微分中值定理77931

1、第四章第四章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用4.1 4.1 微分中值定理微分中值定理一、费马定理1、函数极值00( )(),()f xoxxox 若在有定义 若对000( )()( )(),()( )f xf xf xf xf xf x有或则称是的0,x一个极小（大）值 此时称 为极小（大）值点极大值和极小值统称为极值，取得极值的点统称为极值点【4-1-1】2、费马定理（可导极值点必要条件）（1）定理000( ),()0f xxxfx若在 可导 且 为极值点 则必有（2）证明0( )(),xf x设 为的极大值点 极小值点类似处理 则000,()( )()xoxf xf x使得当时有

2、000( )(),0f xf xxxxx当时 有000( )(),0f xf xxxxx当时 有【4-1-2】因此依函数在该点的可导以及函数极限的保号性有00000( )()()()lim0 xxf xf xfxfxxx00000( )()()()lim0 xxf xf xfxfxxx0()0fx【4-1-3】（3）定理中应注意的问题00()0( )fxxf x称的点 为的驻点或稳定点0( ),f xx定理条件中在 可导不能省略 如( )0,( )0f xxxf xx在处有极小值 但在处不可导00()0( )fxf xxxx在处有平行于 轴的切线0()0)kfx切线 定理仅是必要而不充分的条件

3、，如3( )0(0)0,0,f xxxfx在处有但不是极值点3( )(,)f xx 因为在严格单调递增00()0,fxx若有则 一定不是极值点【4-1-4】二、罗尔(rolle)中值定理1、定理( ) , ,( , ),( )( ),f xa ba bf af b设在上连续 在内可导 且有( , ),( )0a bf 则使得2、证明( ) , f xa b在上连续( ) , f xa bmm在上存在最大值和最小值(1),( )(),mmf xc若则常数( )0fx , a b即上任一点均满足定理结论,因而此时结论成立【4-1-5】(2),mm若( )( ),f af b( , ),mma b和

4、 至少有一个是在内某点 处取得( )( , ),f xa b而在内可导可导的最值点肯定是极值点:( , ),( )0a bf 依费马定理知使得3、定理中应注意的问题定理是充分而不必要的结论，因此有些函数虽不满足定理的条件，也有定理的结论。如( )sin1,2f xx在上【4-1-6】几何意义( )( , )yf xa b满足条件的函数曲线在中至少x有一条平行于 轴的切线定理的三个条件缺一不可，否则结论可能不成立xoyxoyxoyabaabb0 xb点间断0 x 不可导( )( )f af b【4-1-7】4、应用举例例例1sincos0(0, )xxx证明方程在内必有实根证明：证明：( )si

5、n ,0, ,f xxx x令则有( )0, ,(0)( )0f xff在连续可导 且有(0, ),( )sincos0f sincos0(0, )xxx所以方程在内必有实根【4-1-8】例例2( )( , ),( )0,( , ),f xa bfxxa b设在内二阶可导 若( )( , )f xa b则在内至多有一个驻点证明：证明： 用反证法证明1212( )( , ),f xa bx xxx设在内有两个驻点且则有12()()0fxfx12( ) , , fxx xa b而在上可导12( ,)( , ),( )0 x xa bf 使得( )0,( , )fxxa b这与已知的矛盾()(,)f

6、xa b所 以在内 至 多 有 一 个 驻 点【4-1-9】三、拉格朗日(lagrange)中值定理1、定理( ) , ,( , ),f xa ba b设在上连续 在内可导 则( )( )( , ),( )f bf aa bfba 使得2、证明：作辅助函数( )( )( )( )()f bf af xf xxaba( ) , ,( , )f xa ba b在上连续 在内可导( ) , ,( , ),f xa ba b在上连续 在内可导 且有( )( ),( )( )( )( )f af a f bf af af b【4-1-10】( , ),( )0,a bf 使得( )( )( )( )f

7、bf af xfxba而( )( )( )f bf afba3、定理中应注意的问题（1）定理中的两个条件缺一不可（2）( )( ),f af b当时 即为罗尔定理 是罗尔定理的推广【4-1-11】（3）几何意义( , )a b满足条件的函数在内必至少存在一条平行于两端点连线的切线( )( )( ,( ), ( ,( ),)abf bf aa a f ab b f bkbaxbayoab( ,( )a f a( ,( )b f b【4-1-12】（4）变形形式( )( )( )(),( , )f bf afbaa b,aba令( )( )()(),(0,1)f bf afababa( , )a

8、b(0,1),()aba ,()( )() ,bahf ahf afah h再令则有(0,1),hba【4-1-13】4、应用举例例例3( )0,1,(0,1),:f x设在上连续 在内可导 证明2(0,1),(1)2( )( )fff 使得证明：证明：2( )( ),( )0,1,(0,1)f xx f xf x令则在上连续 在内可导(0,1),(1)(0)( )fff 使得2(1)2( )( )fff2( )2( )( )f xxf xx fx而【4-1-14】例例4( ) , ,( , ),( )0,f xa ba bfx设在上连续 在内可导 且有( , ),( ) , xa bf xa

9、 b证明在上是常数证明：证明：1212,( , ),( )x xa bf xxx对则在 与 之间连续可导122121,()()( )()xxf xf xfxx在 与 之间 使得( )0,( , ),( )0fxxa bf而21()()f xf x12( )()xxf xc依 与 的任意性知常数注：注：依本题结论有( )( )( )( )fxg xf xg xc【4-1-15】例例5( ) , ,( , ),f xa ba b设在上连续 在内可导 且有( )0,( , ),( ) , fxxa bf xa b则在上严格单增证明：证明：121212, , ,( ) ,x xa bxxf xx x取

10、且设则在连续可导122121( ,),()( )( )()x xf xf xfxx 使得( )0,( , ),( )0fxxa bf而21()()f xf x12,( ) , x xf xa b依的任意性知在上严格单增类似地有( )0,( ) , fxf xa b若则在上严格递减【4-1-16】例例6 证明不等式ln(1),01xxx xx证明：证明：( )ln(1)0,),f xx在连续可导0,0, xx 对在上使用拉格朗日中值定理有( )(0)() ,(0,1)f xffx xln(1),(0,1)1xxx即11xxxxx而ln(1)11xxxxxx【4-1-17】例例7( )0, (0)

11、,(0, ),f x 设在上连续 在内可导 若0lim( ),:( )0,(0)xfxaf xxfa证明在点右可导 且证明：证明：(0, ),x当时 依拉格朗日中值定理有( )(0)() ,(0,1)f xffx x( )(0)(),(0,1)f xffxx即0,00 xxxx又000( )(0)limlim()lim( )xxf xffxfax【4-1-18】 四 柯西(cauchy)中值定理1 定理：),(, 0)(,),(,)(),(baxxgbabaxgxf且内可导在上连续在设)()()()()()(),(agbgafbfgfba使得则 2 证明：baabgagbgxg, 0)()()

12、(, 0)(0)(),(,)(fbarollebaxf使定理的条件上满足在则)()()(),()()()()()()()(afbfafagxgagbgafbfxfxf做辅助函数( )( )( )( ),( )0,( )( )f bf afggg bg a即( )( )( )( )( )( )ff bf agg bg a【4-1-19】 3 说明：中值定理采用与证明时不能分别对lagrangexgxf)()() 1 ( )( )( )(),( , ),f bf afbaa b是其推广中值定理即为时当,)()2(lagrangexxg（3）变形形式：) 1 , 0(,)()()()()()(agb

13、gafbfabagabaf【4-1-20】,两式相除得出因为两式中的 不一定相同 所以不能相除得出( )( )( )(),( , )g bg agbaa b（4） 几何意义：与lagrange中值定理的几何意义相似设曲线c的方程为：)()(tfytgx,bat( ( ),( ), ( ( ),( ),a g af ab g bf b端点坐标为( , ),( ( ),( ),a bp gfp 对应的点使过点 的【4-1-21】( ),( , )( )faba bcg切线斜率与弦的斜率相等 即在内曲线 存在平行ab于弦的切线( )( )( )( )abf bf akg bg a( ),( )dyf

14、 tdxg t而( ( ),( )a g af a( ( ),( )b g bf b( ( ),( )p gf( )g a( )g( )g byox【4-1-22】4 应用举例例例8使得证明内可导在上连续在若),(:,),(,)(bababaxf)()()()(feeeafbfeabba证明：证明：中值定理的条件满足则令cauchyxgxfxgexgx)(),(, 0)(,)(babaabeeeafbfeeafbfefba)()()()()(),(使得所以)()()()(feeeafbfeabba【4-1-23】例例9,),(,)(内二阶可导在上连续可导在设babaxf使得对证明),(,(:xabax2)(2)()()()(axfaxafafxf 证明：证明：,)(),)()()()(上连续在则令bazfzxzfzfxfzf( , ),( )0,( )( )( )( )()a bf xf af xf afa xa在内可导 且有