食品工程原理_冯骉_第二章衡算方程

1、一、系统和控制体一、系统和控制体第一节第一节 简单流动系统的衡算简单流动系统的衡算“系统系统”或或“控制体控制体”：衡算的范围。衡算的范围。拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）方法：）方法： 以确定的流体质点所组以确定的流体质点所组成的整体微团作为研究对象，观察者与这些流体微团成的整体微团作为研究对象，观察者与这些流体微团一起运动，考察各物理量与时间的关系。被考察的流一起运动，考察各物理量与时间的关系。被考察的流体微团的集合即为体微团的集合即为系统系统，系统之外所有与系统发生作，系统之外所有与系统发生作用的物质统称为用的物质统称为外界外界，将系统和外界分开的真实或假，将系统和外界分开的真实或

2、假想的表面称为系统的想的表面称为系统的边界边界。第二章衡算方程第二章衡算方程系统的特点：系统的特点：（1 1）系统的质量保持不变，但其边界的形状、大小和位置）系统的质量保持不变，但其边界的形状、大小和位置可以随时间而变化；可以随时间而变化；（2 2）在系统的边界处没有质量交换，但可以有能量交换；）在系统的边界处没有质量交换，但可以有能量交换；（3 3）在边界上受到系统外的物质施加的力。）在边界上受到系统外的物质施加的力。欧拉（欧拉（Euler）方法：）方法：在固定的空间位置上，对一定的空间在固定的空间位置上，对一定的空间体积进行观察，考察运动参数在空间的分布及其随时间的变体积进行观察，考察运动

3、参数在空间的分布及其随时间的变化。被考察的空间体积称为化。被考察的空间体积称为控制体控制体，控制体的边界面称为，控制体的边界面称为控控制面制面，它总是封闭表面。，它总是封闭表面。控制体的特点：控制体的特点：（1 1）控制体内的流体质量可以随时间而变化；）控制体内的流体质量可以随时间而变化；（2 2）控制面相对于坐标系而言是固定的，在控制面上可以）控制面相对于坐标系而言是固定的，在控制面上可以有质量交换，也可以有能量交换；有质量交换，也可以有能量交换；（3 3）在控制面上受到控制体以外的物质施加的力。）在控制面上受到控制体以外的物质施加的力。二、简单流动系统的质量衡算二、简单流动系统的质量衡算简

4、单流动系统：简单流动系统：控制体为流动系统的某一段管道或一个（或控制体为流动系统的某一段管道或一个（或数个）设备。数个）设备。质量衡算：输入的质量流量质量衡算：输入的质量流量- -输出的质量流量输出的质量流量= =质量累积速率质量累积速率（一）单组分系统（一）单组分系统 mqm1qm2 dd-21mqqmm 流动为稳定流动时，积累量为零，上式即转化为连续性方程。流动为稳定流动时，积累量为零，上式即转化为连续性方程。（二）无化学反应的多组分系统（二）无化学反应的多组分系统对单个组分分别进行质量衡算：对单个组分分别进行质量衡算：0dd-12 iimimmqq0dd-1122 iimimmwqwq对

5、于对于n个组分个组分，可写出可写出n个衡算方程个衡算方程，加上总衡算方程加上总衡算方程，共共有有n+1个方程，其中只有个方程，其中只有n个方程是独立的。个方程是独立的。例例2-1-1某楼顶的供水装置有一水池，横截面积某楼顶的供水装置有一水池，横截面积S为为0.4m2，池内水的深度池内水的深度Z为为1.8m。槽底部阀门打开后，水即流出。若。槽底部阀门打开后，水即流出。若无水量补充，测得水的流量无水量补充，测得水的流量qm2与水深与水深Z的关系为：的关系为：qm2=0.25Z1/2。问经过多长时间后，水位下降至。问经过多长时间后，水位下降至0.5m？解解 Z1=1.8m，Z2=0.5m，qm1=0

6、，qm2=0.25Z1/2kg/s，水的密度取水的密度取r r=1000kg/m3，瞬时质量：，瞬时质量： m=SZr r=0.41000Z=400Z 故：故： dd400ddZm 将已知数据代入得：将已知数据代入得： 分离变量并积分：分离变量并积分： 解出解出q q得：得： q q=2030.5 s0dd2 mqm0dd40025. 02/1 ZZ 00.58 . 1d40025. 0ZdZ例例2-1-2将水与糖分别加入一搅拌槽内进行混合。水的流量将水与糖分别加入一搅拌槽内进行混合。水的流量为为120kg/h，糖的流量为，糖的流量为80kg/h。制成溶液以。制成溶液以160kg/h的流量的流

7、量离开搅拌槽。由于搅拌充分，槽内浓度各处均匀。开始时槽离开搅拌槽。由于搅拌充分，槽内浓度各处均匀。开始时槽内有水内有水80kg。试计算。试计算1小时后槽中流出的溶液浓度。小时后槽中流出的溶液浓度。 溶液溶液 160kg/h糖糖 80kg/h水水 120kg/h解：以糖为组分解：以糖为组分A。qm1A=80kg/h，qm1B=120kg/h， qm2=160kg/h，qm1=120+80=200kg/h。当。当q q=0时，时， m0=80kg。对糖作质量衡算得：对糖作质量衡算得： 代入代入q q=1 h： w2A=0.347当时间趋于无限长时，出口糖浓度趋于当时间趋于无限长时，出口糖浓度趋于0

8、.4。 0dd-A1A2A mqqmm0dd-A1A12A2 mwqwqmm即：即：0dddd80-1602A2A2A mwwmw将微分项展开：将微分项展开： 总质量衡算式：总质量衡算式： 0dd200-601 m将总质量衡算式积分：将总质量衡算式积分： m=40q q+m0=40q q+80040dd)8040(80-1602A2A2A www 分离变量并积分：分离变量并积分：)22(-2515A2 w总摩尔生成速率总摩尔生成速率R应根据反应的化学计量关系确定。可以应根据反应的化学计量关系确定。可以选择一种产物或生成物作为基准，用此基准来表示其它组选择一种产物或生成物作为基准，用此基准来表示

9、其它组分的摩尔生成速率。分的摩尔生成速率。（三）有化学反应的系统（三）有化学反应的系统在衡算方程中应加入产物生成速率一项：在衡算方程中应加入产物生成速率一项：iiininRnxqxq dd-1122总质量衡算式：总质量衡算式： Rnqqnn dd-12例例2-1-3甲醇的制造按下列反应式进行：甲醇的制造按下列反应式进行： CO+2H2 CH3OH生产流程如附图所示，将反应气体通入以生产流程如附图所示，将反应气体通入以ZnO-Cr2O3为催为催化剂的反应器中，在化剂的反应器中，在200atm和和648K下进行反应获得甲醇。下进行反应获得甲醇。制备过程中净进料的成分为制备过程中净进料的成分为66%

10、（mol%，下同）的，下同）的H2、33%的的CO和和1%的的Ar。在分离器中可将全部产物甲醇以纯。在分离器中可将全部产物甲醇以纯态形式分离出来，故排空气中无甲醇，且过程无副反应。态形式分离出来，故排空气中无甲醇，且过程无副反应。排空的摩尔流量为净进料摩尔流量的排空的摩尔流量为净进料摩尔流量的10%。生产过程维持。生产过程维持稳定状态。试计算：（稳定状态。试计算：（1）甲醇在产物中的摩尔流率与净）甲醇在产物中的摩尔流率与净进料的摩尔流率之比；（进料的摩尔流率之比；（2）循环气的组成。）循环气的组成。解：（解：（1）在稳态下，）在稳态下，dn/dq q=0 故得：故得： qn2+qn2-qn1=

11、R=R甲醇甲醇+RCO+R氢氢 净进料净进料循环气循环气排空排空反应器反应器分离器分离器纯甲醇纯甲醇qn1qn2qn2选甲醇为基准物质，根据反应方程：选甲醇为基准物质，根据反应方程： R=R甲醇甲醇+RCO+R氢氢=R甲醇甲醇-R甲醇甲醇-2R甲醇甲醇=-2R甲醇甲醇对甲醇作质量衡算：对甲醇作质量衡算： qn2x2甲醇甲醇+qn2x2甲醇甲醇-qn1x1甲醇甲醇+dn甲醇甲醇/dq q=R甲醇甲醇 由于进料及排空气中不含甲醇，故：由于进料及排空气中不含甲醇，故：x2甲醇甲醇=0，x1甲醇甲醇=0。在稳态下，在稳态下，dn甲醇甲醇/dq q=0。产物为纯甲醇，。产物为纯甲醇，x2甲醇甲醇=1故：

12、故： qn2 =R甲醇甲醇 代入甲醇的衡算式代入甲醇的衡算式: qn2-qn1=-3R甲醇甲醇 由题设：由题设： qn2/qn1=0.1 所以：所以： R甲醇甲醇/qn1=0.3 （2）循环气的组成可由）循环气的组成可由Ar的质量衡算得到。循环气的组成的质量衡算得到。循环气的组成 与排空气的组成相同。为维持稳态，必有：与排空气的组成相同。为维持稳态，必有： qn1x1Ar=qn2x2Ar 由于：由于： x1Ar=0.01 及及 qn2=0.1qn1 得：得： 0.01qn1=0.1qn1x2Ar 故：故： x2Ar=0.1在循环气中，在循环气中，CO和和H2是按化学计量的比例组成的，即：是按化

13、学计量的比例组成的，即： x2CO=x2氢氢/2 又：又： x2CO+x2氢氢=1- x2Ar=0.9故：故： x2CO=0.3 x2氢氢=0.6（四）管内流动的物料衡算（四）管内流动的物料衡算过程可以是间歇的，也可以是连续式的。无论何种情况，必过程可以是间歇的，也可以是连续式的。无论何种情况，必须选定一种计算基准。常用的计算基准有：（须选定一种计算基准。常用的计算基准有：（1）以加入设备）以加入设备的一批物料为基准；（的一批物料为基准；（2）以物料流量为基准；（）以物料流量为基准；（3）以单位以单位质量原料或产品为基准。质量原料或产品为基准。 njjmmiimqq1211在无物料损失的情况下

14、，对于稳态过程，应有：在无物料损失的情况下，对于稳态过程，应有： njjAjmmiiAimwqwq122111解简单流动系统质量衡算问题的步骤：解简单流动系统质量衡算问题的步骤：（1 1）画出过程框图，标出物料的名称、物料量、组分浓）画出过程框图，标出物料的名称、物料量、组分浓度、温度、密度等；度、温度、密度等；（2 2）选择计算基准；）选择计算基准；（3 3）列物料衡算方程，对每一种组分均可作物料衡算，）列物料衡算方程，对每一种组分均可作物料衡算，然后解此方程组。然后解此方程组。例例2-1-4某厂配制雪利酒，产品成分为酒精某厂配制雪利酒，产品成分为酒精16%、糖、糖3.0%。配制用的原料酒有

15、以下三种：配制用的原料酒有以下三种： a b c 酒精含量酒精含量/% 14.6 16.7 17.0 糖含量糖含量/% 0.2 1.0 12.0试求三种酒的配用比例。试求三种酒的配用比例。解：解：取产品雪利酒取产品雪利酒m=100 kg为基准，设为基准，设a、b、c三种酒的配三种酒的配 用量分别为用量分别为ma、mb 、mc。 总物料衡算：总物料衡算： ma+mb+mc =100 酒精的物料衡算：酒精的物料衡算： 0.146ma+0.167mb+0.170mc = 0.16100 糖的物料衡算：糖的物料衡算： 0.002ma+0.01mb+0.12mc = 0.03100 联立可解得：联立可解

16、得： ma =36.8kg，mb =42.4kg，mc =20.8kg三、稳定流动热力体系中的热功交换三、稳定流动热力体系中的热功交换热力体系热力体系：某一由边界所限定的控制体。：某一由边界所限定的控制体。封闭体系封闭体系：体系与外界无物质交换。：体系与外界无物质交换。开口体系或流动体系开口体系或流动体系：体系与外界有物质交换。：体系与外界有物质交换。稳定流动体系稳定流动体系：体系内部任一点上表明流体性质和流动参数：体系内部任一点上表明流体性质和流动参数的物理量如密度、流速、压强和温度等均不随时间而变。的物理量如密度、流速、压强和温度等均不随时间而变。稳定流动热力体系必须具备的条件：稳定流动热

17、力体系必须具备的条件：（1）在进口截面和出口截面上，流体的组成、状态、流速）在进口截面和出口截面上，流体的组成、状态、流速等参数不随时间而变；等参数不随时间而变；（2）进入体系的质量流量恒等于离开体系的质量流量；）进入体系的质量流量恒等于离开体系的质量流量；（3）体系与外界在单位时间内的功和热交换均保持定值。）体系与外界在单位时间内的功和热交换均保持定值。引入焓的概念：引入焓的概念： H=U+pv 代入总能量衡算式得：代入总能量衡算式得： H1+gz1+u12/2+q-w=H2+gz2+u22/2 或：或： q-w=D DH+gD Dz+D Du2/2上式又称为稳定流动总能量方程式。上式又称为

18、稳定流动总能量方程式。稳定流动总能量方程的应用实例稳定流动总能量方程的应用实例（1）换热器）换热器 此时此时w=0，忽略位能和动能的变，忽略位能和动能的变化，化，D Dz=0，D Du2/2=0，方程简化，方程简化为：为： q=D DH=H1-H2 （2）压缩机）压缩机设对外无热交换，设对外无热交换，q=0，忽略位，忽略位能和动能的变化，则：能和动能的变化，则： w=D DH=H2-H1（3）喷嘴）喷嘴 一般流体流过喷嘴的时间很短，一般流体流过喷嘴的时间很短，可视为可视为q=0，w=0。忽略位能，且。忽略位能，且u1u2，近似可得：，近似可得：)(2212HHu （4）节流阀）节流阀q=0，w

19、=0，流体流速近似相等。，流体流速近似相等。方程简化为：方程简化为： H1=H2 例例2-1-5某燃气轮机装置示意图如附图所示。若在稳定工某燃气轮机装置示意图如附图所示。若在稳定工况下工作，压气机进、出口气体的比焓分别为况下工作，压气机进、出口气体的比焓分别为H1=290kJ/kg，H2=580kJ/kg，燃烧室出口气体，燃烧室出口气体H3=1300kJ/kg，燃气轮机，燃气轮机出口处废气的焓出口处废气的焓H4=750kJ/kg。假定空气流量。假定空气流量qm=5kg/s，并忽略气体流经压气机和燃气轮机时的散热损失。求燃气并忽略气体流经压气机和燃气轮机时的散热损失。求燃气轮机装置的功率轮机装置

20、的功率P。压气机压气机燃烧室燃烧室燃气轮机燃气轮机解：解： （1）分别将压气机和燃气轮机取作体系进行计算。）分别将压气机和燃气轮机取作体系进行计算。 对压气机体系有：对压气机体系有： q=H2-H1+(u22-u12)/2+g(z2-z1)-wc 忽略进出口动、位能的变化，且忽略进出口动、位能的变化，且q=0，则轴功为：，则轴功为： -wc=H1-H2=290-580=-290kJ/kg 同样，对燃气轮机体系有：同样，对燃气轮机体系有： q=H4-H3+(u42-u32)/2+g(z4-z3)-wT 忽略动能、位能的变化，且忽略动能、位能的变化，且q=0，则燃气轮机的轴功：，则燃气轮机的轴功：

21、 -wT=H3-H4=1300-750=550kJ/kg 整个装置的功为两个系统轴功的代数和，即整个装置的功为两个系统轴功的代数和，即 -ws=-wT+(-wc)=550-290=260kJ/kg 装置功率为：装置功率为：P=qmws=5260=1300kW（2）将整个装置取作体系进行计算，根据稳定流动能量）将整个装置取作体系进行计算，根据稳定流动能量方程式，若动能、位能的变化忽略，则可写成：方程式，若动能、位能的变化忽略，则可写成： q=H4-H1-ws -ws=q-(H4-H1)=(H3-H2)-(H4-H1) =1300-580-(750-290)=260kJ/kg P=qmws=526

22、0=1300kW 两种解法结果一致。两种解法结果一致。一、通用总质量衡算一、通用总质量衡算第二节第二节 通用的总衡算方程通用的总衡算方程任意形状控制体，总体积为任意形状控制体，总体积为V，控制面的总面积为控制面的总面积为S。任取一。任取一面积为面积为dS的微元，流过此微元的微元，流过此微元的流体质量流量为的流体质量流量为r rucosa adS，流过控制面的流体质量流量为：流过控制面的流体质量流量为： una a SSudcosa ar r在控制体内任取一微元体积在控制体内任取一微元体积dV，其质量为，其质量为r rdV，整个控制体，整个控制体的质量累积速率为：的质量累积速率为：总质量衡算方程

23、：总质量衡算方程： VVmdddddr r 0ddddcos VSVSur r a ar r二、通用总能量衡算二、通用总能量衡算以以ET为单位质量流体具有的能量，则通过微元面积为单位质量流体具有的能量，则通过微元面积dS流出的流出的能量为能量为r ruETcosa adS，而通过整个控制面流出的能量为：，而通过整个控制面流出的能量为：整个控制体的能量累积速率为：整个控制体的能量累积速率为：总能量衡算方程：总能量衡算方程： SSuEdcosTa ar rWQVESuEVS-ddddcosTT r r a ar r VVE dddTr r 三、通用总动量衡算三、通用总动量衡算通过整个控制面流出的净

24、动量速率为：通过整个控制面流出的净动量速率为：整个控制体的动量累积速率为：整个控制体的动量累积速率为：总动量衡算方程：总动量衡算方程： SSuudcos)(a ar rVVudddr r VSVuSuuFddddcos)(r r a ar r在直角坐标系中可写成在直角坐标系中可写成 ： VxSxxVuSuuFddddcosr r a ar r VySyyVuSuuFddddcosr r a ar r VzSzzVuSuuFddddcosr r a ar r稳定流动时，动量的累积为零。对稳定的管道流动，取截面稳定流动时，动量的累积为零。对稳定的管道流动，取截面与流动方向垂直，并假设截面上的速度为

25、均匀分布，则：与流动方向垂直，并假设截面上的速度为均匀分布，则： Fx=qm(u2x-u1x) Fy=qm(u2y-u1y) Fz=qm(u2z-u1z)例例2-2-1 试利用总动量衡算方程导出不可压缩流体作稳态试利用总动量衡算方程导出不可压缩流体作稳态流动时突然扩大的机械能损失与主体流速、截面面积之间流动时突然扩大的机械能损失与主体流速、截面面积之间关系。摩擦损失可忽略不计。关系。摩擦损失可忽略不计。0 1 2 0 1 2解：选择附图中虚线所示的范围为控制体，其控制面为截面解：选择附图中虚线所示的范围为控制体，其控制面为截面S1、S2和靠近大管内壁的流体层（不包括管壁）。由于流体和靠近大管内

26、壁的流体层（不包括管壁）。由于流体作一维流动，流速作一维流动，流速u与与ux相等，并且流速与截面相等，并且流速与截面S1、S2的法线的法线方向平行，方向平行，cosa a=1。在湍流条件下，截面上的速度分布较。在湍流条件下，截面上的速度分布较为均匀，故可用主体流速为均匀，故可用主体流速ub代替代替ux。控制体在控制体在x方向上所承受的外力为压力和摩擦阻力，在摩擦方向上所承受的外力为压力和摩擦阻力，在摩擦阻力可以忽略时，合外力即等于净压力阻力可以忽略时，合外力即等于净压力Fxp： Fx=Fxp=qm(u2-u1) （1） 由于由于S1=S2，假定作用在，假定作用在S1和和S2面上的压强均匀，分别

27、以面上的压强均匀，分别以p1、p2表示，又截面表示，又截面S1与截面与截面0相接近，设相接近，设p1=p0、u1=u0，则可得：，则可得： Fxp=S1p1-S2p2=S2(p1-p2)=S2(p0-p2)=-S2D Dp （2）又由总质量衡算，得：又由总质量衡算，得： u2=S0u0/S2 （3）代入式（代入式（1），得），得 -S2D Dp=qm(u2-u1)=u0r rS0(u2-u1)=u0r rS0(u2-u0) 将式（将式（3）代入：）代入： S2D Dp=u0r rS0(u0-S0u0/S2) 或：或： D Dp/r r=u02(1-S0/S2)S0/S2 （4）在无外功加入时，

28、流体在水平直管中流动的柏努利方程为：在无外功加入时，流体在水平直管中流动的柏努利方程为： D Du2/2+D Dp/r r+Lf=0 （5）即：即： Lf=-D Du2/2-D Dp/r r =-(u22-u02)/2-u02(1-S0/S2)S0/S2 =-(S02u02/S22-u02)-u02(S0/S2-S02/S22) =u02(1-S0/S2)2/2 （6） 一、流动场的概念一、流动场的概念第三节第三节 微分微分衡算方程衡算方程如果在空间的每一点，都对应某一个物理量的一个确定值，如果在空间的每一点，都对应某一个物理量的一个确定值，则称在这空间里确定了该物理量的则称在这空间里确定了该

29、物理量的场场。根据物理量是数量。根据物理量是数量或矢量，相应地场就有或矢量，相应地场就有数量场数量场和和矢量场矢量场。如果物理量的值如果物理量的值不随时间而变化，则称这个场为不随时间而变化，则称这个场为稳定场稳定场，否则为，否则为不稳定场不稳定场。为更好地描述速度场中各点的瞬时运动状态，引入为更好地描述速度场中各点的瞬时运动状态，引入“流线流线”的概念。的概念。流线就是与空间各点的速度矢量相切的曲线，也流线就是与空间各点的速度矢量相切的曲线，也就是作矢量场的速度场中的矢量线。就是作矢量场的速度场中的矢量线。流线的性质：流线的性质：（1 1）流线不能相交；）流线不能相交；（2 2）在任一瞬时，）

30、在任一瞬时，空间的任何一点都空间的任何一点都有一条流线通过，有一条流线通过，因此流线是一曲线族；因此流线是一曲线族；（3 3）在不稳定流动）在不稳定流动场中，流线的形状场中，流线的形状和位置随时间而变和位置随时间而变化。在稳定流动场中，流线不随时间而变。化。在稳定流动场中，流线不随时间而变。质点的空间运动轨迹称为迹线。质点的空间运动轨迹称为迹线。当流动为稳定流动时，当流动为稳定流动时，流线与迹线重合。流线与迹线重合。 设流线上任一点的速度为设流线上任一点的速度为u，其在三个坐标轴上的分量分别，其在三个坐标轴上的分量分别为为ux、uy和和uz。该点处曲线的切线为。该点处曲线的切线为ds，其在三个

31、坐标轴上，其在三个坐标轴上的分量分别为的分量分别为dx、dy和和dz，则由流线的定义知，则由流线的定义知u与与ds平行，平行，故有：故有： uds=0根据矢量运算法则将上式展开，即得根据矢量运算法则将上式展开，即得流线方程流线方程：zyxuzuyuxddd 在流场内取一封闭曲在流场内取一封闭曲线，通过曲线上的每线，通过曲线上的每一点作流线，这些流一点作流线，这些流线即构成一个管状表线即构成一个管状表面，称为面，称为流管流管。流管的性质：流管的性质：（1 1）因为流线不能相交，所以流体只能在流管内流动，）因为流线不能相交，所以流体只能在流管内流动，不能穿过流管表面；不能穿过流管表面；（2 2）流

32、管表面上的速度方向永远与表面相切；）流管表面上的速度方向永远与表面相切；（3 3）稳定流动时流管的形状不随时间而变，不稳定流）稳定流动时流管的形状不随时间而变，不稳定流动时流管的形状则随时间而变化。动时流管的形状则随时间而变化。二、微分质量衡算和连续性方程二、微分质量衡算和连续性方程（一）物理量的时间导数（一）物理量的时间导数 r r r r r r r r r rddddddddzzyyxx 1. 偏导数偏导数 r r/ q q 某固定点处流体密度随时间的变化率某固定点处流体密度随时间的变化率2. 全导数全导数dr r/dq 观测者在流体中以观测者在流体中以任意速度任意速度运动，运动，同时考

33、察密度的变化。此时密度对时间的变化率除与同时考察密度的变化。此时密度对时间的变化率除与时间和空间位置有关外，也与观测者的运动速度有关。时间和空间位置有关外，也与观测者的运动速度有关。以密度为例：以密度为例：3随体导数随体导数Dr r/Dq q 观测者观测者以与流体流动的速度相同以与流体流动的速度相同的速度的速度运动，则有：运动，则有： ux=dx/dq q uy=dy/dq q uz=dz/dq q 这种导数称为这种导数称为“随体导数随体导数”，或称，或称“拉格朗日导数拉格朗日导数”。zuyuxuzyx DD局部导数局部导数对流导数对流导数（二）连续性方程的通用形式（二）连续性方程的通用形式

34、x z y0dxdydz在流动的流体中在流动的流体中取一平行六面体取一平行六面体微元，边长分别微元，边长分别为为dx、dy和和dz，流速分量分别为流速分量分别为ux，uy和和uz，则从，则从左侧面流入的质左侧面流入的质量通量为：量通量为： r ruxdydzzyxxuuxxddd)( r rr r从右侧面流出的质量通量为：从右侧面流出的质量通量为：在在x方向上净流出的质量通量为：方向上净流出的质量通量为： zyxxuxddd) r r(在在y方向上净流出的质量通量为：方向上净流出的质量通量为：zyxyuyddd) r r(在在z方向上净流出的质量通量为：方向上净流出的质量通量为：zyxzuzd

35、dd) r r(总的净质量流量为：总的净质量流量为： zyxzuyuxuzyxddd) r rr rr r(微元体内质量的累积速率为：微元体内质量的累积速率为： zyxddd r r 由此得微分质量衡算式：由此得微分质量衡算式： 0) r rr rr rr rzuyuxuzyx(0)( r rr rr rr rr rzuyuxuzuyuxuzyxzyx（三）连续性方程的化简（三）连续性方程的化简 引入随体导数的概念后：引入随体导数的概念后： 0DD zuyuxuzyxr r r r 0DD ur r r r0)(DD ur r r r稳态流动稳态流动 0 zuyuxuzyxr rr rr r不

36、可压缩流体不可压缩流体0 zuyuxuzyx柱坐标系中的通用连续性方程柱坐标系中的通用连续性方程 011 zruzurrurrr rr rq qr r r r 球坐标系中的通用连续性方程球坐标系中的通用连续性方程 0sin1sinsin1122 r r r r r r r rurururrrr例例2-3-1不可压缩流体二维流动的速度分布为：不可压缩流体二维流动的速度分布为： 问此流动是否满足连续性方程式。问此流动是否满足连续性方程式。解：解： 满足连续性方程式，流动是连续的。满足连续性方程式，流动是连续的。 3232yxyxux 23-23xyyxuy 02222 xyxyyuxuyx三、微分

37、动量衡算和运动方程三、微分动量衡算和运动方程 （一）流动的流体所受的力（一）流动的流体所受的力 体积力体积力 dFgx=Xr rdxdydz=0 dFgy=Yr rdxdydz=0 dFgz=Zr rdxdydz=-gr rdxdydz 表面力：表面力： 当微元的体积缩小为一点时，相对两个表面上的法向应当微元的体积缩小为一点时，相对两个表面上的法向应力和剪应力相应地大小相等，方向相反力和剪应力相应地大小相等，方向相反。因此，用因此，用3个个法向应力分量和法向应力分量和6个剪应力分量就可以表达任何一点流个剪应力分量就可以表达任何一点流体所受的应力，这体所受的应力，这9个应力分量分别是：个应力分量

38、分别是： t txx、t tyy、t tzz、t txy、t tyx、t txz、t tzx、t tyz、t tzy。可以证明，在可以证明，在6个剪应力分量中只有个剪应力分量中只有3个是独立的，即有：个是独立的，即有： t txy=t tyx t txz=t tzx t tyz=t tzy这样，任何一个微分控制体的受力状态，可以用这样，任何一个微分控制体的受力状态，可以用9个独个独立的分量（立的分量（3个法向应力，个法向应力，6个剪应力）完全表达。个剪应力）完全表达。 （二）用应力表示的运动微分方程（二）用应力表示的运动微分方程 用拉格朗日方法考察流动流体微元，牛顿第二定律为：用拉格朗日方法考

39、察流动流体微元，牛顿第二定律为：zyxuFxxdddDDd r r zyxuFyydddDDd r r zyxuFzzdddDDd r r 在在x方向上流体微元受的应力为：方向上流体微元受的应力为：)(下下面面yxt t)(左面左面xxt t)(前面前面zxt t)(d 后后面面zzzxzx t tt t)(d上上面面yyyxyx t tt t)(d右右面面xxxxxx t tt txzy0zyxzyxFzxyxxxxddd)(ds t tt tt t合力：合力：加上质量力后：加上质量力后：zyxXuzxyxxxx t tt tt tr r r rDDzyxYuzyyyxyy t tt tt

40、tr r r rDDzyxZuzzyzxzz t tt tt tr r r rDDy方向：方向： z方向：方向： 即以应力表示的运动微分方程即以应力表示的运动微分方程 （三）应力与剪切速率的关系（三）应力与剪切速率的关系 1. 剪应力与速度梯度（即剪切速率）之间的关系：剪应力与速度梯度（即剪切速率）之间的关系： )(xuyuyxyxxy t tt t)(xuzuzxzxxz t tt t)(yuzuzyzyyz t tt t)(32-2-zuyuxuxupzyxxxx t t)(32-2-zuyuxuyupzyxyyy t t)(32-2-zuyuxuzupzyxzzz t t2. 法向应力与

41、静压力和剪切速率的关系：法向应力与静压力和剪切速率的关系： （四）（四）纳维纳维- -斯托克斯（斯托克斯（Navier-Stokes）方程）方程 将应力和剪切速率间的关系代入运动方程：将应力和剪切速率间的关系代入运动方程：)(3)(-DD222222zuyuxuxzuyuxuxpXuzyxxxxx r r r r)(3)(-DD222222zuyuxuyzuyuxuypYuzyxyyyy r r r r)(3)(-DD222222zuyuxuzzuyuxuzpZuzyxzzzz r r r r uupFu r r r r31-DD2gupFu2g-DD r r r r四、运动方程的应用四、运动

42、方程的应用 （一）理想流体的稳态层流（一）理想流体的稳态层流 对重力场内的稳定流动，有：对重力场内的稳定流动，有： xpzuuyuuxuuxzxyxx r r1-ypzuuyuuxuuyzyyyx r r1-zpgzuuyuuxuuzzzyzx r r1-流线方程：流线方程： uydx=uxdy uzdx=uxdz uydz=uzdy 将运动方程诸式分别乘以将运动方程诸式分别乘以dx、dy和和dz，再代入流线方，再代入流线方程，最后将三个方程相加，得到：程，最后将三个方程相加，得到： uxdux+uyduy+uzduz=-gdz-dp/r r 积分得积分得流线上的柏努利方程流线上的柏努利方程：

43、 u2/2+gz+p/r r=常数常数 （二）（二）平壁间的稳态层流平壁间的稳态层流设粘度为常数的不可压缩流体流过两平行平板之间，流动设粘度为常数的不可压缩流体流过两平行平板之间，流动为为充分发展的充分发展的稳态层流，两块板是固定的，且为无限宽，稳态层流，两块板是固定的，且为无限宽，流动的推动力为流动的推动力为x方向的压强梯度。方向的压强梯度。xy z02y0连续性方程：连续性方程： 0 xuxNavier-Stokes方程：方程： 22yuxpx 可见可见p不是不是z的函数，若的函数，若2y0很小，很小，p也不是也不是y的函数的函数 。常常数数 xpyuxdd1d22 d积分得：积分得： x

44、pyuxdd2-20max )1 20maxyyuuxx（ 可见速度分布为抛物线。可见速度分布为抛物线。)(dd21202yyxpux （三）圆管内的稳态层流（三）圆管内的稳态层流 设粘度为常数的不可压缩流体由一恒定的压强梯度推动，设粘度为常数的不可压缩流体由一恒定的压强梯度推动，在一半径为在一半径为r0的水平管内流动。的水平管内流动。 zxy0q qr连续性方程：连续性方程： 0 xuzNavier-Stokes方程：方程： )dd(dd11dd122rurrrrurruzpzzz 常常数数 )1 -dd4120max202rrurrzpuz（ zpruzdd820av 2av20av213

45、28-dlurluppzz 五、微分能量衡算方程五、微分能量衡算方程 （一）微分能量衡算方程的推导（一）微分能量衡算方程的推导用拉格朗日方法，微元控制体的热力学第一定律为：用拉格朗日方法，微元控制体的热力学第一定律为： D DU=q-w 流体做的功：流体做的功： 即：即： dU=d dq-(pdv-d dhf)用随体导数的形式表达为：用随体导数的形式表达为：f-d21hvpwvv )d(f21hvpqUvv D D DDDD-DDDDfhvpqU 取微元六面体，由于采用拉格朗日方法，所以其质量不变，取微元六面体，由于采用拉格朗日方法，所以其质量不变，上式各项均乘以上式各项均乘以r rdxdyd

46、z得：得： 引入焓：引入焓： H=U+pv 则：则： 代入上式：代入上式：若考虑内热源的存在：若考虑内热源的存在： r r r r tvpU2DDDD DDDDDDDDpvvpuH r r tpH2DDDDDDDD2qtpH r r（二）微分能量衡算方程的特定形式（二）微分能量衡算方程的特定形式在一般工程问题中，流体的摩擦热可以忽略不计。在一般工程问题中，流体的摩擦热可以忽略不计。 1无内热源不可压缩流体的对流传热无内热源不可压缩流体的对流传热 )(222222ztytxtaztuytuxtutzyx 2固体中的导热固体中的导热 1222222qztytxtta tat2 无内热源时为傅立叶（

47、无内热源时为傅立叶（Fourier）第二定律）第二定律 ：有内热源的稳态导热为泊松（有内热源的稳态导热为泊松（Poisson）方程）方程 ： -2qt 无内热源的稳态导热为拉普拉斯（无内热源的稳态导热为拉普拉斯（Laplace）方程：）方程： 02 t例例2-3-3密度为常数的流体在水平管内作层流流动时被加密度为常数的流体在水平管内作层流流动时被加热，试用微分能量衡算方程导出其偏微分方程及其边界条热，试用微分能量衡算方程导出其偏微分方程及其边界条件。流体的流速为常数，在半径件。流体的流速为常数，在半径r=r0的管壁处热流率是常的管壁处热流率是常数数q0，过程处于稳定状态，并假定在，过程处于稳定

48、状态，并假定在z=0的进口处已建立起的进口处已建立起速度分布。假设物性是常数。速度分布。假设物性是常数。解：根据连续方程得解：根据连续方程得ux/z=0。采用柱坐标求解稳定状态的。采用柱坐标求解稳定状态的 运动方程，得到抛物线型的速度分布：运动方程，得到抛物线型的速度分布： uz=uzmax1-(r/r0)2 （1） 因为流体的密度为常数，可用柱坐标系的微分能量衡算因为流体的密度为常数，可用柱坐标系的微分能量衡算方程。在这种情况下方程。在这种情况下ur=0和和uq q=0。因为轴对称，。因为轴对称，t/q q=0，2t/q q2=0。对于稳态，。对于稳态，t/q q=0。因此有：。因此有： 通

49、常通常z方向导热项方向导热项2t/z2与对流项与对流项uzt/z相比要小得多，可相比要小得多，可以略去。将式（以略去。将式（1）代入式（）代入式（2）可以得到：）可以得到： 边界条件是：在边界条件是：在z=0时，时，t=t0（所有（所有r）；）； 在在r=0时，时，t是有限的；是有限的； 在在r=r0时，时，q0=- t/r（常数）。（常数）。 rtrrtcztrrupz1)/(-1 2220maxr r 22221ztrtrrtctupzr r （2）（3）六、传质微分方程六、传质微分方程 用欧拉方法，在流动体系中取微元控制体，设流速在三个用欧拉方法，在流动体系中取微元控制体，设流速在三个坐标轴方向上的分量分别为坐标轴方向上的分量分别为ux、uy、uz，则组分，则组分A由于流动由于流动所产生的质量通量所产生的质量通量r rAu的分量分别为的分量分别为r rAux、r rAuy、r rAuz，由，由于浓度梯度所