2022年贵阳市花溪第二中学九年级数学竞赛讲座第三讲充满活力的韦达定理

1、第 1 页（共 10 页）第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16 世纪法国最杰出的数学家韦达发现的韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法【例题求解】【例 1】 已知、是

2、方程012xx的两个实数根，则代数式)2(22的值为思路点拨所求代数式为、的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为( 例【例 2】如果a、b都是质数，且0132maa，0132mbb，那么baab的值为 ( ) a22123b22125或 2 c22125d22123或 2 思路点拨可将两个等式相减， 得到a、b的关系，由于两个等式结构相同，可视a、b为方程0132mxx的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x、2x的对称式，这类问题可通过变形用1x+2x、1x2x表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1) 恰当组合；(2) 根

3、据根的定义降次；(3) 构造对称式精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -第 2 页（共 10 页）【例 3】 已知关于x的方程：04)2(22mxmx (1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根 (2)若这个方程的两个实根1x、2x满足212xx，求m的值及相应的1x、2x思路点拨对于 (2) ，先判定1x、2x的符号特征，并从分类讨论入手【例 4】 设1x、2x是方程02324222mmmxx的两个实数根，当m为何值时，2221xx有最小值 ?并求出这个最小值思路点拨利

4、用根与系数关系把待求式用m的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下 ( 0)进行的注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式0 这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -第 3 页（共 10 页）【例 5】 已知：四边形abcd中，abcd，且ab、cd的长是关于x的方程047)21(222mmxx的两个根(1) 当m 2和m2 时，四边形abcd分别是哪种四

5、边形?并说明理由(2) 若m、n分别是ad、bc的中点，线段mn分别交ac、bd于点p，q，pq1，且abbc) 的长是关于x 的方程的两个根(1) 求rn的值；（2）若e是ab上的一点，cfde于f，求be为何值时， cef的面积是ced的面积的31，请说明理由16 设m是不小于1的实数，使得关于 x 的方程工033)2(222mmxmx有两个不相等的实数根1x、2x(1) 若62221xx，求m的值(2) 求22212111xmxxmx的最大值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -

6、第 7 页（共 10 页）17如图，已知在abc中，acb=90，过c作cdab于d，且adm，bd=n，ac2：bc2 2：1；又关于x的方程012)1(24122mxnx两实数根的差的平方小于192，求整数m、n的值18设 a、b、 c为三个不同的实数，使得方程和012axx和02cbxx有一个相同的实数根，并且使方程02axx和02bcxx也有一个相同的实数根，试求cba的值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -第 8 页（共 10 页）参考答案精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -第 9 页（共 10 页）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - -