高等数学：3-5 应用微分作近似计算

1、一、计算函数增量的近似值一、计算函数增量的近似值, 0)()(00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy 例例1 1?,05. 0,10问面积增大了多少问面积增大了多少厘米厘米半径伸长了半径伸长了厘米的金属圆片加热后厘米的金属圆片加热后半径半径解解,2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdA 205. 0102 ).(2厘米厘米 .)(0 xxf 00 xxxxdyy 3.5 应用微分作近似计算应用微分作近似计算二、计算函数的近似值二、计算函数的近似值;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf )()(00 xfxxfy .)(0 xxf

2、.)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x 例例1 1.0360coso的近似值的近似值计算计算 解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx.23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0 ;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(x

3、xxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例2 2.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 三、误差估计三、误差估计由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素

4、的影响，测得的数据往往带有误差，等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做差，我们把它叫做间接测量误差间接测量误差.定义：定义：.,的绝对误差的绝对误差叫做叫做那末那末为为它的近似值它的近似值如果某个量的精度值为如果某个量的精度值为aaAaA .的相对误差的相对误差叫做叫做的比值的比值而绝对误差与而绝对误差与aaaAa 问题问题:在实际工作中在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得绝对误差与相对误差无法求得?办法办法: :将误差确定在某一个范围内将误差确定在某一个范围内. .,的相对误差限的相对

5、误差限叫做测量叫做测量而而的绝对误差限的绝对误差限叫做测量叫做测量那末那末即即又知道它的误差不超过又知道它的误差不超过测得它的近似值是测得它的近似值是如果某个量的精度值是如果某个量的精度值是AaAaAaAAAAA 通常把绝对误差限与相对误差限简称为通常把绝对误差限与相对误差限简称为绝对误绝对误差差与与相对误差相对误差.例例3 3.,005. 041. 2误差误差并估计绝对误差与相对并估计绝对误差与相对求出它的面积求出它的面积米米正方形边长为正方形边长为 解解则则面积为面积为设正方形边长为设正方形边长为,yx.2xy ,41. 2时时当当 x).(8081. 5)41. 2(22my 41. 2

6、41. 22 xxxy.82. 4 ,005. 0 x 边长的绝对误差为边长的绝对误差为005. 082. 4 y 面积的绝对误差为面积的绝对误差为).(0241. 02m yy 面积的相对误差为面积的相对误差为8081. 50241. 0 %.4 . 0 四、小结四、小结近似计算的基本公式近似计算的基本公式.)0()0()(xffxf 00 xxxxdyy .)(0 xxf ),()()()(000 xxxfxfxf ,很很小小时时当当 x ,0时时当当 x一、一、 填空题：填空题：1 1、 利用公式利用公式)()()(000 xxxfxfxf 计算计算)(xf时，要求时，要求_很小很小.

7、.2 2、 当当0 x时 ， 由 公 式时 ， 由 公 式dyy 可 近 似 计 算可 近 似 计 算_)1ln( x； _tan x，由此得，由此得_45tan ；_002. 1ln . .二二、 利利用用微微分分计计算算当当x由由 45变变到到0145 ,时时，函函数数xycos 的的增增量量的的近近似似值值( (017453. 01 弧弧度度) ). .三三、 已已知知单单摆摆的的振振动动周周期期glT 2，其其中中980 g厘厘米米/ /秒秒2 2，l为为摆摆长长（单单位位为为厘厘米米） ，设设原原摆摆长长为为 2 20 0厘厘米米，为为使使周周期期T增增大大 0 0. .0 05 5

8、 秒秒，摆摆长长约约需需加加长长多多少少？练习题练习题四四、 求求近近似似值值：1 1、 136tan；2 2、 5002. 0arcsin； 3 3、3996. .五、设五、设0 A，且，且nAB ，证明，证明 1 nnnnABABA，并计算，并计算101000的近似值的近似值 . .六、已知测量球的直径六、已知测量球的直径D有有 1%1%的相对误差，问用公式的相对误差，问用公式 36DV 计算球的体积时，相对误差有多大？计算球的体积时，相对误差有多大？七、 某厂生产七、 某厂生产 （教材（教材 2-182-18 图） 所示的扇形板， 半径图） 所示的扇形板， 半径R=200=200 毫米，要求中心角毫米，要求中心角 为为 55产品检验时，一般用测量产品检验时，一般用测量 弦长弦长L的办法来间接测量中心角的办法来间接测量中心角 ，如果测量弦长，如果测量弦长L 时的误差时的误差L = =0.10.1 毫米，问由此而引起的中心角测量毫米，问由此而引起的中心角测量 误差误差 是多少？是多少？一、一、1 1、0 xx ； 2 2、002. 0,01309. 0, xx. .二、二、0021. 021602 .