矩阵的初等变换在向量空间中的应用.doc

1、矩阵的初等变换在向量空间中的应用 摘 要:向量贯穿了整个高等代数的学习.本文主要谈论了向量空间的一些核心问题，辅以不同的解法，通过对比，显示出矩阵的初等变换在向量空间中的重要作用，体现出用矩阵解向量空间中问题的优越性。关键词：矩阵的初等变换;线性相关；线性无关Abstract：The vector throughout the learning of the higher algebra. This article mainly talking about some of the core problems of the vector space， combined with a differ

2、ent solution， by contrast， shows the important role of elementary transformation matrices in the vector space, reflecting with matrix solution for the vector space superiority.Key words：Elementary transformation matrix； linear correlation； linearly independent1 相关定理及问题的引出设定义1。1 维向量:数域中n个数组成的有序数组定义1.

3、2 维向量空间:以数域中的数作为分量的维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域上的维向量空间.维向量空间表面上看是一个非常陌生的概念，其实质只不过是由很多个维向量作为小单元，并且这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性，即若，具有这样性质的向量构成的向量组。故对于向量空间有关问题的讨论，应该从向量组出发。之所以向量空间让我们感觉变化多端,关键在于这些向量对于定义在它们上面的加法和数量乘法满足封闭性。向量空间的理论的核心问题是向量间的线性关系，其主要内容有向量的线性表示、向量组的线性相关性、向量组的极大无关组、两个向量组的等价、向量空间的基与维数、一个基到另一

4、个基的过渡矩阵和线性变换等.在向量空间中主要研究的是数域上的维空间,因此在中解决上述问题成为学习的关键。通常这些问题都是转化为线性方程组或齐次线性方程组来解决的。本文给出了多种解决这些问题的方法,更重要的是给出了利用矩阵的初等变换来解决的统一方法。在对比中，我们可以很容易的感觉到矩阵在解决向量空间有关问题的重要作用与优越性.定理1。11 一矩阵的秩是r的充分必要条件为矩阵中有一个r级子式不为零,同时所有r+1级子式全为零。定理1.21 级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩阵的乘积。定理1.32 设可以经过初等行变换化为，则与的列向量有完全相同的线性关系。即当且仅当，其中分别为A,B

5、的列向量. 定理1.41 一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一极大线性无关组。 定理1。53 设是n维向量，是以为列向量的矩阵，将经过行的初等变换得到阶梯形，则阶梯“角”所对应的列向量构成一个最大无关组。 若是数域P上一个矩阵，。不妨设的前r行r列构成的r阶子式不为零，则将分块为,那么仅对的行施行初等变换可以得到标准形，其中为以r个单位向量作列构成的单位矩阵.记，则由基本定理三可知，则与具有相同的线性关系，而B的列向量的线性关系可以直接看出。2 判断一个向量是否可由一组向量线性表出2.1 定义法如果向量组，（2)线性相关的充分必要条件是，中的某一个向量是其余向量的线性组合2。2 利用系

6、数矩阵与增广矩阵的秩 线性方程组有解判别定理:线性方程组有解的充分必要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的的秩。若判断是否可以被一组向量,，线性表出，其中(,，）（i=1、2、）。设线性方程组为 于是线性方程足可以改写成向量方程 显然，若可以表示成向量组，的线性组合的充要条件为线性方程组有解。又由有解判别定理和充要条件的等价性可知,可以表示成向量组，的线性组合的充要条件为 特别，若当为零向量时,则恒成立，即始终存在零解，有，即可由向量组，,线性表出。2。3 利用矩阵的初等行变换设，,其中.若可由B的列向量线性表出，当且仅当可由B的前r个列向量线性表出,此时必有且，又由基本定理三知，.例1 判断

7、向量是否可以由向量线性表出，其中,，解法一:将作列，构成矩阵所以可以由线性表出,且解法二:设，分别写出系数矩阵和增广矩阵，利用系数矩阵和增广矩阵的秩来判断，矩阵的初等变换同解法一。例2 判断向量可否由向量组,，线性表出.解：作矩阵，下面对A作初等行变换,若可以化最后一行的元素全部为零，则可由线性表出。具体思想见例3。即可由线性表出。3. 判断中向量组的线性相关性3.1 定义法对于向量组称为线性相关，如果有数域P中不全为零的数 ，使，否则线性无关。3.2 拉长缩短法若n维向量组，线性相关，把每个向量的维数减少后，得到的新的向量组仍线性相关。3。3 增加法若向量组，线性相关，则增加向量的个数构成的

8、新的向量组,，也线性相关。3.4 行列式法若向量的个数与维数相同,即有n个n维列向量，令为n阶方阵,则：（1） 当时,向量组线性无关；（2） 当时,向量组线性相关。3.5 利用矩阵的秩判别设有个维列向量组，记，则可利用矩阵A的秩判断向量组的线性相关性，即：（1） 当rank(A)= 时，向量组线性无关；（2） 当rank(A） 时，向量组线性相关。3.6 利用维数与向量的个数判断m个n维向量组成的向量组，当维数小于向量个数时一定线性相关。3。7 利用向量组间的关系判断若向量组可由线性表出,且，则线性相关。3.8 利用初等变换判断设向量组，作矩阵，若线性相关，则可以使用矩阵的行初等变换把矩阵A的

9、其中一行元素全部化为0.事实上，由于线性相关，因此存在一组不全为零的数使，这时只要把矩阵A的第一行、第二行、。.、第r行分别乘上在全部加入最后一行，即可使A的最后一行全部化为0。例3讨论向量组的线性相关性。解法一:定义法.假定，即：求解方程组解得：故：向量组线性无关。解法二：拉长缩短法。对向量组删去第4第5个分量成为新的分量组。由于行列式。向量组线性无关，则拉长后的向量组也线性无关。解法三：利用矩阵的秩rank（A）=3=m=3，故向量组线性无关。例4 设向量组，,求不全为零的实数a，b，c，使。解：做矩阵，下面对A施行行初等变换:因此,。特别的,也可以利用此法判断一个向量可否由一组向量线性表

10、出。4求向量组的极大无关组以及向量组的秩.例5 中，=（1,0，2，1），=(1，2,0，1），=（2，1,3，0），=（2,5，-1，4），(1,-1,3，1）,求的一个极大无关组和秩。解：令由上可知为极大无关组，且向量组的秩为3。5 判断两个向量组是否等价5.1 定义法。如果向量组中的每一个向量都可以经过向量组线性表出，那么向量组就称为可以经过向量组线性表出.如果两个向量组相互可以线性表出,他们就称为等价。例如，设，; ，则向量组与向量组是等价的5.2 利用等价性质的传递性 如果向量组 与等价，与等价，那么向量组与等价。5.3 利用满秩矩阵,A是n阶满秩矩阵，则可由线性表出，又因为A是n阶

11、满秩矩阵，所以A可逆，即有，则可由线性表出，所以与等价。由于,且A是n阶满秩矩阵，因此有,即有，且不会同时为0。因此，能被线性表出，因而由线性相关的定义知：可由线性表出,同理可知可由线性表出，故知与等价。5。4利用矩阵的初等行变换令，对C的行施行初等变换后得到H，使H的前m列为A的标准形B由（1）给出，即,其中为阵,为阵.因为C与H有相同的线性关系，要使能被线性表出则必有= 0,并且。同样，对C的行施行初等变换得到，使的后r列为A的标准形， 由（1）给出，即其中： 为r×m阵， 为（nr）×m阵.若要使能够被线性表出，则必有= 0,并且相互表出的两个向量组等价.例6 令，是

12、的向量组，判断与等价.解: 以为列矩阵A，为列矩阵，令。令的列向量为，易见。因此。同样，对C的行施行初等变换得到,即。令的列向量为，,因此，,与相互线性表出，是等价的。6。 求一个向量关于一个基的坐标6。1 利用克拉默法则若n维向量构成的n维向量空间，求一个向量关于一组基的坐标，可以写成线性方程组的形式，利用克拉默法则求解。6.2 利用矩阵的初等变换,则是关于基的坐标。例7 求在基，,下的坐标。解：将作列构成矩阵故是关于基的坐标。7。 将向量空间的线性无关组扩充为V的基.例 8 中将，扩充为的一个基。解：取的标准基由此可知,线性无关，故为的基。8。 求一个基到另一个基的过渡矩阵. 若与是的两个

13、基。，T即为基到过渡矩阵。9。 求两个子空间的和与交的基与维数.利用矩阵的初等变换,可以很方便的求出,的一组基与维数，同时也确定了的一组基与维数，可谓一箭四雕。具体思想方法如下：令 ，其中，.(1)以为列向量，做矩阵，对施行行列初等变换，将化为标准阶梯形矩阵。（2） 中若某一为中某些的线性组合，则去掉，中若某些的对应分量成比例，则只保留其中一个.对中的作同样的处理，得到(3）若,则为零空间，其维数为0.若中有个非零向量，则每一个可由中的向量线性表出,由此得个等式,从而得的基。特别的,我们还可以通过此法证明维数公式:例9 设，且，求的基与维数。解：以为列向量,做矩阵,为的线性组合的基为，的基为，的基为,的一个基为,显然有=4 参考文献:1 王鄂芳,石生明。高等代数：第3版M.北京:高等教育出版社,2003。2 刘云英，张益敏.高等代数习题课讲义M。北京：北京师范大学出版社，1984.3 华南师范大学数学系代数教研室。高等代数.广州:华南理工大学出版社，19944 郝炳新。高