苏科版七年级下94(1)完全平方公式

1、苏科版七年级下9.3 (1)完全平方公式一. 选择题(共8小题)1. 下列运算中，正确的是()a. (a+b) 2=a2+b2 b. ( - x - y) 2=x2+2xy+y2c(x+3) (x - 2) =x2 - 6 d(-a - b) (a+b) =a2 - b22. 若(a+b) 2= (a - b) 2+a,则 a 为()a. 2ab b. - 2ab c. 4ab d-4ab3. 不论x, y为何有理数，x2+y2 - 10x+8y+45的值均为()a.正数 b.零c.负数 d.非负数4. 若|a-b =1,则 b2 - 2ab+a2 的值为()a. 1 b. - 1 c

2、7;1 d无法确定5. 己知(xy) $二49, xy=2,则 ”+y2 的值为()a. 53 b. 45 c 47 d 516. 如果x2+mx+9是一个完全平方式，则m的值为()a. 3 b 6 c ±3 d ±67. 利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式例如，根据图甲，我们 可以得到两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2.你根据图乙能得到的数学公式是()w/aa1 bx/ b 、甲乙a. (a+b) (a - b) =a2 - b2 b. (a - b) 2=a2 - 2ab+b2c. a (a+b) =a2+ab d. a (a - b) =a2

3、 - ab&用四个完全一样的长方形(长、宽分别设为x、y)拼成如图所示的大正方形,已知大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的面积为4,则下列关系式中不 正确的是()a x+y二6b x - y=2 c. x*y=8 d. x2+y2=36二. 填空题(共10小题)9. 若 a+b二5, ab=6,则 a2+b2=10. 已知a+丄二3,则尹+丄的值是aa2已知 x2 - 5x+l=0,贝ijxj寺二.x12. 若(x+y) 2=11, (x - y) 2=7,则 xy 的值为.13. 仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出(a+b) °展开式所缺的系数:(a+b)二a+b(a

4、+b) 2=a2+2ab+b2(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b) 4=a4+4a3b+a2b2+4ab3+b4.14. 已知 a>b, ab二2 且 a2+b2=5,贝ij a - b=.15. 已知（a+b） j8, （a - b） 2=5,贝u a2+b2=, ab=16. 若 a+b=3, ab=l,则 a2+3ab+b2=17. 己知 a2+ab+b2=7, a ab+b2=9,贝9 （a+b） 2=18. 如图，边长为（m+2）的正方形纸片剪岀一个边长为m的正方形之后，剩 余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为2,则另一 边长是.（用

5、含m的代数式表示）11111111m+2 -v-加f+三. 解答题(共7小题)19. 计算：x (x+1) - (x- 1) 2.20. 计算：2x (x - 2y) - (2x - y) 2.21. 己知(x+y) 2=49, (x-y) 2=1,求下列各式的值：(1) x2+y2； (2) xy.22. (1)比较a2+b2与2ab的大小(用、"或"二填空)： 当 a二3, b=2 时，a2+b22ab, 当 a= - 1, b二-1 吋，a2+b22ab, 当b二-2 是，a2+b22ab.(2) 猜想a'+r与2ab有怎样的大小关系？并证明你的结论.23.

6、先阅读下而的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2n2 - 6n+9=0,求 m 和 n 的值.解：v m2+2mn+2n2 - 6n+9=0a m2+2mn+n'+m - 6n+9=0(m+n) 2+ (n - 3) 2=0：m+n=o, n - 3=0：m= - 3, n二3问题(1)若 x2+2y2 - 2xy+4y+4=0,求"的值.(2)已知 a, b, c 是 aabc 的三边长，满足 a2+b2=10a+8b - 41, me 是 aabc 中最长的边，求c的取值范围.24. 如图1是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个 小长方形，然

7、后按图2形状拼成一个正方形.(1) 图2中的阴影部分的正方形的边长可表示为；(2) 观察并分析图2中阴影部分面积的不同表示方法，你能写岀(m+n) 2, (m n)2, mn三个代数式之间的等量关系吗？(3) 根据(2)题中等量关系，解决下列问题：若m+n=5, mn=4,求的 值.mmnn图1nmnmmnn25把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些 有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积.(1) 如图1,是将儿个面积不等的小止方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的方法计算这个图形的而积，你能发现什么结论，请写出来.(2) 如图2,是将两个

8、边长分别为a和b的正方形拼在一起，b、c、g三点在 同一直线上，连接bd和bf,若两正方形的边长满足a+b=10, ab=20,你能求出阴影部分的面积吗?b苏科版七年级下9.3 (1)完全平方公式参考答案与试题解析一. 选择题(共8小题)1. (2015春罗湖区期末)下列运算中，正确的是()a. (a+b) 2=a2+b2 b(-x - y) 2=x2+2xy+y2c(x+3) (x - 2) =x2 - 6 d( a - b) (a+b) =a2 - b2【分析】根据完全平方式，把a、b项展开，多项式乘以多项式的法则把c、d 项展开，然后与等式右边对比即可判断正误.【解答】解：a (a+b)

9、 2=a2+2ab+b2va2+b2,故本选项错误;b、( - x - y) 2=x2+2xy+y2,故本选项正确;c (x+3) (x - 2) =x2+x - 6=#x2 - 6,故本选项错误;d ( - a - b) (a+b) = - (a+b) 27a2 - b2,故本选项错误.故选：b.【点评】本题主要考查完全平方式和多项式的乘法法则，熟练掌握公式和法则是 求解的关键.2. (2016秋罗庄区期末)若(a+b) 2= (ab) 2+a,则人为()a. 2ab b. - 2ab c. 4ab d. - 4ab【分析】把a看作未知数，只需将完全平方式展开，用(a+b) 2- (a-b)

10、 2即 可求得a.【解答】解：/ (a+b) 2=a2+2ab+b2, (a - b) 2=a2 - 2ab+b2,.*.a= (a+b) 2 - (a-b) 2=4ab.故选c.【点评】此题主要考查了完全平方式：(a+b) 2=a2+2ab+b2与(a - b) 2=a2 - 2ab+b2 两公式的联系，它们的差是两数乘积的四倍.3. (2016春苏州期末)不论x, y为何有理数，x2+y2 - 10x+8y+45的值均为(a.正数 b.零c.负数 d非负数【分析】根据完全平方公式对代数式整理，然后再根据平方数非负数的性质进行 判断.【解答】解：x2+y2 - 10x+8y+45,=x2 -

11、 10x+25+y2+8y+16+4,=(x 5) 2+ (y+4) j4,.(x - 5) 2$o, (y+4) go,/. (x - 5) 2+ (y+4) 2+4>0,故选：a.【点评】此题主要考查完全平方式和平方数非负数的性质，比较简单.4. (2016春盐城校级期中)若|a - b|=l,则/ - 2ab+a2的值为()a. 1 b. - 1 c. ±1 d无法确定【分析】先把b2 - 2ab+a2化成完全平方式，然后讨论a-b的正负性，最后求解.【解答】解：b2 - 2ab+a2= (a - b) 2,又 v | a - b | =1/. a - b=l 或-1,b

12、2 - 2ab+a2= (a - b) 2=1.故选a.【点评】本题主要考查完全平方公式的逆用，熟练掌握公式并灵活运用是解题的 关键.5. (2016春宝应县期末)己知(x-y) $二49, xy=2,贝!j x2+y2的值为()a. 53 b. 45 c 47 d 51【分析】原式利用完全平方公式变形，将已知等式代入计算即可求出值.【解答】解：j (xy) j49, xy=12,/.x2+y2= (x - y) 2+2xy=49+4=53.故选：a.【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解木题的关键.6. （2016春怀柔区期末）如果xjmx+9是一个完全平方式，则m的值为（

13、）a. 3 b. 6 c. ±3 d. ±6【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x 和3的积的2倍，故m=±6.【解答】解:v （x±3） 2=x2±6x+9,在 x2+mx+9 中，m=±6.故选d.【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2 倍，就构成了一个完全平方式.注意积的2倍的符号，避免漏解.7. （2016春莘县期末）利用图形中而积的等量关系可以得到某些数学公式例 如，根据图甲,我们可以得到两数和的平方公式:（a+b） 2=a2+2ab+b2.你根据图 乙能得到的

14、数学公式是（ ）k g >«j7ki axa、1 b/ b f >甲乙a. （a+b） （a - b） =a2 - b2 b（a - b） 2=a2 - 2ab+b2c. a （a+b） =a2+ab d. a （a - b） =a2 - ab【分析】根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面 积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积.【解答】解：大正方形的而积二（ab） 2,还可以表示为a2 - 2ab+b2,/. （a - b） 2=a2 - 2ab+b2故选b【点评】止确列出止方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平 方公式的理解能

15、力.& （2016春扬州期末）用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为36,中间空缺的小正方形的而积为4,则下列关系式屮不正确的是（）a. x+y二6 b x - y=2 c. xy二8d. x2+y2=36【分析】根据正方形的面积分别求出小正方形和大正方形的边长，然后结合图形 列出关于x、y的方程，求出x、y的值，分别计算即可得解.【解答】解：大正方形的而积为36,中间空缺的小正方形的而积为4,大正方形的边长是6,屮间空缺的小正方形的边长为2,i x+y二 6，x - y二 2，+得，2x=8,解得x=4,得，2y二4,解得尸2,x*

16、y=2 x 4=8, x2+y2=22+42=20,关系式中不正确的是xv=36.故选d.【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，主要利用了正方形的而积与边长 的关系，观察图形得到长方形的长与宽的关系式是解题的关键.二. 填空题（共10小题）9. （2016 春北京期末）若 a+b二5, ab=6,贝lj a2+b2=13【分析】先把a+b二5两边平方得（a+b） 2=25,展开为a2+2ab+b2=25,再整体代 入计算即可.【解答】解：a2+b2= （a+b） 2 - 2ab=13.【点评】木题考查了完全平方公式的运用，一般情况下a2+b2与（a+b）丄有着内 在的联系，此题经常是通过完

17、全平方式和整体代入ab的值来求得a2+b2的值.10. （2016春惠安县期末）已知a+丄二3,则a2+-的值是7 aa2【分析】把己知条件两边平方，然后整理即可求解.完全平方公式：（a±b） 2=a2±2ab+b2 【解答】解:v 34-1=3,aaa2+2+-=9,a2/. a2+4r=9 - 2二7a2故答案为：7.【点评】本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的 关键.11. （2016春淮阴区期末）已知x?-5x+l二0,则x2+-=23x【分析】将方程/ - 5x+l=0,两边同时除以x,可得出x+丄二5,再平方可得出*2二 xx2的值.【

18、解答】解:vx2 - 5x+l=0,.x+丄二5 （方程两边同时除以x）,x 故可得则x242+2=25, 解得：x 2 42=23x故答案为：23.【点评】此题考查了完全平方式的知识，将方程变形得岀x+丄二5是解答本题的x关键，难度一般.12. （2016春青岛校级期末）若（x+y） 2=11, （x-y） 2=7,则xv的值为1【分析】直接利用完全平方公式将原式展开，进而求出答案.【解答】解:v （x+y） 2=11, （x - y） j7,ax2+y2+2xy=ll,x2+y2 - 2xy=7,得：4xy=4,解得：xy=l.故答案为：l【点评】此题主要考查了完全平方公式，正确记忆公式是

19、解题关键.13. (2016秋罗平县期末)仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出(a+b) °展 开式所缺的系数：(a+b)二a+b(a+b) 2=a2+2ab+b2(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4【分析】根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写岀各项 的系数即可.【解答】解:v (a+b)二a+b(a+b) 2=a2+2ab+b2(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.故答案为：6.【点评】本题考查了完全平方公式，能发现(a+b) “

20、展开后，各项是按a的降幕 排列的，系数依次是从左到右(a+b) "j系数之和.它的两端都是由数字1组成 的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和.14. (2016 春太仓市期末)已知 a>b, ab二2 且 a2+b2=5,贝ij a - b= 1.【分析】由a大于b,得到a-b大于0,利用完全平方公式化简(a - b) 2,把 各自的值代入计算，开方即可求出值.【解答】解：va>b,即a-b>0, ab二 2 且 a2+b2=5,(a-b) 2=a2+b2 - 2ab=5 - 4=1,则 a - b=l,故答案为：1【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平

21、方公式是解本题的关键.15. (2016 春南京校级期末)已知(a+b) 2=8, (a - b) 2=5,则 a2+b2= 6.5,ab= 0.75.【分析】已知两式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值.【解答】解：t (a+b) 2=a2+2ab+b2=8，(a b) 2=a2 - 2ab+b2=5，+得：2 (a2+b2) =13,-得：4ab=3,解得：a2+b2=6.5, ab二0.75,故答案为：6.5； 0.75【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.16. (2016 秋海安县期末)若 a+b二3, ab=l,则 a2+3ab+b2=10

22、【分析】根据a2+3ab+b2= (a+b) 2+ab,代入计算即可.【解答】解:ta+b=3, ab=2,/. a2+3ab+b2= (a+b) 2+ab=9+l=10.故答案为：10.【点评】木题考查对完全平方公式的变形应用能力，要熟记有关完全平方的几个 变形公式.17. (2016 春丹阳市期末)己知 a2+ab+b2=7, a2 - ab+b2=9,则(a+b) 2=_6_.【分析】已知两等式相加减求出a24-b2与ab的值，原式利用完全平方公式化简, 将各自的值代入计算即可求出值.【解答】解：尹+3匕+二7，a ab+b2=9，+得:2 (a2+b2) =16,即 a2+b2=8,

23、-得：2ab= - 2,即 ab= - 1,则原式=a2+b2+2ab=8 - 2=6,故答案为：6【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.18(2010秋丹徒区期末)如图，边长为(m+2)的正方形纸片剪出一个边长为 m的正方形之后，剩余部分乂剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为2,则另一边长是_ 2m+2(用含m的代数式表示)【分析】由于边长为(m+2)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形z后，剩 余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，那么根据正方形的面积公式，可以 求出剩余部分的面积，而矩形一边长为2,利用矩形的面积公式即可求出另一边 长.【解

24、答】解：依题意得剩余部分为(m+2) 2 - m2=m2+4m+4 - m2=4m+4,而拼成的矩形一边长为2,：另一边长是(4m+4) 4-2=2m+2故答案为：2m+2.【点评】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟悉除法法则.三. 解答题(共7小题)19. (2016合肥模拟)计算：x (x+1) - (x- 1) j【分析】根据完全平方公式，即可解答.【解答】解：x (x+1) - (x- 1) 2=x2+x - x2+2x - 1=3x - 1【点评】木题考查了完全平方公式，解决木题的关键是熟记完全平方公式.20. (2016*宜春模拟)计算：2x (x2y)(2x - y)

25、2.【分析】根据完全平方公式，即可解答.【解答】解：原式=2x2 - 4xy - (4x2 - 4xy+y2)=2x2 - 4xy - 4x2+4xy - y2 =-2x2 - y2.【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式.21. (2016春忻城县期中)己知(x+y) j49, (x-y) 2=1,求下列各式的值:(1) x2+y2； (2) xy.【分析】根据完全平方公式把(x+y) $和(x - y) $展开，然后相加即可求出x2+y2 的值，相减即可求出xy的值.【解答】解：由题意知：(x+y) 2=x2+y2+2xy=49，(x - y) 2=x2+y2 -

26、 2xy=l, +得：(x+y) 2+ (x - y) 2,=x2+y2+2xy+x2+y2 - 2xy,=2 (x-y?),=49+1,=50,.x2+y2=25； -得：4xy= (x+y) 2 - (x - y) 2=49 - 1=48,axy=12.【点评】本题考查了完全平方公式，灵活运用完全平方公式，熟记公式是解题的 关键.22. (2015春秦淮区期末)(1)比较与2ab的大小(用">、"<或"二 填空)： 当 a=3, b二2 时，a2+b2> 2ab, 当 a= - 1, b= - 1 时，a2+b2 = 2ab, 当 a二 1,

27、 b二-2 是，a2+b2> 2ab.(2) 猜想a'+b?与2ab有怎样的大小关系？并证明你的结论.【分析】(1)代入a, b的值,分别计算出a2+b 2ab,即可解答； 代入a, b的值，分别计算出孑+b 2ab,即可解答； 代入a, b的值，分别计算出a2+b 2ab,即可解答；(2)将作差，即可比较大小.【解答】解：(1)当 a=3, b二2 吋，a2+b2=13, 2ab=12,aa2+b2>2ab； 当 a= - 1, b= - 1 b'b a2+b2=2, 2ab=2,.a2+b2=2ab； 当 a二 1, b二2 时，a2+b2=5, 2ab二4,r

28、.a2+b2>2ab；故答案为：，二，；(2) va2+b2 2ab= (a b) 20,.a2+b22ab.【点评】本题考查了完全平分公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式.23. (2015秋嘉祥县期末)先阅读下面的内容，再解决问题，例题：若 m2+2mn+2r/ - 6n+9=0,求 m 和 n 的值.解：v m2+2m门+2« - 6n+9=0/. m2+2mn+n2+n2 - 6n+9=0/. (m+n) 2+ (n - 3) 2=0.m+n二0, n -3=0im= - 3, n二3问题(1)若 x2+2y2 - 2xy+4y+4=0,求 x* 的值.(2)已知 a

29、, b, c 是aabc 的三边长，满足 a2+b2=10a+8b - 41,且 c 是aabc 中最长的边，求c的取值范围.【分析】(1)先利用完全平方公式整理成平方和的形式，然后根据非负数的性质 列式求出x、y的值，然后代入代数式计算即可；(2)先利用完全平方公式整理成平方和的形式，再利用非负数的性质求出a、b 的值，然后利用三角形的三边关系即可求解.【解答】解：(1) x2+2y2 - 2xy+4y+4=x2 - 2xy+y2+y2+4y+4=(x - y) 2+ (y+2) 2=0, i x - y二0, y+2 二0,解得 x= - 2, y= - 2,z.xv= ( - 2) _2

30、=1；4（2） va2+b2=10a+8b - 41,a a2 - 10a+25+b2 - 8b+16=0,即（a - 5） 2+ （b - 4） 2=0,a - 5=0, b - 4=0,解得 a=5, b=4,.c是aabc中最长的边，5wcv9.【点评】本题考查了完全平方公式以及非负数的性质，利用完全平方公式配方成 平方和的形式是解题的关键.24. （2016春句容市期中）如图1是一个长为2m,宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形.（1）图2中的阴影部分的正方形的边长可表示为（rn-nf或（m+n）2-4mn ；（3）根据（2）题中等量关系,（2）观察并分析图2屮阴影部分面积的不同表示方法，你能写出（m+n）