第四章物流系统仿真用的概论统计

1、一、随机变量、概率函数、随机数一、随机变量、概率函数、随机数二、0, 1均匀的连续分布随机数及其 生成三、各种离散分布随机数的产生四、非均匀的连续分布随机数及其产生v确定性活动确定性活动：是可以事先预言的，即在准确地重复一定的条件下，其变化的结果总是确定的，或者根据其过去的状态，相同的条件下可以预言将来的发展变化，我们把这一类活动称为确定性活动。确定性活动的主要特征确定性活动的主要特征是活动的运动可以用一个确定的数学形式来描述：f(t)，或是数学函数，或是数学图表等。 v随机性活动：随机性活动：其变化的结果是事先不可预言的，即在相同的条件下进行重复实验，每次结果未必相同，或者是知道其过去的状况

2、，在相同的条件、未来的发展事先都不能确定，这一类活动我们称为随机性活动。随机性活动的主随机性活动的主要特征要特征是这类活动的描述可以通过数学统计的方法描述。对于随机性活动进行研究所利用的数学对于随机性活动进行研究所利用的数学工具是概率论及数理统计。对于实际系工具是概率论及数理统计。对于实际系统中随机活动进行研究时，往往由于众统中随机活动进行研究时，往往由于众多的随机因素使得数学描述和分析变得多的随机因素使得数学描述和分析变得十分困难，这时我们往往求助于计算机十分困难，这时我们往往求助于计算机仿真。仿真为这类复杂的随机系统的研仿真。仿真为这类复杂的随机系统的研究提供了一个方便有效的手段。究提供了

3、一个方便有效的手段。 1 12 2 数学定义数学定义：如果一个随机变量 x 的一切可能取值为x1，x2，xn，并且X取值xn的概率为Pn，则X为一个离散型随机变量，p1，p2，.，pn，. 称为X的概率函数。其中Pn必须满足下列两个条件： （1） （2）, 2 , 1,0nPn11nnP离散型随机变量离散型随机变量X X的累积分布函数的累积分布函数定义，当X小于或等于某个给定值x的概率函数，记为P(Xx) = F(x)。设随机变量X可能取值x1，x2，xn，则X的累积分布函数为其中 为X 取值 的概率。由定义可见当xy时，F(x)F(y)，即F(x)是个不减的函数。 xxixxiiiPXXPx

4、FiPiX 10 xF3 3定义定义：若存在非负函数 f (x)，使得随机变量X取值于任一区间(a，b)的概率为 P(a50)时，统计量渐近地服从正态分布N(0，1)。同时选定=0.05，则根据概率统计理论，当|U| =1.96时(称为差异显著)，拒绝假设 rK=0；反之，则接受。 KNrUK独立检验2z一、随机变量、概率函数、随机数一、随机变量、概率函数、随机数二、二、0, 1均匀的连续分布随机数及其均匀的连续分布随机数及其 生成生成三、各种离散分布随机数的产生四、非均匀的连续分布随机数及其产生1 1 给定给定N N个个x1 1，x2 2，xN N，我们以相对应的概率，我们以相对应的概率P

5、P1 1，P P2 2，P PN N，满足，满足 ，从中选出一个，从中选出一个数作为输出，这样重复下去，所产生的数列就是数作为输出，这样重复下去，所产生的数列就是一个离散非均匀分布的随机数序列。一个离散非均匀分布的随机数序列。11NiiP非均匀离散分布的随机数的产生方法 设所求非均匀离散分布随机数的累积概率分布函数设所求非均匀离散分布随机数的累积概率分布函数为为F(x)，其中：，其中：F F(0)=(0)=F F0 0=0=0，F Fk k= (= (k k=1=1，2 2，N N）。设设y yi i是一个是一个(0(0，1)1)均匀分布随机数。考察均匀分布随机数。考察yi，如果，如果 ，则把

6、相应的则把相应的xk选出作为此次取样的输出值。选出作为此次取样的输出值。 kiiP1kikFyF 1生成生成n个个(0，1)均匀分布的随机数均匀分布的随机数若随机数若随机数yi值值 F Fk-k-1 1，F Fk k），），取取xk数数xk服从特定服从特定分布分布例2-2 贝努利概率模型二项分布的产生 贝努利(Bernouli)概率模型是概率统计中一种最简单而又常用的概率模型，它由一系列试验组成。其中每次试验只有两种结果。我们用事件A和A来表示这两种实验结果。若A产生的概率为P(A)=P，(0PP，则认为，则认为A事件发生。事件发生。二项分布在由n次独立试验组成的贝努利概率模型中，事件A发生的

7、次数是一个随机变量。它取值k(k=1，2，n)的概率是当P较大而计算精度又要求较高时，我们可以在计算机上用n次贝努利试验产生二项分布的随机数。 knkknkQPCkPP生成生成n个个(0，1)均匀分布的随机数均匀分布的随机数统计统计n个随机数中个随机数中数值大于某一个数值大于某一个概率值概率值P的个数的个数m数数m服从服从贝努利分布贝努利分布一、随机变量、概率函数、随机数一、随机变量、概率函数、随机数二、二、0, 1均匀的连续分布随机数及其均匀的连续分布随机数及其 生成生成三、各种离散分布随机数的产生四、非均匀的连续分布随机数及其产生1 1 反函数法也称为概率积分变换法，这种方法所基于的原理是

8、概率积分变换定理，可以简述如下：1 给定(0，1)均匀分布随机数yn(n=1，2，.)，如果F-1(yn)是随机变量X的反累积分布函数，则由公式2 xn= F-1(yn) 所计算的随机数就是随机变量X的取样值。 反函数法(逆变法)的步骤 求出y= F(x)的反函数：x= F-1(y)。 利用(0，1)均匀分布随机数产生程序取得yn。 利用x= F-1(y)可得到需要的随机数xn。 Fx指数分布指数分布的概率密度函数是指数分布的概率密度函数是 000 xxexfx 000 xxexfx累积分布函数为累积分布函数为 xxueduexF10生成随机数的逆函数为生成随机数的逆函数为 yyFx1ln1)

9、(1当当y是（是（0，1）均匀分布随机数时，）均匀分布随机数时，z=1-y也是（也是（0，1）分布均匀随机）分布均匀随机数，所以数，所以zxln1给定随机数Ri（z），产生均值为1的指数随机变量Xii12345Ri0.13060.04220.65970.79650.7696Xi0.14000.04311.0781.5921.468iiRxln1正态分布 正态分布的概率密度函数为正态分布的概率密度函数为 22221xexf对于此式要直接求F-1(y)是很困难的，可利用坐标变换等方法。令x=x1+就可以将上式化成标准正态分布N(0，1)。设u1和u2是两个独立的(0，1)均匀分布随机数，利用坐标变

10、换及积分变换可得 22112221112sinln22cosln2uuxuux三角分布概率密度函数为概率密度函数为其他,0,)()(2,)()(2)(cxbbcacxcbxaacabaxxf分布函数为分布函数为cxbbcacxcbxaacabaxxF,)()(1,)()()(22逆函数为逆函数为1, )1)()(0,)(uacabuacbccacabuuacabaX其中其中u为（为（0，1）均匀分布随机数）均匀分布随机数 例例11设随机变量设随机变量x x是（是（a,ba,b）上均匀分布的随机变量，即：）上均匀分布的随机变量，即：其他, 0,1)(bxaabxf试用反变换法产生试用反变换法产生

11、x x。解：由解：由f(xf(x) )可得到可得到x x的分布函数：的分布函数：bxbxaabaxaxxF,1,0)(用随机数发生器产生用随机数发生器产生U U（0 0，1 1）随机变量，并令）随机变量，并令)()(bxaabaxxFu从而可得从而可得uabax)( 其中其中u为（为（0，1）均匀分布随机数）均匀分布随机数 例例22设某分布的累积分布函数由下式给出：设某分布的累积分布函数由下式给出：224/14/100,17/ ) 13(0)(xxxxxxxF 且产生的均匀分布随机数为且产生的均匀分布随机数为0.10210.1021，0.21620.2162和和0.76210.7621，现将它

12、们转换为上述的随机变量，分布函数如图所示。现将它们转换为上述的随机变量，分布函数如图所示。1/421F(x)解：求出解：求出F(xF(x) )的逆函数。的逆函数。14/14/10,3/ ) 17()(1yyyyyFx于是有于是有1021. 0)1021. 0(11Fx2162. 0)2162. 0(12Fx4449. 1)7621. 0(13Fx即为由即为由F(xF(x) )确定的分布下的随机变量。确定的分布下的随机变量。2 2 若随机变量若随机变量X的概率密度函数的概率密度函数f(x)中的中的X的下限和上限各的下限和上限各为为a和和b，f(x)的上界为的上界为c，则用舍去法产生，则用舍去法产生X的随机数的步骤的随机数的步骤如下：如下：（1）产生两个独立的（）产生两个独立的（0，1）均匀）均匀分布的随机数分布