圆的切线方程

1、本节要求：本节要求： 掌握求圆的切线方程的方法。掌握求圆的切线方程的方法。圆的切线方程的几种基本类型圆的切线方程的几种基本类型:1.过圆上一点的切线方程过圆上一点的切线方程2.过圆外一点的切线方程过圆外一点的切线方程例例 1 已知圆的方程是已知圆的方程是x2+y2=r2,求经过求经过 圆上一点圆上一点M(x0,y0)的切线方程的切线方程. .,.10000yxkxykkkkOMOM ， 解解: :设切线的斜率为设切线的斜率为 则则0),(000 xxyxyyM 的切线方程是的切线方程是经过点经过点 .,20022020ryyxxryxM 所求的切线方程是所求的切线方程是在圆上在圆上, ,所以所

2、以因为点因为点当点当点M在坐标轴上时，在坐标轴上时，可以验证，上面方程可以验证，上面方程同样适用同样适用.),(00yxMyxO练习练习: 写出过圆写出过圆x2+y2=10上一点上一点M(2, ) 的切线的方程的切线的方程. 62x+6y=10 过圆过圆 x2+y2=r2上一点上一点(x0,y0)的切线方程为：的切线方程为：x0 x+y0y=r2小结：小结：221:13( 3,2)xyP例求与圆切于点的切线方程。013231323)2 , 3(yxyxP可直接写出切线方程：在圆上是切点解： 例例 2. 已知圆的方程是已知圆的方程是(x-1)2+y2=9,求过点求过点 (-2,4)的圆的切线方程

3、的圆的切线方程. 解解:圆心圆心(1,0)到点到点(-2,4)的距离为的距离为5大于半径大于半径3点点(-2,4)在已知圆外在已知圆外,过该点的圆的切线有过该点的圆的切线有两条两条设过点设过点(-2,4)的圆的切线方程为的圆的切线方程为y-4=k(x+2) 即即kx-y+2k+4=0 由圆心由圆心(1,0)到该切线的距离等于半径到该切线的距离等于半径,得得 k-0+2k+4K2+1=3解得解得: k=-724724 代入代入得得- x-y-2 +4=0 即即 7x+24y-82=0724分析又圆心到直线又圆心到直线x=-2的距离等于半径的距离等于半径3,所以所以x=-2也是圆的方程也是圆的方程

4、因此因此,所求圆的切线方程为所求圆的切线方程为x=-2, 7x+24y-82=0.yx0(-2,4)注注:过圆外一点的切线有两条过圆外一点的切线有两条,若求的一个若求的一个k值值,则则过已知点垂直过已知点垂直x轴的直线也是所求的切线轴的直线也是所求的切线.(1,0)43212400024, 2,0 , 02kkkkkykxr圆心的切线方程。所引向圆求过点例4)4 , 2(:322 yxA)2(4:xky程为解：设所求圆的切线方2010432xyxx或故切线方程为：但斜率不存在时，yxo),(A42小结：要求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这点小结：要求过一定点的圆的切线方程，首先必须判断这

5、点是是否在圆上。否在圆上。若在圆上，则该点为切点；直接用公式。若在圆上，则该点为切点；直接用公式。若在圆外，一般用若在圆外，一般用“圆心到切线的距离等于半径长圆心到切线的距离等于半径长”来解来解题较为简单题较为简单. .需考虑需考虑k 不存在的情况不存在的情况练习练习:1 求过点求过点A(2,3)且与圆且与圆(x-1)2+(y- 1)2=1相切的切线方程相切的切线方程.3x-4y+6=0 x=22 设圆的方程为设圆的方程为x2+(y-1)2=1,求该圆的求该圆的斜率为斜率为1的切的切线方程线方程. x-y+1 =023. 自点自点A(-3，3)发射的光线发射的光线l 射到射到x轴上，被轴上，被

6、x轴反射，轴反射， 其反射光线所在的直线与圆其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求光线求光线l 所在直线的方程所在直线的方程.练习练习3: 自点自点A(-3，3)发射的光线发射的光线l 射到射到x轴上，被轴上，被x轴反射，轴反射， 其反射光线所在的直线与圆其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求光线求光线l 所在直线的方程所在直线的方程. B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) 答案：答案： l : 4x+3y+3=0或或3x+4y-3=0备用：备用： 当当k为何值时，直线为何值时，直线y=kx与圆与圆(x-1)2+(y-2)2=1相交，相切，相离？相交，相切，相离？ 解：解： 法一：代数法：方程组有无实数解。法一：代数法：方程组有无实数解。法二：圆心为（法二：圆心为（1，2），到直线），到直线y=kx即即 kx-y=0的距离为的距离为d=k-2k2+134 当当d1 即即 k 时，直线与圆时，直线与圆相交相交。34当当d=1 即即 k=时，直线与圆时，直线与圆相切相切。34当当d1 即即 k 时，直线与圆时，直线与圆相离相离。练习：已知圆过点练习：已知