专题13：数学思想方法之分类探讨

1、初中学习资料整理总结专题 13：数学思想方法之分类探讨一、代数中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用：典型例题：例 1. （ 2012 四川凉山4 分） x 是 2 的相反数，y=3，则 x y 的值是【】A5B1C1或5D1或5【答案】 D。【考点】 代数式求值，相反数，绝对值。【分析】 根据相反数和绝对值的意义可求x 和 y 的值，再代入计算： x 是 2 的相反数， x= 2。 y=3 ， y=±3。当 x= 2， y=3 时， x y= 2 3= 5；当 x= 2， y= 3 时， x y= 2（ 3）=1。故选 D 。例 2. （ 2012

2、湖南衡阳 3 分） 函数 y=2中自变量 x 的取值范围是【】x+2A x 2B x2C x 2D x 2【答案】 A。【考点】 函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。【分析】 求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0 的条件，要使2x+20x2x+2在实数范围内有意义，必须0xx > 2 。故选x+22A 。例 3.（ 2012 湖北襄阳3 分） 如果关于 x 的一元二次方程kx 22k 1x10 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是【】A k1B k1 且 k0C 1 k 1D 1 k 1 且 k022

3、2222【答案】 D。【考点】 一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。【分析】 由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0 定义知：k0；根据二次根式被开方数非负数的条件得： 2k+10；根据方程有两个不相等的实数根，得 =2k+1 4k 0。三者联立， 解得 1 k 1 且 k0。221故选 D。例 4.（2012 福建泉州3 分）若 ykx 4 的函数值 y 随着 x 的增大而增大， 则 k 的值可能是下列的 【】.A .41C.0D.3B.2【答案】 D。【考点】 一次函数图象与系数的关系。【分析】 一次函数 y=kx+b 的图象有四种情况：当 k > 0 时，y 的值

4、随 x 的值增大而增大；当 k < 0 时，y 的值随 x 的值增大而减小。由题意得，函数 ykx 4 函数值 y 随着x的增大而增大， ，故k > 0，可取3D。故选练习题：1. （ 2012 四川德阳3 分） 使代数式x有意义的 x 的取值范围是【】2x1A. x01C. x0 且 x1B. xD. 一切实数222.（ 2012 山东东营3 分）方程 k 1 x 21kx+ 1 =0 有两个实数根，则k 的取值范围是【】4A k 1B k 1C k>1D k<13. （ 2012 贵州贵阳4 分）在正比例函数y= 3mx 中，函数 y 的值随 x 值的增大而增大，则

5、P（ m，5） 在第象限一、几何中涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用：典型例题：例 1. （ 2012 湖南长沙3 分） 现有 3cm， 4cm， 7cm， 9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是【】A1 个B2 个C3 个D4 个【答案】 B。【考点】 构成三角形的三边的条件。【分析】 四条木棒的所有组合：3， 4， 7 和 3， 4，9 和 3， 7，9 和 4， 7， 9，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有3， 7， 9 和 4， 7， 9 能组成三角形。故选B。例 2. （ 2012

6、 贵州贵阳 3 分）如图，已知点 A 、D 、C、F 在同一条直线上， AB=DE ，BC=EF ，要使 ABC DEF ，还需要添加一个条件是【】2A BCA= FB B= ECBCEFD A= EDF【答案】 B。【考点】 全等三角形的判定。【分析】 应用全等三角形的判定方法逐一作出判断：A 、由 AB=DE ，BC=EF 和 BCA= F 构成 SSA，不符合全等的条件，不能推出 ABC DEF，故本选项错误；B 、由 AB=DE ， BC=EF 和 B= E 构成 SAS，符合全等的条件，能推出ABC DEF ，故本选项正确；C、 BCEF ， F= BCA 。由 AB=DE ， BC

7、=EF 和 F= BCA 构成 SSA ，不符合全等的条件，不能推出ABC DEF ，故本选项错误；D、由 AB=DE ，BC=EF 和 A= EDF 构成 SSA，不符合全等的条件，不能推出ABC DEF ，故本选项错误。故选B 。例 3. （ 2012 宁夏区 3 分） 一个等腰三角形两边的长分别为4 和 9，那么这个三角形的周长是【】A 13B17C22D17 或 22【答案】 C。【考点】 等腰三角形的性质，三角形三边关系。【分析】 求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和 9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三

8、边关系验证能否组成三角形：若 4 为腰长， 9 为底边长，由于 4+4 9，则三角形不存在； 9 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边。这个三角形的周长为9+9+4=22 。故选 C。例 4.（ 2012 福建三明4 分） 如图，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在 x 轴上，若以P， O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有【】3A 2个B 3个C4个D5个【答案】 C。【考点】 等腰三角形的判定。【分析】 如图，分 OP=AP（ 1 点），OA=AP （ 1 点），OA=OP（ 2 点）三种情况讨论。以 P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点

9、 P 共有 4 个。故选 C。例 5. （ 2012 青海西宁2 分） 如图，在菱形 ABCD 中，对角线AC 、 BD 相交于点O， AC 12， BD 16，E 为 AD 的中点，点P 在 x 轴上移动小明同学写出了两个使POE 为等腰三角形的P 点坐标为 ( 5，0)和 (5， 0)请你写出其余所有符合这个条件的P 点的坐标【答案】（ 8， 0），（ 25 ，0）。8【考点】 菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】 四边形 ABCD 是菱形， AC BD ，OA= 1AC=1×12=6， OD=1BD=1×16=8。2222在 Rt AOD

10、 中， AD= OA 2OD 210 。 E 为 AD 中点， OE= 1 AD= 1 ×10=5。22当 OP=OE 时， P 点坐标（ -5， 0）和（ 5， 0）。当 OE=PE 时，此时点P 与 D 点重合，即P 点坐标为（ 8， 0）。如图，当OP=EP 时，过点E 作 EK BD 于 K ，作 OE 的垂直平分线 PF，交 OE 于点 F，交 x 轴于点 P。4 EK OA 。 EK ： OA=ED ：AD=1 ： 2。 EK= 1 OA=3 。2OK=OE2EK 24 。 PFO= EKO=90° ， POF= EOK ， POF EOK 。 OP： OE=O

11、F ： OK ，即 OP： 5= 5 ： 4，解得： OP= 25 。28 P 点坐标为（ 25 ， 0）。8其余所有符合这个条件的P 点坐标为：（ 8， 0），（ 25 ， 0）。8例 6. （ 2012 四川资阳 3 分）直角三角形的两边长分别为16 和 12，则此三角形的外接圆半径是【答案】 8 或 10。【考点】 三角形的外接圆与外心，勾股定理。【分析】 由勾股定理可知：当直角三角形的斜边长为16 时，这个三角形的外接圆半径为116= 8；2当两条直角边长分别为16 和 12，则直角三角形的斜边长 =162 12220 ，因此这个三角形的外接圆半径为 10。综上所述：这个三角形的外接圆

12、半径等于8或 10。练习题：1. （ 2012 山东潍坊3 分）如图所示， AB=DB ，ABD= C BE ，请你添加一个适当的条件，使ABCDBE (只需添加一个即可)2.（ 2012广东肇 庆 3 分） 等腰三角形两边长分别为4 和 8，则这个等腰三角形的周长为【】A 16B 18C 20D16 或 20（ 2012 湖北襄阳 3分）在等腰 ABC 中， A=30°， AB=8 ，则 AB 边上的高 CD 的长是3.（ 2012广西来宾3 分） 已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的底角是054. （ 2012 黑龙江牡丹江 3 分） 矩形 ABCD 中， AB=1

13、0 ， BC=3 ，E 为 AB 边的中点， P 为 CD 边上的点，且 AEP 是腰长为 5 的等腰三角形，则 DP=5. （ 2012 黑龙江黑河、 齐齐哈尔、 大兴安岭、 鸡西 3 分）Rt ABC 中，A=90 0，BC=4, 有一个内角为600，点 P 是直线 AB 上不同于 A、 B 的一点，且 ACP=30 0，则 PB 的长为二、 含有的参变量的不同取值的分类应用：典型例题：例 1. （ 2012 重庆市 4 分） 2012 年“国际攀岩比赛 ”在重庆举行小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继

14、续开车前往比赛现场设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S下面能反映S 与 t 的函数关系的大致图象是【】ABCD【答案】 B。【考点】 函数的图象。【分析】 根据题意可得，S 与 t 的函数关系的大致图象分为四段：第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小，第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大，第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变，第四段，接着开往比赛现场，与比赛现场的距离逐渐变小，直至为0。纵观各选项，只有B 选项的图象符合。故选 B。例 2. （ 2012 福建宁德3 分） 五一节某超市稿促销活动：一次性购物不超过150 元不享受优惠；一次性购物超

15、过150 元但不超过500 元一律九折；一次性购物超过500 元一律八折王宁两次购物分别付款120 元、 432 元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款元【答案】 480 元或 528 元。【考点】 分段函数。【分析】 计算出两次购买应该付款的数额，然后根据优惠方案即可求解：一次性购物超过150 元，但不超过500 元一律 9 折则在这个范围内最低付款135 元，因而第一次付款 120 元，没有优惠；6第二次购物时：若是第二种优惠，可得出原价是432÷0.9=480（符合超过150 不高于 500），则两次共付款： 120+480=600 元，超过500 元，则一次性购买应

16、付款：600×0.8=480 元。当第二次付款是超过500 元时：可得出原价是432÷0.8=540（符合超过500 元），则两次共应付款： 120+540=660 元，则一次性购买应付款：660×0.8=528 元。一次性购买应付款：480 元或 528 元。例 3. （ 2012 江苏常州2 分） 在平面直角坐标系xOy 中，已知点 P（ 3， 0）， P 是以点 P 为圆心， 2 为半径的圆。若一次函数y=kx+b 的图象过点 A （ 1， 0）且与 P 相切，则 k+b 的值为。【答案】 2 3或23 。33【考点】 一次函数综合题， 直线与圆相切的性质，

17、勾股定理， 相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。【分析】 如图，设一次函数y=kx+b 与 y 轴交于点 C，与 P 相切于点 P。则 OA=1 ， OC= b， OP=3， BP=2， AP=4 。2222。ABAPBP42 2 3OCAOb1由 AOC ABP ，得，即2，BPAB2 3解得 b3。3 k = OCb3 。=AO13由图和一次函数的性质可知，k， b 同号， k+b= 23 或 k+b=2 3 。33练习题：1. （ 2012 湖北武汉3 分） 甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500m，先到终点的人原地休息已知甲先出发2s在跑步过程中，甲、乙两人的距

18、离y(m) 与乙出发的时间 t(s)之间的关系如图所示，给出以下结论：a 8； b 92； c 123其中正确的是【】7A B 仅有C仅有D仅有三、几何问题中几何图形的不确定的分类应用：典型例题：例 1. （ 2012 北京市 4 分）小翔在如图1 所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示方向经过点 B跑到点 C，共用时 30 秒他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程设小翔跑步的时间为（t 单位：秒），他与教练的距离为y（单位：米），表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图2 所示，则这个固定位置可能是图1中的【】A点 MB点 NC点 PD点 Q例 2. （ 2012 北京市

19、 4 分） 在平面直角坐标系xOy 中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知8点 A （0， 4），点 B 是 x 轴正半轴上的整点，记AOB 内部（不包括边界）的整点个数为m当 m=3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是；当点 B 的横坐标为4n（ n 为正整数）时，m=（用含n 的代数式表示 ）【答案】 3 或 4； 6n 3。【考点】 分类归纳（图形的变化类），点的坐标，矩形的性质。【分析】 根据题意画出图形，再找出点B 的横坐标与 AOB 内部（不包括边界）的整点m 之间的关系即可求出答案：如图：当点B 在（ 3， 0）点或（ 4，0）点时， AOB 内部（不包括边界）的整点为（1

20、， 1），（ 1， 2），（2， 1），共三个点，当m=3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是3 或 4。当点 B 的横坐标为4n（ n 为正整数）时，以 OB 为长 OA 为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n 1） ×3=12 n 3，对角线AB上的整点个数总为3， AOB 内部（不包括边界）的整点个数m=（ 12 n 3 3） ÷2=6n 3。例 3. （ 2012 重庆市 12 分）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD BC ， B=90°，AD=2 ，BC=6 ，AB=3 E为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG ，使正方形 BE

21、FG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧（ 1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长；（ 2）将（ 1）问中的正方形BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形BEFC 为正方形BEFG，当点 E 与点 C 重合时停止平移设平移的距离为t ，正方形 BEFG的边 EF 与 AC 交于点 M ，连接 BD，BM，DM ，是否存在这样的t，使 BDM是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（ 3）在（ 2）问的平移过程中，设正方形BEFG与 ADC 重叠部分的面积为S，请直接写出S 与 t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围9【答案】 解：（ 1

22、）如图，设正方形BEFG 的边长为 x，则 BE=FG=BG=x 。 AB=3 ， BC=6 ， AG=AB BG=3 x。 GF BE ， AGF ABC 。 AG = GF ，即 3x = x 。ABBC36解得： x=2，即 BE=2 。（ 2）存在满足条件的 t，理由如下：如图，过点 D 作 DH BC 于 H，则 BH=AD=2 ， DH=AB=3 ，由题意得： BB=HE=t， HB=|t 2|， EC=4 t， EFAB ， MEC ABC 。 ME=EC，即 ME=4t 。 ME=2 1t。ABBC36222221212在 Rt BME中， BM=ME +BE=2 +（2t ）

23、 =4t2 2t+8。2222224t+13。在 Rt DHB中， BD=DH +BH=3 +（ t 2） =t过点 M 作 MN DH 于 N，则 MN=HE=t ，NH=ME=2 1t，2 DN=DH NH=3 （ 2 1 t） = 1 t+1 。2222212252在 Rt DMN 中， DM =DN +MN=（2t+1） + t=t +t+1 。4（）若 DBM=90°，则 DM 222，=BM+BD即5212 2t+82 4t+1320。4t +t+1= （4t）+（ t），解得： t=7222，（）若 BMD=90°，则 BD=BM+DM1022 2t+8）+（

24、 5217 ，t2= 317 （舍去）。即 t4t+13=（ 1tt +t+1 ），解得： t1= 3+44 t= 3+17 。（）若222，BDM=90°，则 BM=BD+DM即122 4t+13 ） +（524t 2t+8= （ t4t +t+1 ），此方程无解。综上所述，当 t= 20或 3+ 17 时， BDM是直角三角形；71t 20 t4431 t 2t24 t2（3） S833。3522t10t32t831 t510 t 4223【考点】 相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。【分析】（ 1）首先设正方形 BEFG 的边长为

25、 x，易得 AGF ABC ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 BE 的长。（ 2）首先由 MEC ABC 与勾股定理， 求得 BM ，DM 与 BD的平 方，然后分别从若 DBM、 DBM和 BDM分别是直角，列方程求解即可。（3）分别从 0 t4，4 t2 ， 2 t10和10 t4 时去分析求解即可求得答案：3333如图，当F 在 CD 上时， EF： DH=CE ： CH ，即 2：3=CE ： 4， CE= 8 。 3 t=BB=BCBE EC=6 2 8 = 4 。 3 3 ME=2 1 t ， FM= 1 t，2241112当 0 t时， S=S FMN=×t &

26、#215; t=4t 。322如图，当 G 在 AC 上时， t=2 ， EK=EC?tan DCB=DH33EC4t =3t ，CH44 FK=2 EK= 3 t 1。411 NL= 2 AD= 4 ， FL=t 4 ，333当 4 t2 时，S=SFMN S FKL =1t2 1（ t 4）（ 3 t342341t221） =t。83如图，当G 在 CD 上时， BC： CH=BG： DH ，即 BC： 4=2 ： 3，解得： BC=8 ， 3 EC=4 t=BC 2= 2 。 t= 10 。3311（ 6 t） =31 BN=B C=t，222 GN=GB BN=1 t 1。2当 2t1

27、0时， S=S 梯形 GNMF SFKL =1×2×（1t 1+1t）1 （ t 4 ）（ 3t 1）3222234=3t22t5。83如图，当 10t4时，33333（ 4 t）， BL= B C= （ 6 t）， EK=EC=44441111（ 4 t），B N= B C= （6 t）EM=EC=2222 S=S 梯形MNLK =S梯形S 梯形BEMN=15。BEKLt221t20t4431 t2t24 t2综上所述：S833。3 t25 2 t102t8331 t510 t4223例 4.（ 2012 黑龙江牡丹江3 分）如图， A(3 ，1)，B(1 ，3 )将 A

28、OB 绕点 O 旋转 l50 0 得到 AOB，则此时点 A 的对应点 A的坐标为【】 12A (3 ， l)B ( 2， 0)C ( l ，3 )或（ 2， 0)D (3 ， 1)或 ( 2， 0)【答案】 C。【考点】 坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。【分析】 如图，过点A 作 AC 轴于点C, 过点 B 作 BD 轴于点D。由锐角三角函数定义，tanAOCAC3 , AOC 30 0 。OC3同理，BOD300 。AOB300 。若将 AOB 绕点 O 顺时针旋转l50 0，则点 A与点 B 关于坐标原点对称， A(l ，3 )。若将 AOB

29、 绕点 O 逆时针旋转l50 0，则点 A在轴反方向上，A(2， 0)。综上所述，点A 的对应点 A的坐标为 ( l ，3 )或 ( 2， 0)。故选 C。例 56. （ 2012 甘肃兰州4 分）如图， AB 是 O 的直径， 弦 BC 2cm，F 是弦 BC 的中点， ABC 60°若动点 E 以 2cm/s 的速度从A 点出发沿着ABA方向运动，设运动时间为t(s)(0t3)，连接 EF，当 BEF是直角三角形时，t(s)的值为【】A 7B 1C7或1D7或1或94444【答案】 D。【考点】 动点问题，圆周角定理，含30 度角的直角三角形的性质，三角形中位线定理。【分析】 若

30、 BEF 是直角三角形，则有两种情况：BFE 90°， BEF13 90°，分别讨论如下： AB 是 O 的直径， ACB 90°。Rt ABC 中， BC 2， ABC 60°， AB 2BC 4cm。当 BFE 90°时；Rt BEF 中， ABC 60°，则 BE 2BF 2cm。此时 AE AB BE 2cm。 E 点沿着 ABA 方向运动， E 点运动的距离为： 2cm 或 6cm。点 E 以 2cm/s 的速度运动， t 1s 或 3s。 0t 3， t3s 不合题意，舍去。当 BFE 90°时， t 1s。当

31、BEF 90°时，同可求得 BE 1cm，此时 AE AB BE7cm。22 E 点沿着 ABA 方向运动， E 点运动的距离为：3.5cm 或 4.5cm。点 E 以 2cm/s 的速度运动， t 7 s 或 9 s（二者均在0t3 内）。44综上所述，当t 的值为 1、 7 或 9s 时， BEF 是直角三角形。故选D。44例 6.（ 2012 广东梅州11 分） 如图，矩形 OABC 中， A（ 6， 0）、 C（ 0， 2）、D（0，3），射线 l 过点 D且与 x 轴平行，点P、 Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足 PQO=60° （ 1）点 B 的坐标

32、是； CAO=度；当点Q 与点 A 重合时，点P 的坐标为；（直接写出答案）（ 2）设 OA 的中心为 N ，PQ 与线段 AC 相交于点 M ，是否存在点 P，使 AMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出点 P 的横坐标为 m；若不存在，请说明理由14（ 3）设点 P 的横坐标为x， OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为S，试求 S 与 x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围【答案】 解：（ 1）（ 6， 23 ）。 30。（ 3， 33 ）。（ 2）存在。 m=0 或 m=3 3 或 m=2。（ 3）当 0 x3时，如图 1， OI=x ， IQ=PI?tan60 °

33、;=3， OQ=OI+IQ=3+x ；由题意可知直线l BC OA ，可得 EF=PE= DC31， EF=1 （ 3+x ），OQPODO3 333此时重叠部分是梯形，其面积为：1）43）=43SS梯形 EFQO（EFOQOC（x 4 3233 x3当 3 x5时，如图2，SS梯形 EFQO S HAQS梯形 EFQO1 AHAQ24 3 x 4 33 x 3 2 =3 x 213 3 x3 。32232当 5 x9时，如图3，1）（2）S（BEOAOCx23 123=23x 12。33当 x 9 时，如图4，S1 OAAH16183= 543。22xx综上所述， S 与 x 的函数关系式为

34、：434 3 0x33x3 x 213 3 x33 < x 5S232。23 x123 5 < x9354 3 x > 9x15【考点】 矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。【分析】（ 1）由四边形OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B 的坐标：四边形 OABC 是矩形， AB=OC ， OA=BC ， A（ 6， 0）、 C（ 0， 23 ），点 B 的坐标为：（ 6，23 ）。由正切函数，即可求得CAO 的度数：OC2 33 tanCAO=， CAO=30°。OA63由三角函数的性质，即可求得点P 的坐标；如图：当点 Q 与点 A 重合时，过点 P 作 PE OA于 E， PQO=60° ， D（ 0， 33 ）， PE=3 3 。 AEPE3 。tan600