数值分析典型例题

1、第一章典型例题例3 In2=0.69314718，精确到10_3的近似值是多少?故至少要保解 精确到10_3= 0.001,即绝对误差限是；=0.0005,留小数点后三位才可以。In 20.693第二章典型例题 例1用顺序消去法解线性方程组I 1xt：；'x . ? 4x ；=-: « 3x + 2xr + xm=4x + 2x ? + 4x 3 = -1解顺序消元<32 -r：册1 )I10.51.520卫2 14-13 2 1412 4-14-52-1 15.5-0.520卫10.504-1-55.51717于是有同解方程组|2x1 x2 4x3 - -1«

2、;0.5x2 -5x3 =5.517x3 =17回代得解X3= 1, X2=1,X1 = 1,原线性方程组的解为X = (1,1, 1)T例2取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组x_H -< X + x2 + xs= 32x+ 2x + x3 = 5解建立迭代格式X1“ =-2x2k) +2x3k) +1%宀一X1(k) -x3k) +3 (k=1,2,3，)斗十)=-2x1k)_2xf)+5第1次迭代,k=0X(0) = 0,得到 X(1)= (1,3,5)t第2次迭代，k=1乂=_2x3+2x5+1=5*x；2) = 1 5+3=dx32) =-20 2

3、 汉3 +5=dX =(5, 3, 3)t第3次迭代，k=2，13) =2汇(；)+2汉(；)十1=1<x23)=-(d) +3=1x32) = 2 疋5 2汉(一3) +5=1X =(1,1,1)t第4次迭代，k=3，12)=-2 疋 1 +2疋1 +1=1<x2)= -1 -1+3=1x32)=-2X1 2汇1 十5=1X =(1,1,1)t例4证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯-赛德尔迭代法发散。证明例2中线性方程组的系数矩阵为12-2A=111221一于是 D =0 1 00 0 1一1 0 0雅可比迭代矩阵为0 0 0D = D L = 1 0 02 2 0

4、一-2110九2-2X2011=1丸k +122X22& +2.-B。Bo= _D -(L U)j0'00001-2 02-2101.2( 2) 一2(， 1) 一22一2(， 1)3 = 0得到矩阵Bo的特征根23,，根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收 敛。高斯-赛德尔迭代矩阵为 1 G= (D L) U11】20壮-2 -110-10 0 01-2-2110002-20-23-2I -G解得特征根为丸20 -200-23.-2= (-2)2=01=0,兀2,3=2。由迭代基本疋理知，高斯-赛德尔迭代发散。例5填空选择题：1.用高斯列主元消去法解线性方程组xt：z：；'

5、;匕x、 x ； =*+广 3-X_dx?=2作第 1 次消元后的第 2 ,3 个方程分别为。，咲右X2 °.5x3 =5答案： C U12x2 +1.5x3 =3.5解答 选a2i=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2xi+2x2+3x3=3, 消元得到'x2 0.5x3 = -1.5-2x2 +1.5x3 = 3.5是应填写的内容。3.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组X | X、_ ：x ; = 1xt：；'x、 x ； - 1乂|：；'匕x、 x ；=、的迭代格式中x2k .(X)二(x：)(x- ：)(x-J _(x ：)(x- ：)(X- J =(

6、k=0,1,2,)答案：3x1k1) x3k)解答：高斯-赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求X2的值时应该用上Xi的新值。第三章典型例题例1已知函数y=f(x)的观察数据为Xk2045yk5131试构造拉格朗日插值多项式Pn (x)，并计算f( 1)的近似值只给4对数据，求得的多项式不超过 3次解先构造基函数x(x - ：)(x -、) 二x(x- ：)(x-、)() _ (-.)(-(-)门(x + 2)x(x 5)= x(x + 2)(x 5)24亠-(4 + 2)(4_0)(4_5)-(x 2)x(x _4) (x 2)x(x _4)”3" =(52)(5 _0)(5

7、_ 4)35所求三次多项式为nPs(x)=- ykik(x)k=0=_、 x(Xi?)(x+(xJ(x - ：)(x - 340(7 x(x)+241= Pn(x) Rn(x)7klk(x)(n -)!lk(x)” r-n<(x)(x Jx(x ) 35=、： x x x421421 1 SS34f( - 1)=- -例 3 设 x-.x-.x ；,., xn是 n+1 个互异的插值节点，L(x)(k = n)是拉格朗日插值基函数，证明:nn(1)、lk(x)二-(2)7 lk(x)xm = Xm(mn)k£k=0n证明(1) Pn(x)二yolo(x)+yili(x)+yn(

8、x)二瓦 yklk(x)k=0f" ”dO), .f (xH Pn(x) Rn(x)当 f(x)=1 时,由于 f(n (x)n二匚，故有 'Tk(x)二-k£(2)对于f(x)=xm,m=0,1,2,n,对固定xm(0兰m兰n),作拉格朗日插值多项式，有nf(n4i(E)xm : Pn(X)Rn(X)八 xmik(x)n，(x)(nJ!M)"亠1当 n>m1 时，f(n+1) (x)=0, Rn(x)=O，所以nmm' Xk lk(x)三 xy.注意：对于次数不超过n的多项式Qn(x)二anXn an_xn- a x a-,利用上结果，有Q

9、n(x) = anXnan_xn= a x annnn二 an'Tk(x)x： an_lk(x)xL a 7 lk(x)Xk a八Tk(x) 'k<nn= 'Tk(x)anXn anx严 aXk a。Qn(xQk(x)k z0k=0n上式Qn(xJk(x)正是Qn(X)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(X)的拉 k £格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。例5已知数据如表的第2, 3列，试用直线拟合这组数据。解 计算列入表中。n=5。a°,a1满足的法方程组是kXkykx?AkXk

10、yk11414224.5493369184481632558.52542.5153155105.5Lq L”：5a°+ 15af= 315a0+ 55a】=105.5解得a°=2.45,ai=1.25。所求拟合直线方程为y=2.45+1.25x例6选择填空题1.设y=f(x),只要xo,xi,X2是互不相同的 3个值，那么满足P(xJ二yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是(就唯一性回答问题)答案：唯一的3.拉格朗日插值多项式的余项是(),牛顿插值多项式的余项是()f (诂心(A) Rn(X)= f(X)-巳(刈"(X)(n +1)!(B) f(X

11、,Xo,Xi,X2,xn)(x Xi)(X X2)(一Xn-1)(X Xn)f(n4i(S(C) Rn(X)二 f(X)-Pn(X)=(n +1)!(D) f(X,Xo,X1,X2，Xn)(x Xo)(X X1)(X X2)(一XnT)(X Xn) 答案：(A) , (D)。见教材有关公式。第四章典型例题例1试确定求积公式.f(x)dx、fC 一厂f()的代数精度。依定义，对xk(k=0,1,2,3,)，找公式精确成立的k数值解 当f(x)取1,x,x2,时，计算求积公式何时精确成立。(1)取 f(x)=1,有左边=f (x)dx 二'；dx 二二,右边=f C 一) f (一)= 一

12、 一 =【v 3 v 3取f(x)=x，有左边= f (x)dx = dx =.,右边=f ( 一) f( 一JJv 3 v 3 v 3 v 3(3)取 f(x)=x2，有=f(：)f(j(WV取f(x)=x3，有左边=.f(x)dx 二xN 二右边=f(_(5)取 f(x)=x4，有f (x)dx 二 > dx 千V3 V3 V3 V3 9当k乞3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具=f (丄)f( j =( -)：(丄厂有3次代数。hi.例 5 试确定求积公式 Qf (x)dx - f(0) f (h) ah2 f (0)f (h)中的参数a,并证明该求积公式具有三次

13、代数精度。解 公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有h°1dx =尹! 0,即 h=h xldx =h0 h ah2(1 -1),h 0 2 2 2不能确定a,再令f(x)=x2,代入求积公式，得到332dh0 h2 ah2(2 0-2h),即=h 2ah30232h2得 a 二g.求积公式为 °f (x)dx ：号f (0) f (h) £f (0) - f (h)将f(x)=x3代入上求积公式，有h 3 h3 h2x3dx0 h3(3 0 3h2)0 2 12可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中,h 4h4 h23x

14、 dx 0 h (4 0 _4h )0 2 12所以该求积公式具有三次代数精度。例6选择填空题1.牛顿-科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点解答：牛顿-科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其 精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。 第五章典型例题 例1证明方程1-x sinx= 0在区间0,1内有一个根，使用二分法求 误差不超过0.5X 10 4的根要迭代多少次？证明令 f(x)= 1 x sinxf(0)=1>0 , f(1)= sin 1<0f(x)=1 x sinx=0 在0 , 1有根。又f (x)=1 cosx>0(x 0,1),故 f(x)

15、= 0 在区间0 , 1内有唯实根给定误差限=0.5X 10 4，有ln(b - a) - In ；-lnln 工ln 二-1 = 13.287只要取n= 14。例2用迭代法求方程x5 4x 2= 0的最小正根。计算过程保留4 位小数。分析容易判断1, 2是方程的有根区间。若建立迭代格式X 二 x _ ,即卩(X)二 x -，.：(X)二 丄 (x (_,；)，此时迭代发散。444建立迭代格式 x=5/4x +2,®(x)=5，4x+2, ®'(x)4 e#(1<x<2)，'5%4x+2)45此时迭代收敛。解建立迭代格式X = ： X 二，：(x

16、) = ' x 二申(x) =t 4<-(1兰x兰2),取初始值Xo =1(可任取1，2之间的值)5(4x+2)45x =，x = ：1.431 0 x、=，x ： =. 4 ： 1.505 1x ； = r 、二'& 1.516 5 x ： = ：二'.：心；1.518 2x、= ： ；x ： 二'.i d : 1.5185取 X 1.5185例3试建立计算】a的牛顿迭代格式，并求的近似值，要求迭代误差不超过10 5分析首先建立迭代格式。确定取几位小数，求到两个近似解之差的绝对值不超过105。解令x - a, f (x)二x - a =匚，求X的

17、值。牛顿迭代格式为迭代误差不超过105,计算结果应保留小数点后6位。当 x=7 或 8 时，x3=343 或 512, f ( ) f ()：.,而,取 Xo=8, 有2丄 a2。丄 411.791co n-7ox x7.478 07813 u 3xj 3防 22 a 7 宀宀 f 411.7917 “c c"x x.7.439 956X：. - <-X X=0.03S1222 a 2 一""411.791-x x.7.439760'孑亠孑超7七9956亠x? x=0.00019(5a3X一 2m411 7917439760于是，取 x 7.439760例4用弦截法求方程x3 x2- 1 = 0,在x=1.5附近的根。计算中 保留5位小数点。分析先确定有根区间。再代公式。解 f(x)= x3 x2 1, f(1)= 1, f(2)=3，有根区间取1,2取X1=1,迭代公式为fdfzVXnxQ"1,2,)xx二-r(x -x” 丄 1 丫xi-xf-xxs 1*41 *5 ' 一 1 *5 ' 一 1cw 十7662(1.二 - .；) 1.488811.376621.376622 - 11.H '一:飞s