集体备课资料集--三角函数1

1、内容任意角和弧度制，任意角的三角函数项目具体内容：任意角和弧度制，任意角的三角函数修 改意见教学目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合理解弧度的意义；了解角的集合与实数集 R 之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。掌握任意角的三角函数的定义能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式及它们之间的联系；熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的

2、方法。教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写能正确地进行弧度与角度之间的换算， 能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决一些实际问题弧度的概念弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明正弦、余弦、正切线的概念。任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号） ，以及这三种函数的第一组诱导公式。公式一是本小节的另一个重点。同角三角函数的基本关系式教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写“角度制”与“弧度制”的区别与联系正弦、余弦、正切线的利用。利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值分别用他们的集合形式表示出来.三

3、角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式的变式应用易错点过程设计设计意图修 改意见1角的有关概念：角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角的名称：角的分类：始边终边顶点AOB第 2页正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角注意：在不引起混淆的情况下， “角 ”或“ ”可以简化成“ ” ；零角的终边与始边重合，如果是零角 =0；角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角练习：请说出角、各是多少度?2象限角的概念：定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几

4、象限角例 1如图中的角分别属于第几象限角？B1yOx45B2OxB3y3060o例 2在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角60； 120； 240； 300； 420； 480；答：分别为 1、2、3、4、1、2 象限角终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同在内，可构成一个集合 S | = +k360 ，kZ，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和注意：kZ 是任一角； 终边相同的角不一定相等， 但相等的角终边一定相同 终边相同的角有无限个，它们相差360的整数倍； 角 + k720 与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角例 3在 0到 360范围

5、内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角120；640 ；95012 答：240,第三象限角；280,第四象限角；12948,第二象限角；例 4写出终边在 y 轴上的角的集合(用 0到 360的角表示) 解: | = 90+ n180,nZ例 5 写出终边在xy 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式360720的元素写出来1.1.2 弧度制（一）负角：按顺时针方向旋转形成的角第 3页1引入：由角度制的定义我们知道,角度是用来度量角的, 角度制的度量是 60 进制的,运用起来不太方便.在数学和其他许多科学研究中还要经常用到另一种度量角的制度弧度制，它是如何定义呢？2定义我们规定

6、,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角；用弧度来度量角的单位制叫做弧度制在弧度制下, 1 弧度记做 1rad在实际运算中，常常将 rad 单位省略3思考：（1） 一定大小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是否是确定的？与圆的半径大小有关吗？（2）引导学生完成 P6 的探究并归纳：弧度制的性质：半圆所对的圆心角为;rr整圆所对的圆心角为.22rr正角的弧度数是一个正数负角的弧度数是一个负数零角的弧度数是零角的弧度数的绝对值|=. rl4角度与弧度之间的转换：将角度化为弧度：2360 ；180；rad01745. 01801；radnn180将弧度化为角度：2360p=；180p=；180

7、1()57.3057 18radp=盎；180( )nnp=5常规写法： 用弧度数表示角时,常常把弧度数写成多少 的形式, 不必写成小数 弧度与角度不能混用6特殊角的弧度角度030456090120135150180270360弧度064323243652327弧长公式llrraa=弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积例 1把 6730化成弧度例 2把rad 53化成度例 3计算：第 4页4sin) 1 (；5 . 1tan)2(例 4将下列各角化成 0 到 2的角加上 2k（kZ）的形式：319) 1 (；315)2(例 5将下列各角化成 2k + (kZ,02)的形式,并

8、确定其所在的象限319) 1 (；631)2(证法一:圆的面积为2R,圆心角为 1rad 的扇形面积为221R,又扇形弧长为l,半径为 R,扇形的圆心角大小为Rlrad, 扇形面积lRRRlS21212证法二:设圆心角的度数为 n，则在角度制下的扇形面积公式为3602RnS，又此时弧长180Rnl，RlRRnS2118021可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多22121:RlRS扇形面积公式4-1.2.1 任意角的三角函数（三）当角的终边上一点( , )P x y的坐标满足221xy时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示三角函数线。1有向线段

9、：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。有向线段：带有方向的线段。2三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点O，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P( , )x y，过P作x轴的垂线，垂足为M；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延.,216. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例RllRS oxyMTPAxyoMTPA第 5页长线交与点T.由四个图看出：当角的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMx MPy，于是有sin1yyyMPr，cos1xxxOMr，tanyMPATATxOMO

10、A我们就分别称有向线段,MP OM AT为正弦线、余弦线、正切线。说明：（1） 三条有向线段的位置： 正弦线为的终边与单位圆的交点到x轴的垂直线段；余弦线在x轴上；正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外。（2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与的终边的交点。（3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或y轴同向的为正值，与x轴或y轴反向的为负值。（4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。4例题分析：例 1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）3；（2

11、）56；（3）23；（4）136oxyMTPAxyoMTPA（）（）（）（）第 6页解：图略。例 2. 1cossin20，证明若54tan32tan)(354cos32cos)(254sin32sin)(1. 3与与与比较大小：例)(21sin20. 4的取值范围是的上满足，在例xx ，65.D 326.C 656.B 6, 0.A例 5. 利用单位圆写出符合下列条件的角 x 的范围;21sin) 1 (x.21cos)2(x答案： （1）71122,66kxkkZ； （2）22,66kxkkZ4-1.2.1 任意角的三角函数（1）1三角函数定义在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点

12、P（除了原点）的坐标为( , )x y，它与原点的距离为2222(|0)r rxyxy，那么（1）比值yr叫做的正弦，记作sin，即sinyr；（2）比值xr叫做的余弦，记作cos，即cosxr；（3）比值yx叫做的正切，记作tan，即tanyx；（4）比值xy叫做的余切，记作cot，即cotxy；第 7页说明：的始边与x轴的非负半轴重合，的终边没有表明一定是正角或负角，以及的大小，只表明与的终边相同的角所在的位置；根据相似三角形的知识， 对于确定的角， 四个比值不以点( , )P x y在的终边上的位置的改变而改变大小；当()2kkZ时，的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于0，所以

13、tanyx无意义；同理当()kkZ时，yxcot无意义；除以上两种情况外，对于确定的值，比值yr、xr、yx、xy分别是一个确定的实数，正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。2三角函数的定义域、值域注意：(1)在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与 x 轴的非负半轴重合.(2) 是任意角，射线 OP 是角的终边，的各三角函数值（或是否有意义）与ox 转了几圈，按什么方向旋转到 OP 的位置无关.(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积.其余五个符号也是这样.(4)任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与

14、区别:锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，它们的基础共建立于相似（直角）三角形的性质， “r”同为正值. 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的,它也适合锐角三角函数的定义.实质上，由锐角三角函数的定义到任意角的三角函数的定义是由特殊到一般的认识和研究过程.(5)为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与 x 轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆.3例题分析例 1求下列各角的四个三角函数值：（通过本例总结特殊角的三角函

15、数值）函数定义域值域sinyR 1,1cosyR 1,1tany |,2kkZ R第 8页（1）0；（2）；（3）32解： （1）因为当0时，xr，0y ，所以sin00，01cos ，tan00，cot0不存在。（2）因为当时，xr ，0y ，所以sin0，cos1 ，tan0，cot不存在，（3）因为当32时，0 x ，yr ，所以3sin12 ，3cos02，3tan2不存在，3cot02，例 2已知角的终边经过点(2, 3)P，求的四个函数值。解：因为2,3xy ，所以222( 3)13r ，于是33 13sin1313yr ；22 13cos1313xr；3tan2yx ；2cot3

16、xy 例 3已知角的终边过点( ,2 )(0)aa a ，求的四个三角函数值。解：因为过点( ,2 )(0)aa a ，所以5 |ra，,2xa ya当222 50sin55 |5yaaaraa时，5cos55xaara；15tan2;cot;sec5;csc22；当222 50sin55 |5yaaaraa 时，；5cos55xaara ；15tan2;cot;sec5;csc22 4三角函数的符号由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：第 9页正弦值yr对于第一、二象限为正（0,0yr） ，对于第三、四象限为负（0,0yr） ；余弦值xr对于第一、四象限为正（0,0 x

17、r） ，对于第二、三象限为负（0,0 xr） ；正切值yx对于第一、三象限为正（, x y同号） ，对于第二、四象限为负（, x y异号） 说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。练习： 确定下列三角函数值的符号：（1）cos250；（2）sin()4；（3）tan( 672 )；（4）11tan3例 4求证：若sin0且tan0，则角是第三象限角，反之也成立。5诱导公式由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。即有：sin(2)sink，cos(2)cosk，其中kZtan(2)tank，这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为02间角的三角函数值问题例 5求

18、下列三角函数的值： （1）9cos4，（2）11tan()6，例 6求函数xxxxytantancoscos的值域解： 定义域：cosx0 x 的终边不在 x 轴上又tanx0 x 的终边不在 y轴上当 x 是第象限角时，0, 0yxcosx=|cosx|tanx=|tanx|y=2,0, 0yx|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=2,0, 00, 0yxyx|cosx|=cosx|tanx|=tanx y=04-1.2.2 同角三角函数的基本关系第 10页（一）同角三角函数的基本关系式：（板书课题：同角的三角函数的基本关系）由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：（1）商数关系

19、：consintan（2）平方关系：1sin22con说明：注意“同角” ，至于角的形式无关重要，如22sin 4cos 41等；注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如tancot1(,)2kkZ；对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用） ，如：2cos1 sin ，22sin1 cos ，sincostan等。2例题分析：一、求值问题例 1 （1）已知12sin13，并且是第二象限角，求cos ,tan ,cot（2）已知4cos5 ，求sin ,tan解： （1）22sincos1，2222125cos1 sin1 ()()1313 又是第二象限角，cos

20、0，即有5cos13 ，从而sin12tancos5 ，15cottan12 （2）22sincos1，222243sin1 cos1 ()( )55 ，又4cos05 ，在第二或三象限角。当在第二象限时，即有sin0，从而3sin5，sin3tancos4；第 11页当在第四象限时，即有sin0，从而3sin5 ，sin3tancos4总结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了

21、负的平方根。例 2已知tan为非零实数，用tan表示sin ,cos解：22sincos1，sintancos，2222(costan)coscos(1tan)1，即有221cos1tan，又tan为非零实数，为象限角。当在第一、 四象限时， 即有cos0， 从而22211tancos1tan1tan，22tan1tansintancos1tan；当在第二、三象限时，即有cos0，从而22211tancos1tan1tan ，22tan1tansintancos1tan 例 3、已知cos2sin，求cos2sin5cos4sin解：2tancos2sin611222tan54tancos2sin5cos4sin强调（指出）技巧：1分子、分母是正余弦的一次（或二次）齐次式注意所求值式的分子、分母均为一次齐次式，把分子、分母同除以cos,将分子、分母转化为tan的代数式；2 “化 1 法”22coscossin2sin2第 12页可利用平方关系1cossin22，将分子、分母都变为二次齐次式，再利用商数关系化归为tan的分式求值；小结：化简三角函数式，化简的一般要求是：（1）尽量使函数种类最少，项数最少，次数最低；（2）尽量使分母不含三角函数式；（3）根式内的三角函数式尽量开出来；