计算机仿真技术：第5章 控制系统的分析方法

1、第五章 控制系统的分析方法 早期的控制系统分析过程复杂而耗时，如想得到一个系统的冲激响应曲线，首先需要编写一个求解微分方程的子程序，然后将已经获得的系统模型输入计算机，通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据，然后再编写一个绘图程序，将数据绘制成可供工程分析的响应曲线。MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境的出现，给控制系统分析带来了福音。控制系统的分析包括系统的稳定性分析、时域分析、频域分析及根轨迹分析。第一节 控制系统的稳定性分析1、稳定性与不稳定性2、线性系统稳定的充分必要条件A.微分方程的特征根位于复数平面的左半平面；B.系统闭环传递函数的极点全部在S平面左半平面，则系统是

2、稳定的。对于离散时间系统，如果系统全部极点都位于Z平面的单位圆内，则系统是稳定的。3、最小相位系统若连续时间系统的全部零极点都位于S左半平面；或若离散时间系统的全部零极点都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相位系统。一、系统稳定及最小相位系统判据2、直接判别MATLAB提供了直接求取系统所有零极点的函数，因此可以直接根据零极点的分布情况对系统的稳定性及是否为最小相位系统进行判断。二、系统稳定及最小相位系统的判别方法1、间接判别（工程方法）劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的数值，系统不稳定。胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构成的胡尔维茨矩阵为正定

3、矩阵时，系统稳定。相关函数r=roots(p),p为闭环特征多项式的系数向量，返回特征方程的根，存储在r中；p=pole(sys),返回系统sys的极点，若系统sys为状态空间模型，系统的极点为状态空间方程中矩阵A的特征值，可由命令 p=eig(A)求出；z=zero(sys),返回系统sys的零点；z,k=zero(sys),返回系统sys的零点、增益k;p,z=pzmap(sys), 返回系统的极点、零点存放到p,z中；pzmap(sys), pzmap(p,z)绘制系统的零、极点图，极点X表示，零点O表示；例1已知某系统的模型如右所示：uxyuxx71652100161275874036

4、22121要求判断系统的稳定性及系统是否为最小相位系统。 例2系统模型如下所示，判断系统的稳定性，以及系统是否为最小相位系统。11221171494528110142841163)(2345623ssssssssssGii=find(条件式)用来求取满足条件的向量的下标向量，以列向量表示。length函数获取长度例如 例1中的条件式为real(p ) 0，其含义就是找出极点向量p中满足实部的值大于0的所有元素下标，并将结果返回到ii向量中去。这样如果找到了实部大于0的极点，则会将该极点的序号返回到ii下。如果最终的结果里ii的元素个数大于0，则认为找到了不稳定极点，因而给出系统不稳定的提示，若

5、产生的ii向量的元素个数为0，则认为没有找到不稳定的极点，因而得出系统稳定的结论。第二节 控制系统的时域分析一个动态系统的性能常用典型输入作用下的响应来描述。响应是指零初始值条件下某种典型的输入函数作用下对象的响应，控制系统常用的输入函数为单位阶跃函数和脉冲激励函数（即冲激函数）。常用的时域仿真命令有一、时域分析的一般方法求取系统单位阶跃响应：step(sys)step(sys,tfinal,) step(sys,t),y,t=step(sys)y,t,x=step(sys)求取系统的冲激响应：impulse(sys)impulse(sys,tfinal,) impulse(sys,t),y,

6、t=impulse (sys)y,t,x=impulse (sys)二、常用时域分析函数时间响应探究系统对输入和扰动在时域内的瞬态行为，系统特征如：上升时间、调节时间、超调量和稳态误差都能从时间响应上反映出来。MATLAB除了提供前面介绍的对系统阶跃响应、冲激响应等进行仿真的函数外，还提供了大量对控制系统进行时域分析的函数，如：covar：连续系统对白噪声的方差响应initial：连续系统的零输入响应lsim：连续系统对任意输入的响应对于离散系统只需在连续系统对应函数前加d就可以，如dstep，dimpulse等。它们的调用格式与step、impulse类似，可以通过help命令来察看自学。三

7、、时域分析应用实例MATLAB的step()和impulse()函数本身可以处理多输入多输出的情况，因此编写MATLAB程序并不因为系统输入输出的增加而变得复杂。由图可得闭环传递函数为：dsedsdsGc) 1()(2，其为典型二阶系统。 由典型二阶系统特征参数计算公式10021e，)1(2npwt得： 2122)100(ln/100ln，)1(2pntw 第三节 控制系统的频域分析频率响应是指系统对正弦输入信号的稳态响应，从频率响应中可以得出带宽、增益、转折频率、闭环稳定性等系统特征。频率特性是指系统在正弦信号作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系特性。频率特性函数与传递函数有直接的关系，记

8、为：一、频域分析的一般方法为相频特性为幅频特性其中)()()()()()()()()()()(wwwwXwXwAewAjwXjwXjwGioiowjioq频域分析法是应用频率特性研究控制系统的一种典型方法。采用这种方法可直观地表达出系统的频率特性，分析方法比较简单，物理概念比较明确，对于诸如防止结构谐振、抑制噪声、改善系统稳定性和暂态性能等问题，都可以从系统的频率特性上明确地看出其物理实质和解决途经。通常将频率特性用曲线的形式进行表示，包括对数频率特性曲线和幅相频率特性曲线简称幅相曲线，MATLAB提供了绘制这两种曲线的函数。对数频率特性图包括了对数幅频特性图和对数相频特性图。横坐标为频率w，

9、采用对数分度，单位为弧度/秒；纵坐标均匀分度，分别为幅值函数20lgA(w)，以dB表示；相角，以度表示。求取系统对数频率特性图（波特图）有关函数。bode(sys),绘制LTI模型sys的波特图，程序自动选择频率范围和频率点的数量。bode(sys,wmin,wmax)：在wmin到wmax的频率范围内绘制系统的波特图。bode(sys,w):根据向量w存储的频率点绘制系统的波特图。mag,phase=bode(sys,w):返回频率点向量w对应的幅度值和相位角，分别存储在mag,phase中，但不绘制波特图。mag,phase,w=bode(sys):返回系统的幅度值和相位角和频率点，不绘

10、制波特图。bodemag(sys):绘制LTI模型sys的幅频特性图。Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys):返回LTI模型的幅值稳定裕度Gc、相位稳定裕度Pm、剪切频率Wcg和-穿越频率Wcp。margin(sys):绘制带有幅值、相位裕度标记的LTI模型sys的波特图。求取系统奈奎斯特图（幅相曲线图或极坐标图）：对于频率特性函数G(jw)，给出w从负无穷到正无穷的一系列数值，分别求出Im(G(jw)和Re(G(jw)。以Re(G(jw) 为横坐标， Im(G(jw) 为纵坐标绘制成为极坐标频率特性图。nyquist(sys)nyquist(sys,wmin,wmax)nyqui

11、st(sys,w)re,im=nyquist(sys,w)re,im,w=nyquist(sys,w)二、常用频域分析函数MATLAB除了提供前面介绍的基本频域分析函数外，还提供了大量在工程实际中广泛应用的库函数，由这些函数可以求得系统的各种频率响应曲线和 特征值。如：freqs：模拟滤波器特性nichols：求连续系统的尼科尔斯频率响应曲线（即对数幅相曲线）ngrid：尼科尔斯方格图freqs()函数qfreqs用于计算由矢量a和b构成的模拟滤波器H(s)=B(s)/A(s)的幅频响应。qh=freqs(b,a,w)用于计算模拟滤波器的幅频响应，其中实矢量w用于指定频率值，返回值h为一个复数

12、行向量，要得到幅值必须对它取绝对值，即求模。qh,w=freqs(b,a)自动设定200个频率点来计算频率响应，这200个频率值记录在w中。qh,w=freqs(b,a,n)设定n个频率点计算频率响应。q不带输出变量的freqs函数，将在当前图形窗口中绘制出幅频和相频曲线，其中幅相曲线对纵坐标与横坐标均为对数分度。)1(.)2(1)1(.)2()1()()()(11nasasmbsbsbsAsBsHnnmm三、频域分析应用实例qNyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统的稳定性。q系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线按逆时针

13、包围临界点(-1,j0)的圈数R ，等于开环传递函数位于s右半平面的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。例 exp4_15.m 线性时不变系统如下所示：要求绘制系统的波特图和奈奎斯特图，判断系统稳定性，如果系统稳定，求出系统稳定裕度，并绘制系统的单位冲激响应以验证判断结论。 xyuxx32. 00000001032. 00032. 07 . 096. 0000004. 10004. 16 . 0 Pade函数可以近似表示延时环节e(-st)，它的调用格式为：(num,den)=pade(t,n)，产生最佳逼近时延t秒的n阶传递函数形式。

14、(a,b,c,d)=pade(t,n)，则产生的是n阶SISO的状态空间模型。例 exp4_17.m 系统结构图如下所示，试用 nyquist 频率曲线判断系统的稳定性。 其中) 10625. 0)(125. 0)(185. 0(7 .16)(sssssG 10 G(s) R(s) C(s) + + _ _ 第四节 控制系统的根轨迹分析q所谓根轨迹是指，当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在s平面上的轨迹。一般来说，这一参数选作开环系统的增益K，而在无零极点对消时，闭环系统特征方程的根就是闭环传递函数的极点。q根轨迹分析方法是分析和设计线性定常控制系统的图解方法，使用十分简

15、便。利用它可以对系统进行各种性能分析。一、根轨迹分析方法的概念二、根轨迹分析函数通常来说，绘制系统的根轨迹是很繁琐的事情，因此在教科书中介绍的是一种按照一定规则进行绘制的概略根轨迹。在MATLAB中，专门提供了绘制根轨迹的有关函数和GUI工具rltool。rlocus(sys):计算并绘制系统根轨迹。rlocus(sys,k):计算并绘制反馈增益为k的闭环系统根轨迹。r,k=rlocus(sys):计算闭环系统根位置和增益，存储在，r,k中，但不绘图。k,poles=rlocfind(sys):计算根轨迹中用鼠标指定的任一点增益和极点。sgrid：在连续系统根轨迹图和零极点图中绘制出阻尼系数和

16、自然频率栅格。第五节 可控性与可观测性有关函数：ctrb():求连续系统可控性矩阵；ctrbf():可控性分解；obsv():求连续系统可观测性矩阵；obsvf():可观性分解。离散状态空间系统分析类似。第六节 状态反馈及极点配置1、一般原理：闭环系统的性能取决于极点分布。极点配置法就是通过状态反馈将系统的闭环极点配置到期望的极点上，从而使闭环系统满足要求。 2、相关函数MATLAB工具箱提供了两种专用函数place()和acker()来计算反馈增益矩阵，使得采用状态反馈的系统具有指定的闭环极点。不同的是acker()只适用于SISO系统。K= place(A,B,p);K,prec,mess

17、age = place(A,B,p);K= acker(A,B,p);K,prec,message = acker (A,B,p);其中，A,B分别为LTI系统的状态矩阵和输入矩阵，P为指定的闭环系统极点，K为状态反馈矩阵，prec为极点配置的精确度误差，message是在某一非零极点与指定极点距离大于10%时给出的错误信息。第七节状态观测器设计 第八节 最优控制仿真1.目的：基于状态空间设计一个优化的控制器，使给定的性能指标（一般为对象状态与控制输入的二次型函数）最小。一般包含两个问题：（1）线性二次型最优控制问题（LQR问题），（2）线性二次型高斯最优控制问题（LQG），用卡尔曼滤波器观测系统状态。 K-状态反馈阵S-Ricatti方程的解E-闭环系统特征值Q,R,N-性能指标矩阵4.dlqr()函数：离散系统的LQR调节器设计格式：k,s,e=dlqr(A,B,Q,R,或k,s,e=dlqr(A,B,Q,R,N)5.lqrd():连续时间系统的离散LQR调节器设计kd,s,e=l