《圆》章节知识点总结

1、名师推荐精心整理学习必备圆章节知识点一、圆的概念1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点为圆心的圆记作“”，读作“圆”。2.确定圆的基本条件： （ 1 ）、圆心：定位置，具有唯一性，（2 ）、半径：定大小。3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合。4. 连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径， 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 ，简称 弧，弧用符号“ ”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧 ，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧 ，小于半圆的弧称为 劣弧 。 在同圆或等圆 中，能过重合的两条弧叫做 等弧 。

2、理解 ：弧在圆上，弦在圆及圆上：弧为曲线形，弦为直线形。5.不在同一直线上的三个点确定一个圆且唯一一个。6. 三角形的三个顶点确定一个圆，经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的 外心 ，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。 与三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点， 叫做三角形的 内心 。三角形的内切圆是三角形内面积最大的圆，圆心是三个角的角平分线的交点，他到三条边的距离相等：内心到三顶点的连线平分这三个角。（补充 ）圆的集合概念1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以

3、看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫名师推荐精心整理学习必备中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系点与圆的位置关系是由这个点到圆心的距离d 与半径 r 的大

4、小关系决定的。1、点在圆内dr点 C 在圆内；Ad2、点在圆上dr点 B 在圆上；rOBd3、点在圆外dr点 A 在圆外；C解题注意点和圆的位置不确定性。圆的对称性圆是轴对称图形，他有无数条对称轴，每一条过圆心的直线都是他的对称轴。圆是以圆心为对称中心的中心对称图形，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合，这种性质叫做圆的旋转不变性。圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。三、直线与圆的位置关系：相交，相切，相离如果圆 O 的半径为 r ，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，那么：1 、直线与圆相离dr无交点 ；2 、直线与圆相切dr有一个交点；3 、直线与圆相交dr有两个交点；rd四、

5、圆与圆的位置关系名师推荐精心整理学习必备d=rrd设两圆半径分别为R 和 r，圆心距为d，那么：外离（图1 ）无交点dRr ；外切（图2 ）有一个交点dRr ；相交（图3 ）有两个交点RrdR r ；内切（图4 ）有一个交点dRr；内含（图5 ）无交点dRr；ddRrRr图 1图 2ddrRrR图4图5dR r图 3五、垂径定理（非常重要）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1 ：（1 ）平分弦（ 不是直径 ）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（ 2 ）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（ 3 ）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条

6、弧名师推荐精心整理学习必备以上共 4 个定理，简称2 推 3 定理：此定理中共5 个结论中，只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即：AB是直径ABCDCEDE 弧BC弧BD 弧AC弧AD中任意 2 个条件推出其他3 个结论。A推论 2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 O 中， AB CDCDOOEABCDB弧AC弧 BD解题技巧：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要做“垂直于弦的直径”作为辅助线。六、圆心角定理顶点在圆心的角叫做圆心角 。圆心角的度数与他所对的弧的度数相等。圆心角定理：在同圆或等圆 中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推 3 定理，即

7、上述四个结论中，EFOD只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，AC即： AOBDOE ； AB DE ；BOCOF ； 弧BA弧BD七、圆周角定理顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 。1 、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的C度数）的一半。即：AOB 和ACB 是弧 AB 所对的圆心角和圆周角BOA AOB2ACB2 、圆周角定理的推论：名师推荐精心整理学习必备推论 1 ：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中， 相等的圆DC周角所对的弧是等弧；即：在 O 中，C 、D 都是所对的圆周角BOA CD推论 2 ：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角

8、是直角所对的弧是C半圆，所对的弦是直径。即：在 O 中， AB 是直径或C90BAO C90AB 是直径推论3 ：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是C直角三角形。即：在 ABC 中，OCOAOBBAOABC 是直角三角形或C90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。注：忽略一条弦所对的弧有两条，所对的圆周角边有两种不同的角。八、圆内接四边形一般的，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。圆的内接四边形定理 ：圆的内接四边形的对角互补。推论 ：圆内接四边形任何一个外角

9、都等于他的内对角。DCBAE名师推荐精心整理学习必备即：在 O 中，四边形 ABCD 是内接四边形 CBAD 180BD180DAEC九、切线的性质与判定定理直线和圆有唯一公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。（ 1 ）切线的判定定理： 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MNOA 且 MN 过半径 OA 外端OMANMN 是 O 的切线（ 2 ）性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1 ：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2 ：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二

10、推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。连接圆心与切点间的线段是解圆的切线问题时常用的辅助线，通常叙述为： “见切点连半径得垂直 。” 解决与圆的切线有关的问题时，常需要补充的线是作过切点的半径。九、切线长定理在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长 。切线长 定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线 长BOPA名师推荐精心整理学习必备相等，圆心和圆外这一点的连线平分两条切线的夹角。即： PA 、 PB 是的两条切线PAPBPO 平分BPA十一、圆幂定理（ 1 ）相交弦定理 ：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积

11、相等。DB O P即：在 O 中，弦 AB 、 CD 相交于点 P ，PA PBPCPD（ 2 ）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成CA的两条线段的比例中项。即：在 O 中，直径 ABCD ，CE 2AE BEBCOEAD（ 3 ）切割线定理 ：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。A即：在 O 中， PA 是切线， PB 是割线DEPO PA2PC PBCB（ 4 ）割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线， 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图） 。即：在 O 中， PB 、 PE 是割线PC PBPD PE名师推荐

12、精心整理学习必备十二、两圆公共弦定理两圆相切时， 连心线必过切点，这一性质是由圆的对称性决定，两个圆组成的图形是轴对称图形，对称轴是经过两圆圆心的直线。圆公共弦 定理 ：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。A如图： O1O2 垂直平分 AB 。O1O2即：O1 、 O2 相交于 A 、 B 两点B垂直平分 ABO1O2注：两圆相交时，依照两圆圆心和公共弦的位置，可分为两种情况： 两圆圆心在公共弦同侧， 两圆圆心在公共弦异侧。AB十三、圆的公切线CO1两圆公切线长的计算公式：O2（ 1 ）公切线长： RtO1O2C 中， AB2CO12O1O22CO22 ；（ 2 ）外公切线长：CO2是半径之

13、差； 内公切线长： CO2 是半径之和。十四、圆内正多边形的计算各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形 。把一个圆分成相等的弧，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。 经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆。正多边形的外接圆 （或内切圆） 的圆心叫做正多边形的中心 。正多边形外接圆的半径叫做正多边形的 半径 。正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角 ，正多边形内切圆半径叫做正多边形的边心距 。正 n 边形的半径R 与边心距r 把正 n 边形分成2n 个全等的直角三角形。名师推荐

14、精心整理学习必备关系式：中心角n = 3600；边长 an =2 R sin 1800;nn边心距 rn R cos1800; R2r 2(1 an )2 ; 周长 C nnan ;n2面积 Sn = 1 an rnn= 1 C n rn .22（1）正三角形在 O 中 ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD 中进行：COD:BD: OB1:3:2；B（2）正四边形同理，四边形的有关计算在R t中进行，O A EOE: AE: OA1:1: ：2BCOAED（3）正六边形同理，六边形的有关计算在R t中进行，O A BAB:OB :OA1:3:2 .OBAOAD名师推荐精心整理学习必备十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式nR；1 、扇形：（ 1 ）弧长公式： l180（ 2 ）扇形面积公式：Sn R