《建立数学模型》ppt课件

1、数数 学学 模模 型型数学与计算机教研室数学与计算机教研室 吴吴 静静 什么是数学模型？什么是数学模型？我们常见的模型我们常见的模型玩具、照片、飞机、火箭模型玩具、照片、飞机、火箭模型 l 直观模型直观模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机水箱中的舰艇、风洞中的飞机 地图、电路图、分子构造图地图、电路图、分子构造图 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进展简缩、笼统、提炼出来的原型的替代物进展简缩、笼统、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需求的那一部分特征模型集中反映了原型中人们需求的那一部分特征l 物理模型物理模型l 思想模型思想模型 司机对方向盘

2、的支配、决策司机对方向盘的支配、决策 l 符号模型符号模型他碰到过的数学模型他碰到过的数学模型“航行问题航行问题用用 x x 表示船速，表示船速，y y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速答：船速2020千米千米/ /小时，水速小时，水速5 5千米千米/ /小时。小时。甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，小时，从乙到甲逆水航行需从乙到甲逆水航行需50小时，问船速、水速各是多少小时，问船速、水速各是多少?x =20y =5求解求解航行问题建立数学模型的根本步骤航行问题建立数学模型的根本步骤

3、作出简化假设船速、水速为常数；作出简化假设船速、水速为常数； 用符号表示有关量用符号表示有关量x, y表示船速和水速；表示船速和水速； 用物理定律匀速运动的间隔等于速度乘以用物理定律匀速运动的间隔等于速度乘以 时间列出数学式子二元一次方程；时间列出数学式子二元一次方程； 求解得到数学解答求解得到数学解答x=20, y=5； 回答原问题船速回答原问题船速20千米千米/小时，水速小时，水速5千米千米/小时。小时。数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模数学建模Mathematical Modeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，对于一个现实对象，为了一个特

4、定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学构造。运用适当的数学工具，得到的一个数学构造。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程包括表述、求解、解释、检验等包括表述、求解、解释、检验等数学模型数学模型数学数学建模建模1.2 数学建模的重要意义数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速开展；电子计算机的出现及飞速开展； 数学以空前的广度和深度向一切领域浸透。数学以空前的广度和深度向一切领域浸透。数学建模作为用数学方法处置实际问题的第一步，数学建模作为用数学方法处置实际问题的第一步，越来越遭到人们的注重。越来越遭到人们的注重。

5、 在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地；在普通工程技术领域数学建模依然大有用武之地； 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具； 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学建模的详细运用数学建模的详细运用 分析与设计分析与设计 预告与决策预告与决策 控制与优化控制与优化 规划与管理规划与管理数学建模计算机技术知识经济知识经济如虎添翼如虎添翼1.3 数学建模例如数学建模例如1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地

6、三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度延续变化，可视为数学上的延续地面高度延续变化，可视为数学上的延续曲面曲面; 地面相对平坦，使椅子在恣意位置至少三地面相对平坦，使椅子在恣意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。模型构成模型构成用数学言语把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学言语把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCODC B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位

7、置 四只脚着地四只脚着地间隔是间隔是的函的函数数四个间隔四个间隔(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面间隔之和两脚与地面间隔之和 f()B,D 两脚与地面间隔之和两脚与地面间隔之和 g()两个间隔两个间隔 椅脚与地面间隔为零椅脚与地面间隔为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学言语把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学言语把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f() , g()是延续函是延续函数数对恣意对恣意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题知：知： f() , g()是延续函数是延续函数 ; 对恣意对恣意， f() g()=0 ;

8、且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在0，使，使f(0) = g(0) = 0.模型构成模型构成地面为延续曲面地面为延续曲面 椅子在恣意位置椅子在恣意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转将椅子旋转900，对角线，对角线AC和和BD互换。互换。由由g(0)=0， f(0) 0 ，知，知f(/2)=0 , g(/2)0.令令h()= f()g(), 那么那么h(0)0和和h(/2)0.由由 f, g的延续性知的延续性知 h为延续函数为延续函数, 据延续函数的根本性据延续函数的根本性质质, 必存在必存在

9、0 , 使使h(0)=0, 即即f(0) = g(0) .由于由于f() g()=0, 所以所以f(0) = g(0) = 0.评注和思索评注和思索建模的关键建模的关键 假设条件的本质与非本假设条件的本质与非本质质 调查四脚呈长方形的椅子调查四脚呈长方形的椅子 和和 f( ), g( )确实定确实定xBADCO1.3.2 商人们怎样平安过河商人们怎样平安过河问题问题( (智力游戏智力游戏) ) 3名商人名商人 3名随从名随从随从们密约随从们密约, , 在河的任一在河的任一岸岸, , 一旦随从的人数比商一旦随从的人数比商人多人多, , 就杀人越货就杀人越货. .但是乘船渡河的方案由商人决议但是乘

10、船渡河的方案由商人决议. .商人们怎样才干平安过河商人们怎样才干平安过河? ?问题分析问题分析多步决策过程多步决策过程决策决策 每一步每一步( (此岸到此岸或此岸到此岸此岸到此岸或此岸到此岸) )船上的人员船上的人员要求要求 在平安的前提下在平安的前提下( (两岸的随从数不比商人多两岸的随从数不比商人多),),经有经有限步使全体人员过河限步使全体人员过河. .河河小船小船(至多至多2人人)模型构成模型构成xk第第k次渡河前此岸的商人数次渡河前此岸的商人数yk第第k次渡河前此岸的随从数次渡河前此岸的随从数xk, yk=0,1,2,3; k=1,2, sk=(xk , yk)过程的外形过程的外形S

11、=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2S 允许外形集合允许外形集合uk第第k次渡船上的商人数次渡船上的商人数vk第第k次渡船上的随从数次渡船上的随从数dk=(uk , vk)决策决策D=(u , v) u+v=1, 2 允许决策集合允许决策集合uk, vk=0,1,2; k=1,2, sk+1=sk dk +(-1)k外形转移律外形转移律求求dkD(k=1,2, n), 使使skS, 并并按转移律由按转移律由 s1=(3,3)到达到达 sn+1=(0,0).多步决策多步决策问题问题模型求解模型求解xy3322110 穷举法穷举法 编程上

12、机编程上机 图解法图解法外形外形s=(x,y) 16个格点个格点 10个个 点点允许决策允许决策 挪动挪动1或或2格格; k奇奇,左下移左下移; k偶偶,右上移右上移.s1sn+1d1, ，d11给出平安渡河方给出平安渡河方案案评注和思索评注和思索规格化方法规格化方法, ,易于推行易于推行思索思索4名商人各带一随从的情况名商人各带一随从的情况d1d11允许外形允许外形S=(x , y) x=0, y=0,1,2,3; x=3, y=0,1,2,3; x=y=1,2背景背景 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 5

13、0 60世界人口增长概略世界人口增长概略中国人口增长概略中国人口增长概略 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研讨人口变化规律研讨人口变化规律控制人口过快增长控制人口过快增长1.3.3 如何预告人口的增长如何预告人口的增长指数增长模型指数增长模型马尔萨斯提出马尔萨斯提出 (1798) (1798)常用的计算公式常用的计算公式kkrxx)1 (0 x(t) 时辰时辰t的人口的人口根本假设根本假设 : 人口人口(相对相对)增长率增长率 r 是常数是常数trtxtx

14、ttx)()()(今年人口今年人口 x0, 年增长率年增长率 rk年后人口年后人口0)0(,xxrxdtdxrtextx0)(trextx)()(0trx)1 (0随着时间添加，人口按指数规律无限增长随着时间添加，人口按指数规律无限增长指数增长模型的运用及局限性指数增长模型的运用及局限性 与与19世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合世纪以前欧洲一些地域人口统计数据吻合 适用于适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测可用于短期人口增长预测 不符合不符合19世纪后多数地域人口增长规律世纪后多数地域人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程不能预

15、测较长期的人口增长过程1919世纪后人口数据世纪后人口数据人口增长率人口增长率r r不是常数不是常数( (逐渐下降逐渐下降) )阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型) )人口增长到一定数量后，增长率下降的缘由：人口增长到一定数量后，增长率下降的缘由：资源、环境等要素对人口增长的阻滞作用资源、环境等要素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量添加而变大且阻滞作用随人口数量添加而变大假设假设) 0,()(srsxrxrr固有增长率固有增长率(x很小时很小时)xm人口容量资源、环境能包容的最大数量人口容量资源、环境能包容的最大数量)1 ()(mxxrxrr是是x的减函

16、数的减函数mxrs 0)(mxrrxdtdx)1 ()(mxxrxxxrdtdxdx/dtx0 xmxm/2xmx txxxemmrt( )()110tx0 x(t)S形曲线形曲线, x添加先快后慢添加先快后慢x0 xm/2阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型) )参数估计参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预告，必需先估计模型参数预告，必需先估计模型参数 r 或或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据单位例：美国人口数据单位百万百万 1860 1870 1880 196

17、0 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 179.3 204.0 226.5 251.4专家估计专家估计阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型) )r=0.2557, xm=392.1模型检验模型检验用模型计算用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较年美国人口，与实际数据比较/ )1990(1)1990()1990()1990()2000(mxxrxxxxx实际为实际为281.4 (百万百万)5 .274)2000(x模型运用模型运用预告美国预告美国20212021年的人口年的人口参与参与2000年人口数据后重新估计模型参数年人口数据后重

18、新估计模型参数Logistic 模型在经济领域中的运用模型在经济领域中的运用(如耐用消费品的售量如耐用消费品的售量)阻滞增长模型阻滞增长模型(Logistic(Logistic模型模型) )r=0.2490, xm=434.0 x(2021)=306.0 数学建模的根本方法数学建模的根本方法机理分析机理分析测试分析测试分析根据对客观事物特性的认识，根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律找出反映内部机理的数量规律将对象看作将对象看作“黑箱黑箱,经过对量测数据的经过对量测数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型统计分析，找出与数据拟合最好的模型机理分析没有一致的方法，主要经过实例研讨

19、机理分析没有一致的方法，主要经过实例研讨 (Case Studies)(Case Studies)来学习。以下建模主要指机理分析。来学习。以下建模主要指机理分析。二者结合二者结合用机理分析建立模型构造用机理分析建立模型构造,用测试分析确定模型参数用测试分析确定模型参数1.4 数学建模的方法和步骤数学建模的方法和步骤 数学建模的普通步骤数学建模的普通步骤模型预备模型预备模型假设模型假设模型构成模型构成模型求解模型求解模型分析模型分析模型检验模型检验模型运用模型运用模模型型准准备备了解实际背景了解实际背景明确建模目的明确建模目的搜集有关信息搜集有关信息掌握对象特征掌握对象特征构成一个构成一个比较明

20、晰比较明晰的的问题问题模模型型假假设设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中模模型型构构成成用数学的言语、符号描画问题用数学的言语、符号描画问题发扬想像力发扬想像力运用类比法运用类比法尽量采用简单的数学工具尽量采用简单的数学工具 数学建模的普通步骤数学建模的普通步骤模型模型求解求解各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析模型模型分析分析模型模型检验检验与实际景象、数据比较，与实际

21、景象、数据比较，检验模型的合理性、适用性检验模型的合理性、适用性模型运用模型运用 数学建模的普通步骤数学建模的普通步骤数学建模的全过程数学建模的全过程现实对象的信息现实对象的信息数学模型数学模型现实对象的解答现实对象的解答数学模型的解答数学模型的解答表述表述求解求解解释解释验证验证(归纳)(演绎)表述表述求解求解解释解释验证验证根据建模目的和信息将实际问题根据建模目的和信息将实际问题“翻译成数学问题翻译成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学言语表述的解答将数学言语表述的解答“翻译回实际对象翻译回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答用现实对象的

22、信息检验得到的解答实践现现实实世世界界数数学学世世界界实践实践1.5 数学模型的特点和分类数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的渐进性模型的强健性模型的强健性模型的可转移性模型的可转移性模型的非预制性模型的非预制性模型的条理性模型的条理性模型的技艺性模型的技艺性模型的局限性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的特点数学模型的分类数学模型的分类运用领域运用领域人口、交通、经济、生态人口、交通、经济、生态 数学方法数学方法初等数学、微分方程、规划、统计初等数学、微分方程、规划、统计 表现特性表现特性描画、优化、预告、决策描画、优化、预告、决策 建模目的建模目

23、的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱确定和随机确定和随机静态和动态静态和动态线性和非线性线性和非线性离散和延续离散和延续1.6 怎样学习数学建模怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循技术大致有章可循 艺术无法归纳成普遍适用的准那么艺术无法归纳成普遍适用的准那么想像力想像力洞察力洞察力判别力判别力 学习、分析、评价、改良他人做过的模型学习、分析、评价、改良他人做过的模型 亲身动手，仔细做几个实际标题亲身动手，仔细做几个实际标题全国大学生数学建模竞赛全国大学生数学建模竞赛 全国大学生数学建模竞赛以下简称竞赛是教全国

24、大学生数学建模竞赛以下简称竞赛是教育部高等教育司和中国工业与运用数学学会共同育部高等教育司和中国工业与运用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于鼓励学生学习数学的积极性，提高学生建立在于鼓励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术处置实际问题的综合数学模型和运用计算机技术处置实际问题的综合才干，鼓励广大学生积极参与课外科技活动，开才干，鼓励广大学生积极参与课外科技活动，开辟知识面，培育发明精神及协作认识，推进大学辟知识面，培育发明精神及协作认识，推进大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。数学教学体系、教学内容和方法的改革。 竞赛标题普通来源于工程技术和管文科学等方面竞赛标题普通来源于工程技术和管文科学等方面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预先掌握深化的专门知识，只需求学过高等学校的先掌握深化的专门知识，只需求学过高等学校的数学课程。标题有较大的灵敏性供参赛者发扬其数学课程。标题有较大的灵敏性供参赛者发扬其发明才干。参赛者应根据标题要求，完成一篇包发明才