数的整除知识点

1、数的整除知识点数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重 要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。数的整除1. 整除因数和倍数例如：15-3=5, 63 一 7=9一般地，如a、b、c为整数，bz0,且a*b=c,即整数a除以 整除 b（b 不等于 0），除得的商 c 正好是整数而没有余数（或者 说余数是 0）,我们就说, a 能被 b 整除（或者说 b 能整除 a）。 记作b | a.如果整数 a 能被整数 b 整除, a 就叫做 b 的倍数, b 就叫做 a 的 因数。例如：在上面算式中, 15 是 3 的倍数, 3 是 15 的因数； 63 是 7 的倍数, 7 是 63

2、的因数。2. 数的整除性质性质 1 ：如果 a、 b 都能被 c 整除,那么它们的和与差也能被 c 整除。即：如果 c | a, c | b,那么 c |（ a± b）。例如：如果 2| 10, 2| 6,那么 2|（106）,并且 2|（ 106）。性质2：如果b与c的积能整除a,那么b与c都能整除a.即：女口果 bc | a,那么 b | a, c | a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积 能整除 a。即：如果 b | a, c | 8,且（b, c） =1,那么 bc | a。例如：如果 2 | 28, 7 | 28,且（2, 7） =1,那么（2X

3、7）| 28。性质4：如果c能整除b, b能整除a，那么c能整除a。即：如果c | b, b | a,那么c | a。例如：如果 3| 9, 9| 27,那么 3| 27。3. 数的整除特征 能被 2 整除的数的特征：个位数字是 0、 2、 4、 6、 8 的整数 . “特征” 包含两方面的意义： 一方面, 个位数字是偶数 （包括 0） 的整数,必能被 2整除；另一方面,能被 2整除的数,其个位数 字只能是偶数（包括 0） . 下面“特征”含义相似。 能被 5整除的数的特征：个位是 0或 5。 能被 3（或 9）整除的数的特征： 各个数位数字之和能被 3（或9）整除。 能被 4（或 25）整除

4、的数的特征：末两位数能被 4（或 25）整 除。例如： 1864=180064,因为 100 是 4 与 25 的倍数,所以 1800 是 4与 25的倍数.又因为 4| 64,所以 1864能被 4整除.但因为 2564,所以 1864不能被 25整除. 能被 8（或 125）整除的数的特征：末三位数能被 8（或 125） 整除。例如：29375= 29000+ 375,因为1000是8与125的倍数，所以 29000是8与125的倍数.又因为125 | 375,所以29375能被125 整除 . 但因为 8375，所以 829375。 能被 11 整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之

5、和与 偶数位上的数字之和的差（大减小）是 11 的倍数。例如：判断 123456789这九位数能否被 11 整除？ 解：这个数奇数位上的数字之和是9+7+ 5+3+ 1=25,偶数位上的数字之和是 8+ 6+4+ 2= 20. 因为 2520=5,又因为 115, 所以 。再例如：判断 13574是否是 11 的倍数？ 解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4+5+1）-（7+ 3）= 0. 因为 0是任何整数的倍数,所以 11| 0. 因此 13574是 11 的倍数。 能被 7（11 或 13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能

6、被7（11 或13）整除。例如：判断 1059282是否是 7 的倍数？解：把 1059282分为 1059和 282 两个数 . 因为 1059-282= 777, 又 7| 777,所以 7| 1059282. 因此 1059282是 7 的倍数。再例如：判断 3546725能否被 13 整除？解：把 3546725 分为 3546 和 725 两个数 . 因为 3546-725=2821. 再把2821分为2和821两个数，因为821 2= 819,又13 | 819, 所以 13 | 2821,进而 13 | 3546725.质数和合数1. 质数与合数一个数除了 1 和它本身,不再有别

7、的因数,这个数叫做质数（也 叫做素数）。一个数除了 1 和它本身,还有别的因数,这个数叫做合数。 要特别记住： 1 不是质数,也不是合数。2. 质因数与分解质因数如果一个质数是某个数的因数, 那么就说这个质数是这个数的质 因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。 例：把 30 分解质因数。解：30= 2 X 3 X 5。其中 2、3、5 叫做 30 的质因数。又如 12=2X 2X 3= 22X 3, 2、3 都叫做 12 的质因数。例 1 三个连续自然数的乘积是 210,求这三个数 .解： 210=2X 3X 5X 7可知这三个数是5、6和7。例 2 两个质数的和是 40

8、,求这两个质数的乘积的最大值是多 少？解：把 40 表示为两个质数的和,共有三种形式：40=17+23=11 29=3+37。v 17 X 23= 391 > 11 X 29= 319> 3X 37 = 111。所求的最大值是391。 答：这两个质数的最大乘积是 391 。例 3 自然数 123456789 是质数，还是合数？为什么？ 解：123456789是合数。因为它除了有约数 1 和它本身外，至少还有约数 3，所 以它是一个合数。例 4 连续九个自然数中至多有几个质数？为什么？ 解：如果这连续的九个自然数在 1 与 20 之间，那么显 然其中最多有4个质数（如：19中有4个质

9、数2、3、5、7）。如果这连续的九个自然中最小的不小于3，那么其中的偶数显然为合数，而其中奇数的个数最多有5 个. 这 5 个奇数中必只有一个个位数是 5，因而 5 是这个奇数的一个因数，即这个 奇数是合数 . 这样，至多另 4 个奇数都是质数。综上所述，连续九个自然数中至多有 4 个质数。例 5 把 5、 6、 7、 14、 15 这五个数分成两组，使每组数的乘积 相等。解：v 5=5, 7=7, 6=2X 3, 14= 2X 7, 15=3X 5,这些数中质因数 2、 3、 5、 7 各共有 2 个，所以如把 14（ =2X 7）放在第一组,那么 7 和 6（ =2X 3）只 能放在第二组

10、,继而 15（= 3X 5）只能放在第一组,则 5 必须放在第二组这样 14X 15=210=5X 6X 7。这五个数可以分为 14和 15，5、6和 7 两组。例 6 有三个自然数， 最大的比最小的大 6，另一个是它们的平均 数，且三数的乘积是 42560. 求这三个自然数。分析 先大概估计一下，30 X 30 X 30=27000,远小于42560.40 X 40X 40 = 64000,远大于 42560.因此，要求的三个自然数在 3040之间。解：42560=26X 5X 7X 19=25X( 5X 7) X( 19X 2)=32 X 35 X 38 (合题意) 要求的三个自然数分别是

11、 32、35和 38。例 7 有 3 个自然数 a、 b、c. 已知 aX b=6, bX c=15,aX c = 10.求 aX bX c 是多少？解：6= 2X 3, 15=3X 5, 10= 2X5。( aX b)X( bX c )X( aX c)=( 2X 3)X( 3X 5)X( 2X 5) a2 X b2X c2=22X 32X 5222(aXbXc) 2=(2X3X5) 2aX bX c=2X 3X 5= 30在例 7 中有 a2= 22, b2=32, c2=H，其中 22=4, 32 = 9, 52= 25，像4、9、25 这样的数,推及一般情况,我们把一个自然数平方所 得到

12、的数叫做完全平方数或叫做平方数。如.1 2=1, 22 = 4, 32= 9, 42=16,，112=121, 122=144, 其中1, 4, 9, 16,，121, 144,都叫做完全平方数.下面让我们观察一下, 把一个完全平方数分解质因数后, 各质因 数的指数有什么特征。例如：把下列各完全平方数分解质因数：9, 36, 144, 1600, 275625。解：9=32 36=22 X 32 144=32 X 241600=26 X 52 275625=32 X 5、亍可见,一个完全平方数分解质因数后, 各质因数的指数均是 偶数。反之, 如果把一个自然数分解质因数之后, 各个质因数的指数都

13、 是偶数,那么这个自然数一定是完全平方数。如上例中，36= 62, 144=122, 1600=402, 275625=52乳例8 一个整数a与1080的乘积是一个完全平方数.求a的最小 值与这个平方数。分析/ a与1080的乘积是一个完全平方数，二乘积分解质因数后，各质因数的指数一定全是偶数。解: v 1080X a=23X 33X 5X a,又/ 1080=23X 33X 5的质因数分解中各质因数的指数 都是奇数,二a必含质因数2、3、5,因此a最小为2X 3X 5。二 1080x a= 1080x 2X 3X 5 = 1080x 30= 32400。答：a的最小值为30,这个完全平方数是

14、324000例 9 问 360 共有多少个约数？分析 360=2 3x 32x 5。为了求 360 有多少个约数，我们先来看 32x 5 有多少个 约数，然后再把所有这些约数分别乘以1、2、22、23，即得到 23x 32x 5（=360）的所有约数 . 为了求 32x 5 有多少个约数，可以 先求出 5 有多少个约数，然后再把这些约数分别乘以1 、 3、32，即得到 32x 5 的所有约数。解：记 5 的约数个数为 Y1，32x 5 的约数个数为 Y2，360 （=23 x 32x 5）的约数个数为Y3由上面的分析可知：Y3=4x Y2， Y2= 3x Y1，显然 Y1=2（ 5 只有 1

15、和 5 两个约数）。因此 Y3= 4x Y2=4x 3x Y1=4x 3x 2=24。所以 360 共有 24 个约数。说明： Y3=4x Y2 中的“ 4”即为“ 1、2、22、23”中数 的个数，也就是其中 2 的最大指数加 1，也就是 360= 23x 32x 5 中质因数 2 的个数加 1；Y2=3xY1 中的“ 3”即为“ 1、3、32” 中数的个数，也就是 23x 32x5 中质因数 3 的个数加 1；而 Y1=2 中的“2”即为“1、5”中数的个数，即 23x 32x 5 中质因数 5 的 个数加 1. 因此Y3=( 3+ 1)X( 2+1)X( 1+1) =24。对于任何一个合

16、数，用类似于对 23X 32X 5 （=360）的约数个数 的讨论方式， 我们可以得到一个关于求一个合数的约数个数的重 要结论：一个合数的约数个数， 等于它的质因数分解式中每个质因数的个 数（即指数）加 1 的连乘的积。例 10 求 240的约数的个数。解：240= 24x 3X 5,二240的约数的个数是（41）X（ 1+1）X（ 11） =20，二240有20个约数。请你列举一下 240的所有约数， 再数一数，看一看是否是 20 个？ 公因数和最大公因数1. 公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个， 叫做这几个数的最大公因数。例如： 12 的因数有： 1， 2， 3， 4， 6， 12；18 的因数有： 1 ， 2， 3， 6， 9， 18。12 和 18 的公数因有： 1， 2， 3， 6.其中 6 是 12 和 18 的 最大公约数，记作（ 12， 18） =6。2. 公倍数和最小公倍数 几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个， 叫做这几个数的最小公倍数。例如：12 的倍数有：12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,18 的倍数有：18, 36, 54, 72, 90,12和18的公倍数有：36, 72,.其中36是12和18的 最小公倍数,记作 12 , 18=36。3. 互质数 如果两个数只有公因数