2021年最全初三数学二次函数知识点归纳总结

1、二次函数知识点归纳及有关典型题二次函数知识点归纳及有关典型题第一某些第一某些 基本知识基本知识1.定义：普通地，如果y ax bx c(a,b,c是常数，a 0)，那么y叫做x二次函数.22.二次函数y ax性质2（1）抛物线y ax顶点是坐标原点，对称轴是y轴.2（2）函数y ax图像与a符号关系.2当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点；当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点.2（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴抛物线解析式形式为y ax（a 0）.3.二次函数y ax bx c图像是对称轴平行于（涉及重叠）y轴抛物线.24.二次函数y ax bx c用配办法可化成：y ax h22b4a

2、c b2 k形式，其中h ，k .2a4a22225.二次函数由特殊到普通， 可分为如下几种形式： y ax；y ax k；y ax h；y ax h k；y ax bx c.26.抛物线三要素：开口方向、对称轴、顶点.a符号决定抛物线开口方向：当a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下；a相等，抛物线开口大小、形状相似.平行于y轴（或重叠）直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.7.顶点决定抛物线位置.几种不同二次函数，如果二次项系数a相似，那么抛物线开口方向、开口大小完全相似，只是顶点位置不同.8.求抛物线顶点、对称轴办法2b4ac b2bb 4ac b22（，）（1）公式法：y ax

3、 bx c ax ，顶点是，对称轴是直线x . 2a4a2a2a4a（2）配办法：运用配方办法，将抛物线解析式化为y ax h k形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线x h.2（3）运用抛物线对称性：由于抛物线是以对称轴为轴轴对称图形，因此对称轴连线垂直平分线是抛物线对称轴，对称轴与抛物线交点是顶点.用配办法求得顶点，再用公式法或对称性进行验证，才干做到万无一失.9.抛物线y ax bx c中，a,b,c作用2（1）a决定开口方向及开口大小，这与y ax中a完全同样.2（2）b和a共同决定抛物线对称轴位置.由于抛物线y ax bx c对称轴是直线2x bbb，故：b 0时，对称轴为y轴；

4、0（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； 0（即a、2aaab异号）时，对称轴在y轴右侧.（3）c大小决定抛物线y ax bx c与y轴交点位置.2当x 0时，y c，抛物线y ax bx c与y轴有且只有一种交点（0，c） ：2c 0，抛物线通过原点；c 0,与y轴交于正半轴；c 0,与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线对称轴在y轴右侧，则b 0.a10.几种特殊二次函数图像特性如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标y ax2y ax k2x 0（y轴）x 0（y轴）（0,0）(0，k)y ax h22x h当a 0时(h,0)y ax h k开口向上x hb2

5、a(h,k)y ax2bx c当a 0时开口向下11.用待定系数法求二次函数解析式x b4ac b2，()2a4a（1）普通式：y ax bx c.已知图像上三点或三对x、y值，普通选取普通式.（2）顶点式：y ax h k.已知图像顶点或对称轴，普通选取顶点式.22（3）交点式：已知图像与x轴交点坐标x1、x2，普通选用交点式：y ax x1x x2.12.直线与抛物线交点（1）y轴与抛物线y ax bx c得交点为(0，c).22（2）与y轴平行直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一种交点(h,ahbhc).2（3）抛物线与x轴交点2x2，二次函数y ax bx c图像与x轴两个交

6、点横坐标x1、是相应一元二次方程ax bx c 0两个实数根.2抛物线与x轴交点状况可以由相应一元二次方程根鉴别式鉴定：有两个交点 0抛物线与x轴相交；有一种交点（顶点在x轴上） 0抛物线与x轴相切；没有交点 0抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴直线与抛物线交点同（3）同样也许有0 个交点、1 个交点、2 个交点.当有 2 个交点时，两交点纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax bx c k两个实数根.2（5）一次函数y kx nk 0图像l与二次函数y ax bx ca 0图像g交点，由方程组2y kxny ax2bxc解数目来拟定：方程组有两组不同解时l与g有两个交点；方程组只有一组解时

7、l与g只有一种交点；方程组无解时l与g没有交点.0，bx2， 0，由于x1、x2是方（6）抛物线与x轴两交点之间距离：若抛物线y ax bx c与x轴两交点为ax1，2程ax bx c 0两个根，故2bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x224cb24acb4x1x2 aaaa2第二某些第二某些 典型习题典型习题.抛物线 yx 2x2 顶点坐标是（ d）2a.（2，2） b.（1，2） c.（1，3） d.（1，3）.已知二次函数y ax2 bx c图象如图所示，则下列结论对的是（ c）ab0，c0ab0，c0ab0，c0ab0，c0第,题图第 4 题图.二次函数

8、yax bxc图象如图所示，则下列结论对的是（）2aa0，b0，c0 ba0，b0，c0ca0，b0，c0 da0，b0，c0.如图，已知中，bc=8，bc 上高，d 为 bc 上一点，交 ab 于点 e，交 ac 于点 f（ef 但是 a、b） ，设 e 到 bc 距离为，则面积关于函数图象大体为（）ef4 x ef 82x,y x24x84.抛物线y x 2x3与 x 轴分别交于 a、b 两点，则 ab 长为 421)x1与 x 轴交点横坐标为x1、x2（x1x2）6.已知二次函数ykx (2k，则对于下列结论：当x2 时，y1；1)x10有两个不 相等 实数 根x1、x2；x11，x21

9、；当xx2时，y0； 方程kx (2k2214k2x2x1，其中所有对的结论是（只需填写序号） k7.已知直线y 2x bb 0与 x 轴交于点 a，与 y 轴交于点 b；一抛物线解析式为y x b 10 x c.2（1）若该抛物线过点 b，且它顶点 p 在直线y 2x b上，试拟定这条抛物线解析式；（2）过点 b 作直线 bcab 交 x 轴交于点 c，若抛物线对称轴正好过c 点，试拟定直线y 2x b解析式.解： （1）y x 10或y x 4x 622b10b216b100b10b216b100,)，b 将得c b.顶点坐标为(由题意得2，（0，b)代入，2424解得b1 10,b2 6

10、.（2）y 2x 28.有一种运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y，且y是 x 二次函数，已知输入值为2,0,1时，相应输出值分别为5,3,4（1）求此二次函数解析式；（2）在所给坐标系中画出这个二次函数图象,并依照图象写出当输出值y为正数时输入值x取值范畴.解： （1）设所求二次函数解析式为y ax2 bx c,a(2)2 b(2) c 5c 3a 1则a02 b0 c 3,即2a b 4 ,解得b 2a b c 4c 3a b 1故所求解析式为:y x2 2x 3.（2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y为正数时，输入值x取值范畴是x 1或x 39.某生物兴趣小组在四天实验研究中

11、发现：骆驼体温会随外部环境温度变化而变化，并且在这四天中每昼夜体温变化状况相似她们将一头骆驼前两昼夜体温变图象回答：化状况绘制成下图请依照第一天中，在什么时间范畴内这头骆驼上升到最高需要多少时间?第 9 题体温是上升 ?它体温从最低第三天 12 时这头骆驼体温是多少?兴趣小组又在研究中发现，图中10 时到 22 时曲线是抛物线，求该抛物线解析式解：第一天中，从 4 时到 16 时这头骆驼体温是上升它体温从最低上升到最高需要12 小时第三天 12 时这头骆驼体温是 39y 12x 2x 2410 x 2216210.已知抛物线y ax (3a)x4与 x 轴交于 a、43 b 两点，与 y 轴交

12、于点 c与否存在实数 a，使得abc 为直角三角形若存在，祈求出a 值；若不存在，请阐明理由解：依题意，得点 c 坐标为（0，4） 设点 a、b 坐标分别为（x1，0） ， （x2，0） ，2由ax (3a)x4 0，解得x1 3，x2 4343a点 a、b 坐标分别为（-3，0） ， （4，0） 3aab |43|，ac ao2oc25，3a42| 423abc bo2oc2| ab |241641683|22239 29，3a9a3a9aa2ac 25，bc 216169a22当ab ac bc时，acb9022由ab ac bc，222得168169 25(16)229aa9a14解得a

13、 当a 162540016222时，点 b 坐标为（，0） ，ab ，ac 25，bc 499322于是ab ac bc2当a 1时，abc 为直角三角形422当ac ab bc时，abc902222由ac ab bc，得25 (168169)(16)22a9a9a解得a 49当a 444时， 3，点 b（-3，0）与点 a 重叠，不合题意93a349222当bc ac ab时，bac90222由bc ac ab，得1616816 25 (9)9a29a2a解得a 4不合题意9综合 、 、 ，当a 1时，abc 为直角三角形411.已知抛物线 yx2mxm2.（1）若抛物线与 x 轴两个交点

14、a、b 分别在原点两侧，并且ab5，试求 m 值；（2）设 c 为抛物线与 y 轴交点，若抛物线上存在关于原点对称两点m、n，并且 mnc 面积等于 27，试求 m 值.解：(1)（x1，0）,b(x2，0) .则 x1，x2是方程 x2mxm20 两根.x1 x2m ，x1x2=m2 0 即 m2 ;2又 abx1 x2（x1+x2）4x1x25，m24m3=0 .解得：m=1 或 m=3(舍去)，m 值为 1 .yc c（2）m(a，b)，则 n(a，b) .mmo2a mam2 b,2a mam2 b.m、n 是抛物线上两点,xn n得：2a22m40 . a2m2 .当 m2 时，才存

15、在满足条件中两点m、n.a 2m .这时 m、n 到 y 轴距离均为2m，又点 c 坐标为（0，2m）,而 sm n c= 27 ,21（2m）2m=27 .2解得 m=7 .12.已知：抛物线yax 4axt与 x 轴一种交点为 a（1，0） 2（1）求抛物线与 x 轴另一种交点 b 坐标；（2）d 是抛物线与 y 轴交点，c 是抛物线上一点，且以 ab 为一底梯解析式；形 abcd 面积为 9， 求此抛物线（3）e 是第二象限内到 x 轴、y 轴距离比为 52 点，如果点 e 在（2）中抛物线上，且它与点 a 在此抛物线对称轴同侧，问：在抛物线对称轴上与否存在点p，使ape 周长最小?若存

16、在，求出点 p 坐标；若不存在，请阐明理由解法一：（1）依题意，抛物线对称轴为x2抛物线与 x 轴一种交点为 a（1，0） ，由抛物线对称性，可得抛物线与x 轴另一种交点 b 坐标为（3，0） （2）抛物线yax 4axt与 x 轴一种交点为 a（1， 0） ，21)t0 t3ayax24ax3aa(1) 4a( d（0，3a） 梯形 abcd 中，abcd，且点 c 在抛物线yax 4ax3a上，22 c（4，3a） ab2，cd4梯形 abcd 面积为 9，11(abcd)od9(24)3a922 a12所求抛物线解析式为yx 4x3或y x 4ax 32（3）设点 e 坐标为（x0，y0

17、）.依题意，x00，y00，且55y0 x02x022y0设点 e 在抛物线yx 4x3上，y0 x04x03215x ，x06，0y0 x0,2解方程组得25y 15；0y y x24x 300004点 e 与点 a 在对称轴 x2 同侧，点 e 坐标为（15，） 24设在抛物线对称轴 x2 上存在一点 p，使ape 周长最小 ae 长为定值，要使ape 周长最小，只须 pape 最小点 a 关于对称轴 x2 对称点是 b（3，0） ，由几何知识可知，p 是直线 be 与对称轴 x2 交点设过点 e、b 直线解析式为ymxn，15m, 1mn ,224解得n3.3mn0.2直线 be 解析式

18、为y131x把 x2 代入上式，得y222点 p 坐标为（2，1） 222设点 e 在抛物线y x 4x 3上，y0 x0 4x035y x0,302解方程组消去y0，得x0 x03022y x2 4x 3.0000 .此方程无实数根综上，在抛物线对称轴上存在点p（2，1） ，使ape 周长最小2解法二：（1）抛物线yax 4axt与 x 轴一种交点为 a（1，0） ，21)t0 t3ayax24ax3aa(1) 4a(令 y0，即ax 4ax3a0解得x11，x23抛物线与 x 轴另一种交点 b 坐标为（3，0） 22（2）由yax 4ax3a，得 d（0，3a） 2梯形 abcd 中，ab

19、cd，且点 c 在抛物线yax24ax3a上， c（4，3a） ab2，cd4梯形 abcd 面积为 9，1(abcd) od9解得 od323a3 a12所求抛物线解析式为yx 4x3或yx 4x32（3）同解法一得，p 是直线 be 与对称轴 x2 交点如图，过点 e 作 eqx 轴于点 q设对称轴与 x 轴交点为 f由 pfeq， 可得bfpf11pf pf55bqeq224点 p 坐标为（2，1） 2如下同解法一13.已知二次函数图象如图所示（1）求二次函数解析式及抛物线顶点m 坐标（2）若点 n 为线段 bm 上一点，过点 n 作 x 轴垂线，垂足为点 q当点 n 在线段 bm 上运

20、动时（点 n 不与点 b，点 m 重叠） ，设nq 长为 l，四边形nqac 面积为 s，求s 与 t 之间函数关系式及自变量 t 取值范畴；（3）在对称轴右侧抛物线上与否存在点 p，使pac 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件点 p 坐标；若不存在，请阐明理由；（4）将oac 补成矩形，使oac 两个顶点成为矩形一边两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边对边上，试直接写出矩形未知顶点坐标（不需要计算过程） 解： （1）设抛物线解析式y a(x 1)(x 2)， 2 a1(2)a 1y x x 22其顶点 m 坐标是，1294（2）设线段 bm 所在直线解析式为y kxb，点 n 坐标为 n（

21、t，h） ，0 2k b，3 91解得k ，b 32k b. 42线段 bm 所在直线解析式为y 3x32h 3111231t 3，其中 t 2s 12(2t 3)t t2t 122223423211t t 1，自变量 t 取值范畴是 t 24225 72 4 3254 s 与 t 间函数关系式是s （3）存在符合条件点 p，且坐标是p1， ，p2，设点 p 坐标为 p(m，n)，则n m m22pa2 (m1)2 n2，pc2 m2(n 2)2，ac2 5分如下几种状况讨论：i）若pac90，则pc pa ac2n m m 2，2222m (n 2) (m 1) n 5.222解得：m155

22、 7，m2 1（舍去） 点p1， 22 4222ii）若pca90，则pa pc ac2n m m2，2222(m1) n m (n2) 5.解得：m353 3点p2，m4 0（舍去）422iii）由图象观测得，当点p 在对称轴右侧时，pa ac，因此边 ac 对角apc 不也许是直角（4）以点o，点a（或点 o，点c）为矩形两个顶点，第三个顶点落在矩形这边oa（或边 oc）对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点 d（1，2） ，以点 a，点c 为矩形两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边ac 对边上，如图b，此时未知顶点坐标是e， ，1 25 5f， 4585图 a图 b14.已知二次函数yax

23、2图象通过点（1，1） 求这个二次函数解析式，并判断该函数图象与x 轴交点个数2解：依照题意，得 a21. a1 这个二次函数解析式是yx 22由于这个二次函数图象开口向上，顶点坐标是（0，2） ，因此该函数图象与 x 轴有两个交点15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线一某些在大桥截面111000 比例图上，跨度 ab5 cm，拱高 oc0. .9 cm，线段de 表达大桥拱内桥长，deab，如图（1） 在比例图上，以直线ab 为 x 轴，抛物线对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2） （1）求出图（2）上以这一某些抛物线为图象函数解析式，写出函数定义域；（2

24、）如果 de 与 ab 距离 om0. .45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：2 1.4，计算成果精准到1 米） 解： （1）由于顶点 c 在 y 轴上，因此设以这某些抛物线为图象函数解析式为2yax 9105291855，0） （或 b（，0） ）在抛物线上， 因此0a() ，得a22101252182955x ( x )1251022由于点 a（因而所求函数解析式为y（2）由于点 d、e 纵坐标为9918295， 因此x ，得x22020125104因此点 d 坐标为（5995） ，点 e 坐标为（2，2，）442020因此de555 22(2)4425 2110000.01275 2 385（米） 22因而卢浦大桥拱内实际桥长为16.已知在平面直角坐标系内， o 为坐标原点， a、 b 是 x 轴正半轴上两点， 点 a 在点 b 左侧， 如图 二次函数yax bxc（a0）图象通过点 a、b，与 y 轴相交于点 c（1）a、c 符号之间有何关系?（2）如果线段 oc 长度是线段 oa、ob 长度比例中项，试证a、c 互为倒数；（3）在（2）条件下，如果 b4，ab4 3，求 a、c 值解:（1）a、c 同号 或当 a0 时，c0；当 a0 时，c0（2）证明：设点 a 坐标为（x1，0） ，点 b 坐标为（x2，0） ，则0