邻域记为。二、映射映射概念定义 设X，Y

3、是两个非空集合，如果存在一个法则，使得对X中的每一个元素，按法则，在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称为从X到Y的映射，记作 其中称为元素的像，并记作，即。 注意：每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一。三、函数1、 函数的概念定义 设数集，则称映射为定义在D上的函数，记为 。注：函数相等：定义域、对应法则相等。2、 函数的几种特性1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。2）函数的单调性（单增、单减），在x1、x2点比较函数值与的大小（注：与区间有关）。3）函数的奇偶性(定义域对称、与关系决定)，图形特点 (关于原点、Y轴对称)。4)函数的周期性(定义域中成

4、立：)3、 函数与复合函数1）反函数：函数是单射，则有逆映射，称此映射为函数的反函数。函数与反函数的图像关于对称。2）复合函数：函数定义域为D1，函数在D上有定义、且。则为复合函数。3）分段函数：分段函数的统一表达式。结论：对于分段函数 f（x）=若初等数函f1（x）和f2（x）满足f1（a）= f2（a），则 f（x）= f1（x+a-）+ f1（x+a+）- f1（a）4、初等函数1）幂函数： 2)指数函数： 3)对数函数： 4)三角函数：5)反三角函数：， 以上五种函数为基本初等函数。6）双曲函数：，注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式：7）反双曲函数：例1 已知分段函数 1）求其

5、定义域并作图；2）求函数值例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：y=10u，u=1+x2, y=arctanu2, u=tanv, v=a2+x2.例3 求函数的反函数及反函数的定义域：y=x2,（0 x）， 作业：见课后各章节练习。第二讲 第一章：函数 4学时教学目的与要求：掌握复合函数的分解方法；熟悉经济分析中的常用函数。教学内容概述：本讲主要讲授复合函数的分解；经济分析中的常用函数。教学重点（难点）：理解复合函数的分解；掌握常用经济函数的具体形式。 教学过程：一、复合函数注：（1）不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数。例如： ；因前者定义域为-1，1，后者，故这两个函

6、数不能复合成复合函数。（2）复合函数可以由两个以上的函数经过复合而成。例1 设 求解 =例2 将下列函数分解成基本初等函数的复合 （1） （2） 解 （1）所给函数是由 四个函数复合而成的 （2）所给函数是由 三个函数复合而成的。二、常用经济函数1、单利与复利单利计算公式 设初始本金为P（元），银行年利率为r，则第一年末本利和为 ；第二年末本利和为；。第n年末本利和为。复利计算公式 设初始本金为P（元），银行年利率为r，则第一年末本利和为 ；第二年末本利和为 ；。第n年末本利和为 2、多次付息单利付息情形因每次的利息不记入本金，故若一年分n次付息，每次利息为则第一次末本利和为 第二次末本利和为

7、 。第n次末即年末的本利和为 复利付息情形因每次支付的利息记入本金，设初始本金为P（元），银行年利率为r，若一年分m次付息，第一次末本利和为 第二次末本利和为 。第m次末即一年末的本利和为 第m+1次末的本利和为 第二年末的本利和为 第n年末本利和为 例1：现有初始本金100元，若银行年储蓄利率为7%，问：（1）按单利计算，3年末的本利和为多少？（2）按复利计算，3年末的本利和为多少？（3）按复利计算，需多少年才能使本利和超过初始本金一倍？解 （1）已知p=100， r=0.07 由单利计算公式得（元）即三年末的本利和为121元。（2）由复利计算公式得 （元）即三年末的本利和为122.5元。

8、（3）若n年后的本利和超过初始本金一倍，即要 从而即需11年后本利和可超过初始本金的一倍。3、贴现 设第n年后价值为R元钱的现值，假设在这n年之间复利年利率r不变。利用复利计算公式有 得到第n年后价值为R元钱的现值为例2 某人手中有三张票据，其中一年后到期的票据金额是500元，二年后到期的票据金额是800元，五年后到期的票据金额是2000元，已知银行的贴现率为6%，现在将三张票据向银行做一次性转让，银行的贴现金额是多少？解 由贴现计算公式，贴现金额为 其中 。故（元） 4、需求函数 需求函数表示的就是商品需求量和价格这两个经济变量之间的数量关系 其中表示需求量，表示价格。需求函数的反函数称为价

9、格函数，习惯上将价格函数也统称为需求函数。需求函数是单调减少函数 需求函数的线性模型为5、供给函数供给函数表示的就是商品的供给量和价格这两个经济变量之间的数量关系其中表示供给量，表示价格。供给函数以列表方式给出时称为供给表，而供给函数的图像称为供给曲线。供给函数是单调增加函数。供给函数的线性模型为6、市场均衡对一种商品而言，如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了市场均衡。以线性需求函数和线性供给函数为例，令 则 称为该商品的市场均衡价格。为该商品的市场均衡点。例3 某种商品的供给函数和需求函数分别为 求该商品的市场均衡价格和市场均衡量。解、由均衡条件得 从而即市场均衡价格为7，市场均衡数量为

10、1657、成本函数产品成本可分为固定成本和可变成本，一般地，以货币计值的（总）成本C是产量x的函数，即 称为单位成本函数或平均成本函数例4 某工厂生产某种产品，每日最多生产200单位，它的日固定成本为150元，生产一个单位产品的可变成本为16元。求该厂日总成本函数及平均成本函数。解 据，可得总成本平均成本8、收入函数与利润函数销售某产品的收入R,等于产品的单位价格P乘以销售量x，即，称其为收入函数。销售利润L等于收入R减去成本C，即，称其为利润函数。当时，生产者盈利；当时，生产者亏损；当时，生产者赢亏平衡，使的点称为盈亏平衡点例5某电器厂生产一种新产品，在定价时不单是根据生产成本而定，还要请各

11、消费单位来定价，即他们愿意以什么加个人来购买，根据调查得出需求函数为 该厂生产该产品的固定成本是270000元，而单位产品的变动成本为10元，为获得最大利润，出场价格应为多少？解 以x表示产量，C表示成本，p表示价格，则有而需求函数为 代入中得收入函数为：利润函数为：当价格p=30元时，利润90000元为最大利润，销售量为18000（单位）。作业：p17 1 2 6 第三讲 极限的概念 2学时 教学目的与要求：理解数列极限；函数极限的概念，性质。教学内容概述：本讲主要学习数列极限的概念；性质，函数在无穷大处的极限；函数在有限点处的极限及函数极限的性质。教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用；

12、函数左极限与右极限，极限性质教学过程：第一节、数列极限的定义与性质一、数列 数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成： 缩写为例1 数列是这样一个数列，其中 ，也可写为： 可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为。数列极限的定义，则称数列的极限为，记成 也可等价表述：1） 2）。极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。二、收敛数列的性质定理1 如果数列收敛，那么它的极限是唯一。定理2 如果数列收敛，那么数列一定有界。定理3 如果且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N时

13、，。例2 证明数列的极限是1。例3 作出数列图形，讨论其极限值。作业：见课后各章节练习。第二节：函数的极限一、极限的定义1、在点的极限1）可在函数的定义域内，也可不在，不涉及在有没有定义，以及函数值的大小。只要满足：存在某个使：。2）如果自变量趋于时，相应的函数值 有一个总趋势以某个实数为极限 ，则记为 ：。形式定义为： 2、的极限设，如果当时函数值 有一个总趋势-该曲线有一条水平渐近线-则称函数在无限远点有极限。记为：。 3、 （1）在无穷远处的左右极限： ， 关系为： （2）在有限点处的左右极限： ， 关系为 二、函数极限的性质1、极限的唯一性2、函数极限的局部有界性3、函数极限的局部保号

14、性4、函数极限与数列极限的关系例1 讨论函数在x的极限。例2 求下面函数极限： ， 。 作业：见课后各章节练习。第四讲 极限的运算法则 无穷小与无穷大 2学时教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念；掌握极限的运算法则并能熟练求极限。教学内容概述：本节主要讲授无穷小与无穷大的定义；性质，无穷小与无穷大之间的关系；极限的四则运算规则，极限的求法，复合函数的极限。教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。教学过程：一、无穷小定义定义 对一个数列，如果成立如下的命题： 则称它为无穷小量，即注：1）的意义；2）可写成； 3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码N，使在这个号码以后的所有的号

15、码，相应的与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1 在自变量的同一变化过程（或中，函数具有极限A的充分必要条件是，其中是无穷小。二、无穷大定义一个数列，如果成立：那么称它为无穷大量。记成：。特别地，如果，则称为正无穷大，记成。特别地，如果，则称为负无穷大，记成。（也可类似地对函数定义无穷小，无穷大的定义）注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理2 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且则为无穷大。即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当时：有 注意是在自变量的同一个变化过程中。四、无

16、穷小的性质设和是无穷小量于是：1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：2）对于任意常数C，数列也是无穷小量： 3）也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。 4）也是无穷小量： 5）无穷小与有界函数的积为无穷小。五、函数极限的四则运算1）若函数和在点有极限，则2）函数在点有极限，则对任何常数成立 3）若函数和在点有极限，则 4）函数和在点有极限，并且，则 极限的四则运算成立的条件是若函数 和 在点 有极限。定理3 设函数是由函数与复合而成，在点的某去心邻域内有定义，若，且存在，当 时，有，则例1 下面函数在x趋向什么时是无穷小，又当x趋向什么时是无穷大： 。例2 求下面函数极限： 作业：见课后

17、各章节练习。第五讲 极限存在准则与两个重要极限 无穷小的比较 2学时教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限；理解无穷小的比较概念。教学内容概述：本节借助例子给出极限存在的两个准则，利用极限存在准则证明sinx/x =1 ，解释（1+1/n）n = e 并讲明其特征，注意其“型”。借助例题说明无穷小之间的几种关系；学习利用无穷小的等价求极限。教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用；熟练应用等价无穷小求极限教学过程：定理1（夹逼定理） 三数列、和，如果从某个号码起成立：1），并且已知和收敛， 2），则有结论：定理2 单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单

18、调减少有下界的数列一定收敛。 极限sinx/x =1 O H YT该极限的证明，关键是证不等式:sinx<x<tanx (0<x</2).如图.设单位圆O的渐开线为.B若记TOAx，并过作轴于，C切且交 A C X及轴分别于、，则Sinx =TH<AT<=（x）=TB<TC=tanx我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”.因扇形面积ATx的求得，一般是n等分T成n个等腰AiOAi-1(i=1.2,n,A=A0,T=An)，则AiOAi-1=Sin（x/n）=n Sin（x/n）此时，扇形面积AT=AiOAi-1=Sin

19、（x/n）=x Sin（x/n）/（x/n）显然当Sin（x/n）/（x/n）=1时，扇形面积ATx，但令t= x / n，则该极限为要证明的重要极限，即出现循环论证。 极限（1+1/n）n = e设An=（1+1/n）n，利用算术和几何不等式关系，得： An=（1+1/n）（1+1/n）（1+1/n）1（n（1+1/n）+1）/（n+1） n+1即数列An单增。另外，设nn/（n+1） ，利用算术和几何不等式关系，得：n1- 1/（n+1）>1- 1/n=（2(1/2)+（n-2）/n （1/2）21n-2=（1/4）1/n则 4 （n+1）/ n= （1+1/n）n即数列An有上界。

20、于是，极限存在，并记为数e。例1 求下面函数极限：， ，例2 证明有界，并求 的极限。作业：见课后各章节练习。第六节：无穷小的比较定义 若为无穷小，且 则与的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k阶、等价（） 1）若为等价无穷小，则。 2）若、且存在，则： 例1 证明下面各无穷小量之间的关系： 与x（x +） tanx-sinx与sinx（x ）。例2 求下面函数极限： ， ， 。作业：见课后各章节练习。第六讲 第七节：函数的连续性 2学时教学目的与要求：利用定义判断函数的连续或间断点。理解连续函数的性质和初等函数的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和

21、最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。教学内容概述：讲解函数在一点的连续性，间断点的几种类型；连续函数的四则运算反函数连续定理，复合函数的连续性定理；闭区间上连续函数的性质（最大、最小值；有界性；零点、介值定理教学重点（难点）：函数连续性判定；利用闭区间上连续函数的性质解决问题一、函数在一点的连续性函数在点连续，当且仅当该点的函数值、左极限与右极限三者相等： 或者：当且仅当函数在点有极限且此极限等于该点的函数值 。 其形式定义如下：函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间a,b连续时包括端点。注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)； 2）连续函数的图像是一条连续且不间

22、断的曲线。 二、间断点 若：中有某一个等式不成立，就间断，分为：1、第一类间断点 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。2、第二类间断点左极限与右极限两者之中至少有一个不存在。例1 讨论函数在x=0处的连续性：例2 求下面函数的间断点，判断其类型： 。作业：见课后各章节练习。第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性一、连续函数的四则运算1） 且，2） 且，3） 且，二、反函数连续定理如果函数是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函数：也是严格单调增加（减少）并且连续。注：1）反函数的定义域就是原来的值域。2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成三、复合函

23、数的连续性定理： 设函数和满足复合条件，若函数在点x0连续；，又若函数在点连续，则复合函数在点连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换：从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。例1 求下面函数的连续区间： ， 。例2 求下面函数极限： ， 。作业：见课后各章节练习。第九节：闭区间上连续函数的性质 一、最大、最小值设函数：在上有界，现在问在值域中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点的函数值 ，则记叫做函数在D上的最大值。 类似地，如果 中有一个最小实数，譬如说它是某个点的函数值，则记称为函数在上

24、的最小值 。二、有界性有界性定理 如果函数在闭区间上连续，则它在上有界。三、零点、介值定理最大值和最小值定理 如果函数 在闭区间上连续则它在上有最大值和最小值，也就是说存在两个点和，使得 。亦即 若x0使，则称x0为函数的零点。 四、零点定理零点定理 如果函数在闭区间上连续，且在区间的两个端点异号：则至少有一个零点，使。五、中值定理中值定理 如果函数在闭区间上连续，则在上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。例1 证明方程x=asinx+b（a、b0）至少有一个正根，并且它不超过a=b。例2（2005年全国高考题） 已知函数。1）求的单调区间和值域； 2）设a1，函数，若对于任意使得成

25、立，求a的取值范围。 作业：见课后各章节练习。（章节练习利用每次课课前解答）第七讲 第二章导数与微分 第一节 导数的概念4学时一、教学目的： 1.理解导数的定义；2.了解导数的定义的几种形式；3.掌握可导的充要条件；4.理解函数可导与连续的关系；5.知道导数的物理背景和几何意义。二、.教学重点： 1.导数的定义及几种形式；2.导数的几何意义.三、教学注意点1 要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在该点的变化率：切线的斜率；速度与加速度；角速度与角加速度；电流，等等。2 要充分理解函数可导则必然连续，而连续却未必可导。3 注意要用函数可导的充要条件：存在来判断分段函数在分段点处是否可导

26、。四、教学过程一.导数概念的引例（以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义）1.变速度直线运动的瞬时速度由物理学知道，物体作匀速直线运动时，它在任何时刻的速度可以用来计算。当物体作变速直线运动时，上述公式只能计算某段路程的平均速度，要精确地了解物体的运动，不仅要知道它的平均速度，还要知道它在每个时刻的瞬时速度。设一物体作变速直线运动，物体经过的路程是时间的函数，即；当时间由变化到时，在这时间段内，物体走过的路程为 于是物体在这一段时间内的平均速度为 = SS0f(t0+t)f(t0)显然，这个平均速度是随着的变化而变化的。一般地，当很小时，可看作是物体在时刻速度的近似值，且越小，近似程度越好，

27、因为取得越小，那么在这段时间内物体运动的速度越是来不及有很大的变化，因而就越能接近物体在0时刻的瞬时速度。当时，平均速度的极限就是物体在时刻的瞬时速度，即 。这就是说，物体运动的瞬时速度就是位移的增量和时间增量的比值在时间增量趋于零时的极限。例如:自由落体运动的瞬时速度已知作自由落体运动的物体的位移与其时间的函数关系是，求该物体在时刻的瞬时速度1). （以均匀代替非均匀）首先从物体的内的平均速度入手； 令物体移动时间从变化到； 在这个时间段物体的位移为； 物体在这个时间段内的平均速度为.2). （以极限为手段）然后得到瞬时速度. 易见愈小，时间内的平均速度的值就愈接近时刻的速度； 因此，当时，

28、的极限自然定义为物体在时刻的瞬时速度，即定义 .由此可见，物体在时刻的瞬时速度是函数的增量与自变量增量比值当的极限. 推广到一般，可以归结为一个函数的增量与自变量的增量之比，当趋于零时的极限这种类型的极限我们称其为导数2平面曲线的切线斜率在中学的平面几何中，圆的切线被定义为“与圆只有一个交点的直线”.对一般曲线来说，用“与曲线只有一个交点的直线”作为切线的定义就不一定合适.例如，对于抛物线，在原点O处两个坐标轴都符合上述定义，但实际上只有轴是该抛物线在点O处的切线.而如图4.1.2中所示的直线由于它跟曲线相交于两点，所以就不是曲线的切线了，这显然是不合适的.因此，需要给曲线在一点处的切线下一个

29、普遍适用的定义。如图，在曲线上取得与邻近的另一点，作曲线的割线，当点沿着曲线向点移动时，割线绕点移动，当点逐渐接近于点时（），割线的极限位置就叫做曲线在点处的切线。设割线的倾斜角为，于是割线的斜率是 设切线的倾角为，点沿着曲线无限趋近于点，即，得到切线的斜率为： 这就是说，曲线在点处的纵坐标的增量与横坐标的增量的比值，当时的极限为曲线在点处的切线的斜率。上述两个问题，一个是物理问题，另一个是几何问题.它们的实际意义不同，但如果撇开两个极限的实际意义，那么不外乎是把所求的量归结为：求当自变量的改变量趋向于零时，函数的改变量与自变量的改变量之比的极限。二、导数的定义与几何意义1. 函数在一点处导数

30、定义 设函数在的某一邻域内有定义，当自变量在处取得增量(，点仍在该邻域内)时；相应地函数取得增量；如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 . 也可记为 , 或 如果极限不存在，则称函数在点处不可导。2. 函数在任一点处导数导函数将处导数定义中的换成，如果与之比当时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记为，即 .显然，当 在某区间内变化时，是的函数. 因此称之为导函数，也简称为导数. 导函数的记号还有, 或 注意：函数在点的导数是导函数在点处的函数值即 .例1 求函数（为常数）的导数。解：在中，不论取何值，起其函数值总为

31、，所以，对应于自变量的增量，有 ，即。注：这里是指在任一点的导数均为0，即导函数为0。例2求（为正整数）在点的导数。解：即，亦即，若将视为任一点，并用代换，即得注：更一般地，（为常数）的导数为，由此可见， , 。例3求在点的导数。解： ,即 同理：若视为任意值，并用代换，使得，即。注：同理可证：。例4求的导数。解：所以。注：特别地，。例5求的导数。解：。注 1：等最后讲到反函数求导时，可将作为的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步：一、给出；二、算出；三、求增量比；四、求极限。3导数的几何意义切线斜率：函数在点处的导数在几何上表示：曲线在点处的切线斜率.法线的定义：过切点且垂直于切线的直线

32、叫做曲线在点处的法线。 切线方程： 如果存在，则曲线在处的切线方程为法线方程： 如果存在，则曲线在处的法线方程为，（）当时，切线方程为平行于轴的直线，法线方程为垂直于轴的直线。当时，切线方程为垂直于轴的直线，法线方程为平行于轴的直线。例6 求抛物线在点（1,1）处的切线方程和法线方程.解 由例1知道，又由导数的几何意义知道，所以，所求的切线方程为 ，即.法线方程为 ，即 4.可导的充要条件根据极限存在的充要条件，函数在点可导，当且仅当与同时存在且相等这两个极限值分别称为在点的右导数和左导数（统称为单侧导数）分别记为，2. 可导的充要条件函数在点处可导的充分必要条件是函数在点的左右导数存在且相等

33、，即=例题2 （1）设 讨论函数在处的可导性（2） 设 ，求三、函数可导性与连续性的关系 1.可导必连续设函数在点可导，即存在，由极限与无穷小量的关系知，其中是时的无穷小量上式两端同乘以，得 由此可见，当时， 即函数在点连续 2. 连续未必可导例如，函数在点处连续（图1），但由例题2（1）知，在点处不可导 同样，函数在点处连续（图2），但由例题2（2），中，在点处不可导. 由上面的讨论可知，函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函数在某点不连续，则函数在该点必不可导 图1 图2第八讲 第二节 函数的和差积商的求导法则 2学时一、教学目的 熟练掌握函数的和、差、积、商的求导法则二

34、、.教学重点 积、商的求导法则和应用三、教学注意点掌握函数的线性组合、积与商的求导法则 ；四、教学过程一.函数和的求导法则定理 1：若函数和在点都可导，则在点也可导，且 。证明： = 所以。注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。 2：本定理的结论也常简记为。二.函数积的求导法则定理2：若和在点可导，则在点可导，且有。证明： = = = =即 。例1 求下列函数的导数或导数值解：(1)解： (2)解： (3)注 1：若取为常数，则有：； 2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如： 等。三.函数商的求导法则定理3 若都在点可导，且，则在点也可导，且。证明： = = =即注1：本定理也可

35、通过，及的求导公式来得；2：本公式简化为；3：以上定理13中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式。例2 求函数的导数.解 根据求导法则可得：即 用类似的方法可得 .例3 求函数的导数.解 根据求导法则可得：即 .用类似的方法可得 .例4 设，求和. “先求导，再代入”解 因为所以练习: 利用导数的四则运算法则求导数1 ； 2 ；3 ；4 ；5 ；6；7；8；9；第九讲 反函数的导数与复合函数的导数；高阶导数 4学时一、教学目的1.掌握反函数的求导法则；2.掌握复合函数的求导法则 3能够计算一些特殊函数的高阶导数公式；二、.教学重点 求解反函数的导数与复合函数的导数的

36、法则和应用 三、教学注意点在求导法则中，复合函数在链式求导法则是中心，应用时一要弄清函数的复合关系，做到不遗漏，不重复；二是在每步求导时要弄清关于哪一个变量求导（即使这个变量不明显出现），熟练掌握的关键是多做练习。四、教学过程一. 反函数的导数定理1 (反函数求导法则)设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且。证明： 所以 。 注1：，因为在点附近连续，严格单调； 2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义； 3：和的“”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式

37、。例1求的导数，解：由于，是的反函数，由定理1得：。注1：同理可证：； 2：。例2 求的导数.解: 例3 ，求. 解：，反过来，如果已知，也可求 .例4 ，求.解：，.二. 复合函数的求导公式复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题。定理2 （复合函数求导法则）如果在点可导，且在 点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或证明： = 所以。注 1：若视为任意，并用代替，便得导函数： ，或 或。 2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别。 3：注意区

38、别复合函数的求导与函数乘积的求导。 4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： 等。例6 求的导数。解：可看成与复合而成， 。例7 求（为常数）的导数。解：是，复合而成的。所以。这就验证了前面§2、1的例4。由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确。在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果。例8 ，求。解：。例9 ，求。解： 。例10 ，求。解： = =。例11 ，求。解： 。 第十讲 第六节 微分及其应用 2学时一、教学目的：1. 理解微分的

39、概念，了解微分的几何意义以及微分与可导之间的关系；2. 熟悉微分的运算法则；3. 会用微分进行近似计算.二、.教学重点： 微分的概念，微分与可导之间的关系.三、内容要点1函数在一点处可微及其微分的定义：若自变量x在x0处取得增量后，函数增量可表示为： （其中A与有关而与无关），则称在点处可微，称为在点处的微分，记作。2在处可微在处可导，且或3微分的运算法则： 微分形式的不变性：若，则4微分的意义：表示曲线在点的近旁可用该点处的切线近似代替，即“以直代曲。”5微分的应用：用微分进行近似计算和估计误差。四、教学注意1要抓住函数可微的定义若在处给出增量后，函数增量可表示为（A与x0有关而与无关），也

40、就是说，函数的增量与自变量增量的线性函数相差的只是的高阶无穷小；线性函数就叫函数（在处）的微分，把握了这点，微分的意义和应用就容易理解了。2要熟练掌握微分的运算法则（包括微分形式的不变性），因为微分的运算法则在以后的章节如“不定积分”、“定积分”及“微分方程”中都将用到。五、教学过程一、微分的定义和几何意义1.实例：一个正方形的边长由变到，面积改变了多少？用表示正方形的边长，A表示面积A=，当=，=.所以 =，可见，当很小的时候，.2.定义： 若在处的增量可表示为，其中A为不依赖于的数，则称在处可微，称为的微分.记为，即，又，则 .3.可微与可导的关系： 可微可导证 必要性：若在处可微； 则

41、.充分性：若在处可导 在处可微由此可见，若在处微分. 注：是的高阶无穷小 例1 求在，的改变量与微分. 解：记，=， ，又 所以. 下面讨论微分的几何意义. 所以几何上表示曲线在点处切线的增量如图，当自变量由x增加x+到时，函数y=f(x) 相应的增量，又在M（）点，函数的切线的斜率为，从而得：PQ=,MQ=是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量。是曲线在M点的切线上的点的纵坐标的增量，当时，故常用d来代替，用于近似的计算:注1：，当时，若，则相对误差，可见，当越小，则用代替的效果越好！ 注：并非任一函数在处都可微。二、微分运算的法则1.运算法则；. 2. 复合函数的微分法则设，不论是自变量还

42、是中间变量都有.此称作一阶微分形式不变性证 若是自变量，则； 若是中间变量，则.例2 ，求.解法一： 则解法二： .例3 已知，求.解：= 所以三、微分在近似计算中的应用实际中经常会遇到一些函数表达式较复杂的运算，但是结果又并非要求十分精确,在这种情况下，可考虑使用微分来做近似的计算.当，比较小，容易求时，有近似公式或 .上式中令，则特别地，当很小时，有例4：求的近似值解：设函数，取，所以=.利用，很小，可证得以下的几个公式：（1）；（2），；（3）.例5 有一批半径为1cm的球，为了提高球面光滑度要镀上一层铜.厚度为0.01cm估计一下每只球需要多少铜.（比重8.9克/cm）解：球体积为，问

43、题变为当变到时求.因为，所以，将数据代入可以算出.所以每只球需要铜克.第十 一讲 第三章导数应用 第一节 中值定理 2学时 一、教学目的1.理解费尔马引理和拉格朗日中值定理并了解柯西中值定理。2.会用中值定理证明简单的不等式和证明方程解的存在性。二、.教学重点 罗尔定理和拉格朗日中值的条件几何意义和运用.三、教学注意点1. 要注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的条件与结论中的共同点与不同点，并且知道它们之间的关系：罗尔定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西定理的特例。2. 要注意罗尔、拉格朗日、柯西中值定理的中值点是开区间（a,b）内的某一点，而非区间内的任意点或指定一点。换言之，这三个

44、中值定理都仅“定性“地指出了中值点的存在性，而非”定量“地指明的具体数值。3. 要结合这三个中值定理在本节中的应用以及在以后章节中的应用，反复体会这些定理在微积分学中意义与作用。四、教学内容概述：本讲主要讲述罗尔定理；拉格朗日中值定理；柯西中值定理。五、教学过程一.罗尔(Rolle)定理如满足：(i） 在闭区间a，b上连续；           （ii）在开区间（a，b）内可导；（iii） ，则在（a,b）内至少存在一点，使得（分析）由条件（i）知在a，b上有最大值和最小值，再由条件（ii）及（

45、iii），应用费马定理便可得到结论。证明：由（i）知f(x)在a,b上连续，故f(x)在上必能得最大值M和最小值m，此时，又有二种情况：（1） M=m，即f(x)在a,b上得最大值和最小值相等，从而知，此时f(x)为常数：f(x)M=m，0，因此，可知为（a,b）内任一点，都有f()0。（2） M>m,此时M和m之中，必有一个不等于f(a)或f(b)，不妨设Mf(a)（对mf(a)同理证明），这时必然在（a,b）内存在一点，使得f()=M,即f(x)在点得最大值。下面来证明：f()=0首先由（ii）知f()是存在的，由定义知：f()= .(*)因为为最大值，对有 f(x) Mf(x)M0

46、,当x>时，有0当x<时，有0。又因为（）的极限存在，知（）极限的左、右极限都存在，且都等于，即，然而，又有 和 。注 1：习惯上把结论中的称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的，但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：例                            

47、0;                易见，F在x=-1不连续，在x=±1不可导，F(-2)F（2）,  即罗尔定理的三个条件均不成立，但是在（-2，2）内存在点,满足 注2：罗尔定理结论中的值不一定唯一，可能有一个、几个甚至无限多个，例如：显然在-1，1上满足罗尔定理的条件，   在（-1，1）内存在无限多个 = 使得 。注3：定理的几何意义：设有一段弧的两端点的高度相等，且弧

48、长除两端点外，处处都有不垂直于轴的一切线，到弧上至少有一点处的切线平行于轴。 二.拉格朗日（Lagrange）中值定理拉格朗日中值定理 若函数 f 满足如下条件：（i）f 在闭区间a,b上连续；（ii）f 在开区间(a,b)内可导；则在（a，b）内至少存在一点，使得  （分析）罗尔定理是拉格朗日中值定理：（a）=(b)时的特殊情况，应用罗尔定理证明此定理要构造辅助函数使得满足罗尔定理的条件 证明：作辅助函数     显然，由（i）-(iii) 知 F（a）=F(b)（=0），且F在a，b上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点(

49、a，b)，使得即    注1:罗尔定理是拉格朗日中值定理（a）=(b)时的特例注2:几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线上至少存在一点，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的联机AB，我们在证明中引入的辅助函数，正是曲线 与直线AB        之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下，线段AB平行于新轴（F（a）=F（b）。注3:此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要而常用的数学思维的体现。注4:拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：注5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为：在（a,b）可导可以推出在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重迭”部分去掉，改成“函