高等数学3泰勒公式南京航空航天大学

1、 3 31 1 微分中值定理微分中值定理 3 32 2 函数单调性与曲线的凹凸性函数单调性与曲线的凹凸性3 33 3 函数的极值与最值函数的极值与最值 3 34 4 函数图形的描绘函数图形的描绘3 35 5 洛必达法则洛必达法则3 36 6 泰勒（泰勒（Taylor)Taylor)公式公式3.6 泰勒泰勒(Taylor)公式公式一、问题的提出一、问题的提出二、二、 泰勒中值定理泰勒中值定理三、三、 简单应用简单应用 应用应用用多项式近似表示函数用多项式近似表示函数理论分析理论分析近似计算近似计算特点特点:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、问题的提出一、问题的提出)(xfxy)(xfy

2、o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分应用中已知近似公式在微分应用中已知近似公式 :需要解决的问题需要解决的问题如何提高精度如何提高精度 ?如何估计误差如何估计误差 ?xx 的一次多项式的一次多项式下面来解决这两个问题：下面来解决这两个问题：2001)()(21)(xxxfxR 由洛必达法则及极限与无穷小的关系，知由洛必达法则及极限与无穷小的关系，知)()()()(:0001xxxfxfxfxR 记记误误差差1）200000)(21)()()(xxxfxxxfxfxf 000 00112200()( )( )( )limlim,()()2xx

3、xxfxR xf xP xxxxx 00120()( )lim0()2xxfxR xxx 200000)(21)()()(xxxfxxxfxfxf 300)()(! 31xxxf 2000002)(21)()()()(xxxfxxxfxfxfxR 误差误差300200000)(! 31)(21)()()(xxxfxxxfxxxfxfxf 由此分析看出，随着多项式函数的阶数的提高，这一由此分析看出，随着多项式函数的阶数的提高，这一特殊类型的多项式与函数特殊类型的多项式与函数 f (x)的近似程度越来越好的近似程度越来越好. .问题问题:.)()()()(0202010nnnxxaxxaxxaax

4、p 2 2）设函数）设函数 f (x) 在含有在含有x0 0的开区间的开区间( (a, ,b) )内具有直到内具有直到n+1+1阶的导数阶的导数, ,并并设设 f (x)的近似多项式为：的近似多项式为：0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxpn )()(00 xfxpn )()(00 xfxpn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 xPn(x)的确定的确定),(00 xfa nnnxxnxfxxxfxxxfxfxp)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 ,

5、 1 , 0()(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn 二、泰勒二、泰勒( (Taylor) )中值定理中值定理)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 证明证明: : 由由假假设设, ,)(xRn在在),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶导导数数, ,且且两函数两函数)(xRn及及10)( nxx在以在以0 x及及 x 为端点的为端点的区间上满足柯西中值定理的条件区间上满足柯西中值定理的条件, ,故有故有)()(1()(0011之间之间与与在在xxxnRnn 0)

6、()()()()(10010 nnnnnxxxRxRxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn如如此此下下去去, ,经经过过)1( n次次后后, ,得得 两两函函数数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在在以以0 x及及1 为为端端点点的的区区间间上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的条条件件, ,得得0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之间之间与与在在nx 0, ,也在也在 x0 0与与 x 之间之间) )()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn nkn

7、kkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn , 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 则由上面推导可知则由上面推导可知拉格朗日型的余项拉格朗日型的余项 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 佩亚诺佩亚诺( (Peano) )型的余项型的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 记记 1010)1(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR

8、时的某邻域内当在Mxfxn)() 1(0-带拉格朗日型余项的带拉格朗日型余项的Taylor展式展式)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf -带带佩佩亚诺亚诺型型余项的余项的Taylor展式展式10)1(000)()()!1()()(!)()( nnknkkxxnfxxkxfxf 注意注意: :1 1. . 当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式变变成成 L L- -中中值值公公式式 )()()()(000之之间间与与在在xxxxfxfxf 20000)(! 2)()()()(,1. 2xxfxxxfxfxfn 泰勒公式变成泰勒公式变成时时当当0)(xx 在在与与之之间间可见

9、可见( )f x )(0 xf00()()fxxx 210( )( )()2 !fR xxx 误差误差fd0)(xx 在在与与之之间间)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式泰勒公式变成泰勒公式变成时时当当,0. 30 x例例1 按按(x+1)的幂展开的幂展开. 423)(23 xxxxf解解函数的泰勒展开：函数的泰勒展开：, 10 x, 8)1()(0 fxf5)1( f, 6)1( f, 0

10、)1( f. 4, 0)1()( nfn.)1()1(58423)(323 xxxxxxf1|1| )(, 0)(111 xxxxxfxf)!1()1(|)!1()1(| )(,11| )(1111)(121 nxnxfxxfnxnnxnxxnnxnxxxxx)1(1)1()1(41)1(31)1(21)1(ln1432 11)1(11)1( nnnxn 位于位于 x 与与 1之间。之间。例例2 .1ln)(0阶阶泰泰勒勒公公式式处处展展开开成成在在将将nxxxf 解解 解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公

11、式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式! 7! 5! 3753xxxxy ! 5! 353xxxy ! 33xxy xysin xy )!12()1(! 5! 3sin1253 nxxxxxnn解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式例例5解解)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 301sin()limxxexxxx3333023()!limxxxo xx130sin()limxexxxxx233331123330()()()!limxxxxo xxo xxxxx 13)(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx展开至展开至x -2次项次项3.3.