复变函数：第5章 留数

1、第五章第五章 留数留数n5.1 孤立奇点孤立奇点n如果函数 虽在 不解析，但在 的某一去心邻域 内处处解析，那末 称为 的孤立奇点。n例例：函数 都以 为孤立奇点。n如果在 的任意小的邻域内总有 的其它奇点存在，则 不是 的孤立奇点。)(zf0z0z|00zz0z)(zfzez1 ,10z0z)(zf0z)(zfn例：例：考察函数 。n 是它的一个奇点，除此之外， 或 也都是它的奇点，当 的绝对值逐渐增大时， 可任意接近 ，也就是说，在 的不论怎样小的去心邻域内总有 的奇点存在，所以 不是 的孤立奇点。zzf1sin1)(0znz1), 2, 1(1nnznn10z0z)(zf0z)(zfn孤

2、立奇点分为可去奇点，极点和本性奇点。n4.1.1 可去奇点可去奇点n如果 在 的洛朗级数中不含 的负幂项，则称孤立奇点 是 的可去奇点。n例例： 以 为孤立奇点，其洛朗展开式为)(zf0zz 0zz 0z)(zfzzzfsin)(0z.! 5! 31)! 5! 3(1sin4253zzzzzzzzn式中不含 的负幂项，是可去奇点，且 ，若 在 点无定义或不等于1，则只要重新定义 处的函数值，使其等于1，奇点就可去， 就在 解析了。n5.1.2 极点极点n如果 在 的洛朗级数中只有 的有限个负幂项，则称孤立奇点 是z1sinlim0zzzzzsin0z0zzzzfsin)(0z)(zf0zz 0

3、zz 0z)(zf 极点。若负幂的最高项为 ，则称 为 级极点。此时函数 可表示为n (5.1.1)n其中， 在 内是解析的函数，且 ，反过来，当任何一个函数 能表示成上式的形式，且 时，那末 是 的m级奇点。mzz)(0m)(zf)()(1)(0zgzzzfm20201)()()(zzczzcczgmmm|0zz0)(0zg)(zf0)(0zg)(zf0zn如果 为 的极点，由(5.1.1)式，就有n 或写作n例：对有理分式函数 来说，n 是它的一个三级极点， 都是它的一级极点。n5.1.3 本性奇点本性奇点n如果 在 的洛朗级数中含有 的无穷多个负幂项，则称孤立奇点 为 的本性奇点)(zf

4、0zz 0zz 0z)(zf0z)(zf| )(|lim0zfzz)(lim0zfzz32) 1)(1(2)(zzzzf1zizn例例：函数 以 为它的本性奇点，因为在级数 中含有无穷多个 的负幂项。n在本性奇点的邻域内， 具有以下性质：n（维尔斯特拉斯定理）（维尔斯特拉斯定理）若 是 的本性奇点，则对于任一复数 及任给的 ，任意的 ，在区域 ，必存在一点 ，使得 。zezf1)(0z32!31!21111zzzezz)(zf0z)(zf00r0rzz|00z|)(|0zfn推论：推论：在任意一个圆环域 中，必存在序列 ，使 。n综上所述，如果 为 的可去奇点，那末 存在且有限；如果 为 的极

5、点，那末 ；如果 为 的本性奇点，那末 不存在也不为 。n5.1.4 函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系n不恒等于零的解析函数 若能表示为rzz|00nz0)(lim0nzzzfn0z)(zf)(lim0zfzz0z)(zf)(lim0zfzz0z)(zf)(lim0zfzz)(zfn其中 在 解析，且 ，m为一正整数，则称 为 的m级零点。n若 在 解析，则 为 的m级零点的充要条件是 n一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的。n定理定理 若 是 的m级极点，则 是 的m级零点，反之也成立。)()()(0zzzzfm)(z0z0)(0z0z)(zf)(zf0z0z)(zf0)(; 1

6、, 2 , 1,0 , 0)(0)(0)(zfmnzfmn0z)(zf0z)(1zf这个定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法。例例1 函数 有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。zsin1解：解：函数 的奇点显然是使 的点，这些奇点是 ，很明显它们是孤立奇点，由于所以 都是 的一级零点，也就是 的一级极点。zsin10sinz), 2, 1, 0( kkz0) 1(|cos|)(sinkkzkzzz kz zsinzsin1n例例2 设函数 和 分别以 为n级极点及m级极点（ ），则 是下列函数的什么奇点？n（1） ；n（2） ；n（3）)(1zf)(2zf0zmn 0z)()(21z

7、fzf)()(21zfzf)()(21zfzfn例例3 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。n（1） ； （2） ；n（3） ； （4） ；n（5） ； （6） ； 22) 1(1zz3sinzz1123zzzzz) 1ln( 11ze)1)(1 (2zezzn解解：1） 为奇点，0是一级极点， n是二级极点。n2） 是奇点，是二级极点（分母是三级零点，分子是一级零点）。n3） 是奇点，1是二级极点，1是一级极点。n4） 是奇点，是可去奇点。n5） 是本性奇点。n6） 是奇点， 是二级极点， 是一级极点。iz , 0i0z1, 1z0z1z), 3, 2, 1() 12( ,kiki

8、ziik) 12(n5.1.5函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态n如果 在无穷远点 的去心邻域 内解析，则称 是 的孤立奇点。n作变换 规定把扩充 平面上的无穷远点n 映射为扩充 平面上的点 ），把扩充 平面上的邻域 映射成扩充 平面上的去心邻域 ，且有 ，于是，可以把在)(zfz| zR)(zfzt1zzt0tz| zRtRt1|0)()1()(ttfzf 去心邻域 上对 的研究化为在 内对 的研究。 n（1）如果 是 的可去奇点、m级极点或本性奇点，则 是 的可去奇点，m级极点或本性奇点。n（2）若 在 内可以展开为洛朗级数，那么我们有如下结论：n1）如果在洛朗级数中不含正幂项，则

9、为 可去奇点。 | zR)(zfRt1|0)(t0t)(tz)(zf)(zf| zRz)(zfn2）如果在洛朗级数中含有限个正幂项，则 为 的极点。n3）如果在洛朗级数中含无穷多个正幂项，则 为 的本性奇点。n例：例：1）函数 在圆环域 内可以展开成 它不含正幂项，所以 是 的可去奇点。 z)(zfz)(zf1)(zzzf|1znnzzzzzf1) 1(111111)(2)(zfn2）函数 含有正幂项，且 为最高正幂项，所以 为它的一级极点。n3）函数 的展开式： 含有无穷多的正幂项，所以 是它的本性奇点。n例例4：函数 在扩充平面内有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。 zzzf1)(zzs

10、in)!12() 1(! 5! 3sin1253nzzzzznn322)(sin)2)(1()(zzzzfn解：函数 除使分母为零的点 外，在 内解析，所有这些点中除去 外都是 的三级零点，从而都是 的三级极点n因 以1与1为一级零点，所以1与1是 的2级极点。n对于 ，因为 ，)(zf, 2, 1, 0z | z2 , 1, 1)(zf)(zf323)(limzfz12z3)(sin z2z 所以 是 的可去奇点。n令 ，则原函数可化为 可知 使分母为零， 时， 所以 不是 的孤立奇点，也就是 不是 的孤立奇点。2z)(zf1z3532sin)21)(1 ()1(fnn1, 00)1(fz)

11、(zfn0nn5.2 留数留数n5.2.1 留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理n1. 定义定义 若 是解析函数 的一个孤立奇点， 在 的去心邻域内解析，C为 邻域内任一条简单闭曲线，则称 为 在 处的留数，记作 ，即0zz )(zf)(zf0zCdzzfi)(21)(zf0z),(Re0zzfsCcdzzfizzfs10)(21),(Re 是 在以 为中心的圆环域内的洛朗级数中 项的系数。n2. 留数定理留数定理 设函数 在区域D内除有限个孤立奇点 外处处解析，C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，则n利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数。1

12、c)(zf0z10)( zz)(zfnzzz,21Cnkkzzfsidzzf1),(Re2)(n5.2.2留数的计算规则留数的计算规则n如果 是 的可去奇点，那末 n ；n如果 是本性奇点，则须把 在 展开成洛朗级数来求 ；n如果 是极点，则可根据以下规则来求 ：n规则规则1：若 是 的一级极点，有n规则规则2：若 是 的m级极点，有0z)(zf0),(Re0zzfs0z)(zf0z1c1c0z0z0z)(zf)(zf)()(lim),(Re000zfzzzzfszzn规则规则3：当 ， 和 都在 解析，如果 ，则 为 的一级极点，且有)()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzd

13、mzzfsmmmzz)()()(zQzPzf)(zP)(zQ0z0)(, 0)(, 0)(000zQzQzP0z)(zf)()(),(Re000zQzPzzfs例例1 计算下列积分，C为正向圆周 ： （1） ；（2） ；（3）2|ZdzzzeCz12dzzzC14dzzzeCz2) 1(解解：（1）被积函数有两个一级极点都在圆周 内，由规则1，可得1, 12|Z,21) 1(lim 1),(Re21ezzezzfszz2 1),(Re1ezfsn因此n我们也可用规则3来求留数：n n（2）被积函数有四个一级极点 ，n都在圆周 内，由规则3可求得 1),(Re 1),(Re12zfszfsdzz

14、zeCz12)22(21icheei2|2 1),(Re1ezzezfszz2|2 1),(Re11ezzezfszz2|Zi , 1n（3） 为被积函数的一级极点， n为二级极点，所以据规则1和规则2可得0),(Re),(Re 1),(Re 1),(Re214izfsizfszfszfsidzzzC0z1ziizfszfsidzzzeCz2) 01 (2 1),(Re,0),(Re2) 1(2例例2 求函数 在 处的留数。6sinzzz 0z解：因为zzzzzzzzzz! 51! 31 )! 51! 31(1sin35366所以! 51sinRe16czzzs注意此题直接利用洛朗级数展开要比

15、应用上述规则求留数相对简单一些。n5.2.3 在无穷远点的留数在无穷远点的留数n设函数 在圆环域 内解析，C为这圆环域内绕原点的任何一条简单正向闭曲线，则称积分 为 在无穷原点的留数，记作n定理定理2 如果函数 在扩充复平面内只有)(zf| zRCdzzfi)(21)(zfCcdzzfizfs1)(21),(Re)(zfn有限个孤立奇点，那末 在所以各奇点（包括 点）的留数的总和必等于零。n规则规则4 n定理2和规则4为我们提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法。n例例3 计算积分 ，C为正向圆周：)(zf0 ,1)1(Re),(Re2zzfszfsdzzzC142|zn解：函数 在 的外部，

16、除 点外没有其它奇点，因此根据定理2与规则4，n例例5 计算积分 ，C为正向圆周：14zz2|z00 ,1Re2 0 ,1)1(Re2),(Re21424zzsizzfsizfsidzzzCCzzizdz)3)(1()(102|zn解：除 外，被积函数的奇点是：n故3 , 1 , i101010)3(0)3(212),(Re3),(Re21),(Re),(Re2)3)(1()( iiiizfszfsizfsizfsizzizdzC 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分

17、。3 留数在定积分计算上的应用0ab1l2l( )baf x dx1l如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 a,b (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分：21lll2)()()(lbaldzzfdxxfdzzf1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数. 20(cos ,sin )Rdqqq221111sin(ee),cos(ee).2222iiiizziizzqqqqqq令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而从而积

18、分化为沿正向单位圆周的积分2022| | 1| | 1(cos ,sin )d11 d,( )d22zzRzzzRf zzzizizqqq02011ii其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk (k=1,2,.,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点.nkkzzzfizzf11|),(Res2d)(例1 计算 的值.) 10(dcos212cos202pppIqqq解 由于0p1, 被积函数的分母在0q 2内不为零, 因 而积分是有意义的. 由于cos2q = (e2iq + e2iq ) /2= (z2 + z2) /2, 因

19、此 在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点.422022342222220d1Res ( ),0limd2(1)()()4(1)(12)1lim,2 ()2zzzf zzzizpz zpzpzpp zzzpzppi zpzpp zip 4422211Res ( ), lim (),2(1)()2(1)zpzpf zpzpizpz zpipp2422222112222(1)1pppIiipippp例2 计算 的值.0,011cos 2dxIx解：令2 ,2;:0,:02x ddx xqq q21201111/121co

20、s2212zzddz izdzIzzizzqq22111iIi例 3022sin351d计算qqq202sin35122d令122)3()3(2zidzizizziezq令31izz 内只有一个二阶极点：被积函数在6452565223),(Res2iiizfi解：若函数 f(z)在上半平面除去外及实轴上解析，且有穷多个孤立奇点nzzz,21. ),( sRe2)(1nkkzzfidxxf则, 0)(limzfz0Imzzz1z2z3yCRRROx特别地，若f(z)是有理函数P(z)/Q(z)，Q(z)在实轴上无零点，且Q(z)的次数比P(z)大2，则上式成立。证明：略0( ),1( )d( )

21、dRes ( ),.2kR xR xxR xxiR z z如果为偶函数( )d2Res ( ),.kR xxiR z z因此例 4dxxxx1242计算在上半平面其中的四个一阶极点为214, 32, 12422222224,2321,2321:1)(0) 1)(1() 1(1zzizizzzzzfzzzzzzzz3343134312),(Res),(Res221iiiiizzfzzfi例 5 2101(1)ndxx 计算,1) 1(1)(12iznzzfn阶极点在上半平面只有一个21112(1)nIdxx解：1212111( 1) (1)(2)2Res ( ), !(2 )(1)(2)2(21

22、)!22(2 )!nnnnnz indnnnif z iiin dzzininnnnnn z1z2z3yCRRROx若函数 f(z)在上半平面除去外及实轴上解析，且有穷多个孤立奇点nzzz,21. ),( sRe2)(1nkkiaxiaxzzfeidxxfe则, 0)(limzf0Imzz也可写为( )cosd( )sind2Res ( ),.aizkR xax xiR xax xiR z ez证明：利用若当引理。如果在f(z)在实轴上取实值，分出实部和虚部得到,),( sReRe2sin)(,),( sReIm2cos)(11nkkiaxnkkiaxzzfeaxdxxfzzfeaxdxxf. 0a其中，特别地，若f(z)