关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论

1、、双曲线的对偶性质1. (1)设ai、a?为椭圆的左、右顶点，贝uapfifz在边pf2 (或pfi)上的旁切圆，必与a1a2所在的直 线切于a2 (或a1)证明：设旁切圆切x轴于川，切p于m, f】p于n, 贝 ij | pn |=| pm | mf2 |=|m/1,|:.pf1 + pm=f1f2 + mf2pfl + pf2-f2at =flf2 + f2a'=>2a = 2c + 2l f2>f2a'=a-cf2a2川与a2重合.(2)设ai、a2为双曲线的左、右顶点，则apf1f2的内切圆, 证明：设£4切x轴于点/t,与丹;切于m, pf?切于

2、n.* | pf -pf2=2a<>pm mf-pn-nf2=2a|pm|=|pn|,|mfd,|nf2|=|a迟 i:.fla,-a,f2= 2a又fa' + a'f2= 2c:.a'f2 =c-a=a2f2 i ,4与八2 重合.注：可知，圆心在直线x - a或直线兀=一。上.必与a1a2所在的直线切于a2 (或ai)2. (1)椭圆匚+匚=1 (a>b>o)的两个顶点为a(_a,o),a,o),与y轴平行的直线交椭圆于pb p2时, a bap与a2p2交点的轨迹方程是卜汨证明：设交点5(x0oo)，片伽,川)，p2(tn,-n)= kaf

3、s心卅=% ,a x0 + a=>0n=>m +a一 _儿 一 tr _)£m-a x() +a x() - a a2 - nv - a20= 1 = 77 lra2% = k"-j£_ = 4-4 = r即轨迹方程为匚-若ixj-a cr cr lrc广 lr22(2)双曲线二-匚二1 (a>0,b>0)的两个顶点为£(-°,0),舛(么0)， a ir22pi、p2时api与a2p2交点的轨迹方程是务+汁1证明：设交点 s(x0,y0),p(w,n),p2(m,-n)n二儿fn + a xo+q=斤 f 二 y

4、76; 凡=用二朮-n _ )b m +a m - a x()+a xq-a a2 - nr - a2m-a x-a又二ctn . n m =i =>= b2h2 a=>/?a_ -m"b2 "、=_作=>直+罢=1艮卩二+匚=1- a2 a2 a2 b2a2 b13. （1）若/>（x0,y0）在椭圆 + £ = 1上，则过人的椭圆的切线方程是 + # = 1.cr ba b"b2、x b，:切线方程：y-y0 =-(x-x()证明：求导可得：至+冷上=0a"十一7" 1a lr（2）若&（和y0）在

5、双曲线务-* = 1yoya2 + xxob2 = xb2 + ya2 = a2b2（a>o,b>o）上，则过£的双曲线的切线方程是辔-孕=1.cr trcr 少证明：求导可得：李-瞬= （）上逬，切线方程y_y（严逬（和二尊-労=1/yax/rcr ir4. （1）若人（无,儿）在椭圆4 + 4 = 1外，则过p。作椭圆的两条切线，切点为pl、p2，则切点弦p1p2的 旷 lr直线方程是尊+兽=1cr b"证明：设片old），£（兀2*2），则过点片、«在a、厶上譽+驴=1,cr b勺勺|儿儿二a2 b2过 pl，p2 方程 # + # =

6、 1 ct f（2 ）若 r（xo, y0 ）在双曲线yy = 1 ct b则切点弦p2的直线方程是譽-a马切线分别为厶:芳+詈二口：（a>0,b>0）外,则过p（）作双曲线的两条切线切点为it p2,m-i证明:设饷，）,叫，），则过m切线分别为厶：孕-罟=1， / bt在4、厶上沪+诸=1，兀2兀，>2>?01 空_竺2 a2 b2过m方程辱-# = 1°ct b225（1） ab是椭圆刍+ = 1的不平行于对称轴且不过原点的弦, a 少证明：设a（g%）,3（%儿）则m（冲z罟込乙乙£+心心-卞心2_心.2 2 2 2 2 2v 1_ + -!

7、- + => a/1 xti a2 lr a2 b2 =/（2） ab是双曲线三-斗=1 （a>o,b>o）的不平行于对称轴且不过原点的弦，m为ab的中点，则b2a-om 忍=尹 *证明：设ae，儿）,3（勺，儿），则m（主导苓妇, 厶乙b2，: kom kab =务2 o226.若人(如,凡)在椭圆务+養“内，则被p。所平分的中点弦的方程是孚+兽.6t dct d ct d证明:设中点弦交椭圆一个定点为a(m,n),则另一个为b(2x0-m,2y0-n).(2着匚宀+(2儿7)二,b2得：心w)wa2b2又二2凡_2川二儿_川二庆心2看)-2m x( - tny(a2弦ab

8、方程为严一空(go警+卑二菩+过 yoab 6t lr cr夕 b2 y0 _ b2x0kab 一 一- 一 一-2-、 旷x兀 a 3o弦ab方程为),_甘_空(一兀。)0兽+学=曽+埜 y()crlr a tr tra2lr证明二：由第9题得：kali - k0p =(2)若as)在双曲线务-斧1(a > 0,b > 0 )内，则被po所平分的中点弦的方程是_yy_=_yla2 b2 a2 b2 *证明:设中点弦交双曲线一个交点a(加/),则另一个b(2x0-/n,2y0-«).(2无一 沪(2y0 -n)2?1?-2 2nr /广.=1 =>cr fr又k弦=

9、2儿_2n=空,2兀一2加 ya-.方程为r严与(r)。辱一詈召 比“cr 少 cr zr7.过椭圆- + - = 1 (a>0,b>0)±任一点 心,)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于b,c两点,则直线bc有定向且%=单(常数)qo 证明：设两直线与椭圆交于点(召,)(x2,>'2).r 1r兀+片_兀；+兀_兀+兀_ i二 = 十tt-p 十订一=十71=>彳 q- b" q- /r crb2由题意得二二x _y°二兀+忑戾 召一心 y2 + >?()/>_必一儿_ 无+兀kab 一 ；召一兀 )1+x)二儿-儿二

10、1兀2+兀0 c 勺兀) 儿+ y°展开力一儿_西+兀0 x兀2 一兀0x+儿/(y2 一 >?0>2 + 砧 一 jo)/ = (x2 - x2xq + x,x0 一 球)b2 (y/2 一 >?0>1 + >?0>?2 一 >?0)/ = 3兀2 一 召珀)+ 兀2兀0 -兀)b，2a2y0(yl-y2) = 2b2x0(xl-x2)2一得：2iza = a = r （定值）西一兀 /）'（）（2）过双曲线手卡=1 （a>0,b>o）上任一点心,）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于b,c两点，则直线bc有定向且%=-

11、牟（常数）.证明：设两直线与双曲线交于点（召,）,（兀22），则0 。 2 。“i )1 _ x2 2 _ x0 力 a2 b1a2b2 a2b2二込作石一 x。>?1 + >0 "由题意得=一>1-0 _（£+尤0）x花一兀旳+九x二西+无庆 州一兀 儿+儿。"勺一珀）y 1 + >o /展开(x >2 一 几>2 + xx) - >?0)/ + 戸(舛兀2 - 以吃 + x。若一 )= ° 0/2 一 >?0>1 + 凡兀 一 >?0)/ + bxx2 -衲 + 如兀2 - 总)=0=>

12、;2a = _a = c （定值）x兀2d 3 o8. （1）椭圆务+ * = 1 （a>b>0）的左右焦点分别为fi，f2，点p为椭圆上异于长轴端点的任意一点spf2 =b" tany ；zffe = y ,则椭圆的焦点三角形的面积为| pf. | pf. |=1 + cosyp(±-、c2 -b2 tan2,± tan )2 c 2证明：设 | pf、|= m , | pf21= n ,则 m +n = 2a.由余弦定理加2 +n2 - 2tnn - cos / = 4c2 =4a2 -4b2 = (m + n)2 -4b2,2b2 二(1 + c

13、os y)mn =>| pfx | pf, =.1 + cos yc112b2. -o 78. h ph -mn sm y=sin y = ntan = c-22 1 + cos/2y严±7吨厂士甘2 "伽2彳.b2 y2（2）双曲线斗-斗=1 （a>0,b>o）的左右焦点分别为fi，f2,点p为双曲线上异于顶点任意一点 a 少sgp理=b cotg ;zfpf严丫 ,则双曲线的焦点三角形的面积为| pf、| pf, =2少 1-cos/p(± c2 +b- tan2y,± cot.证明：设| pft |= m, pf2 |= n,|

14、mn=2a ,m2 + ir 一2mn cos/ = 4c2 = 4a2 + 4/?2 =(加一n)2 + 4b2,2b12b =加(cos y+1) =>| pfx | pf2 |=1 - cos y砂昭=訥sin" 守*2"吨*.|儿|r2 v29. (1) p为椭圆亠+ £ = 1 (a>b>0)上任一点,fi、f2为左.右焦点，a a2a-1af21<| pa + pf < 2a+ afx ，当且仅当a,耳,p三点共线时，等号成立. 证明：若a、f2、p不共线，在 apf2 中 | pa + af21>| pf2pa-af21<| pf2 pf2- af2 |<| pa |v| p场 | +1 a的 |, 2a- af2 |<| pa + pf2< 2a+ af2 当a、p、f?共线时取等号.（2）p为双曲线卜£ = l（a>°，b>°）上任一点,fe为左、右