简单数学建模100例

1、“学乃以致用简单数学建模应用问题100例数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练來加深理解所 学公式。但是在牛活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？理想状态下的公式直接 运用，在生产及生活中的实例是少之又少。为此学生总感到学了数学没有什么实际用处，所 以对学习数学少有兴趣。数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能 力开辟了一条有效的途径，让屮职学生从屮体会到数学是来源于生活并应用于生活的.数学建模是一种思维方式，它是一个动态的过程，通过此过程可以将一个实际的问题, 经过模型准备、模型假设、模型构成、模型解析、模型检验与应用等五个具体步骤，转变为

2、可以用数学方法（公式）来解决的，在理想状态下的数学问题，上述的整个流程统称为数学 建模如果想解决某个实际问题（也许它和数学没有直接的关系），可以按下面流程对问题进行 数学建模。一. 模型准备 先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪 一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建 模做准备.由于人们所掌握的专业知识是有限的，而实际问题往往是多样和复杂的，模型准 备对做好数学建模问题是非常重要的.二. 模型假设 有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必 要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素

3、.以主要矛盾 为主來对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。模型假设不太可能一蹴而就, 可以在模型的不断修改中得到逐步完善.三. 模型构成 在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜 集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）做模型构 成时可以使用各种各样的数学理论和方法，但要注意的是在保证精度的条件下尽量用简单的 数学方法是建模时要遵循的一个原则.四模型解析 在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机 模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其屮有些可以借助于计算机 软件来做这些工作。五.模型检验与应用把模

4、型解析得到的结果与实际情况对比，以检验其合理和有效性, 检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供 决策者参考称为.不难发现，在上述的五个步骤屮，关键的是第三步“模型构成”一一由数字、字母或其 它数学符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。所以说模型构成是数 学建模的核心，它和数学的关系最密切。所得出的数学公式、图形或算法称之为数学模型（即 解决实际问题的数学描述）。通常所说的数学建模实际上就是：寻找有用的数学模型的过程为了避免作业书写中不必要的繁琐，通常用“分析”，“假设”，“模型”，“解析”，“检验” 來表示数学建模的五个不同步骤，虽然

5、每题不一定面面俱到，但假设，模型，解析三个步骤 要求明确第一关:接触数学建模【1】一副扑克牌有54张，从中任取多少张，可以保证一定有5张牌的花色是一样的？分析除去大、小鬼还有52张牌，其中4种花色各13张.运气最好的情况下所収的5张牌都是同一花色的，哪运气不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢？假设假定至少要取n张，才能保证一定有5张牌的花色是一样的.模型逆向地思维解析在运气最不好的情况下，每种花色各4张，再加大、小鬼2张，共取18张是 保证一定没有5张牌的花色一样的最大可能。所以=4x4 + 2 + 1 = 19张就可以保证一定有5张牌的花色是一样的.检验在很多情况下采

6、用逆向地思维，可以使解题思路清晰、便捷.练习题公园里准备对300棵珍稀树木依次从1-300进行编号，问所有的编号屮“1”共会出现的儿次？2 一只猫发现离它10步远的前方有一只老鼠在奔跑，猫便紧追。猫的步子大，它跑5 步的路程，老鼠要跑9步。但是老鼠的动作频率快，猫跑2步的时间，老鼠能跑3步。 请问：按照这种速度，猫能追得上老鼠吗？如果能，它要跑多少步才能追到。假设此题两问可归结为一个问题：假定猫跑兀步就能追上老鼠模型 猫与老鼠z间频率的最小公倍数解析 由频率关系可知，老鼠跑3x3 = 9步吋，猫跑了 2x3 = 6步.根据路程关系知，猫跑6步其中有1步是追上老鼠的路程y可得本题的数学模型为送-

7、10 = 06解得兀二60 （步）检验由此可见，按照现有速度，猫要跑60步才能追得上老鼠.练习题现有玩具模型20个，交给小黄加工，规定加工合格一个可得5元，不合格一个扣2 元，未完成的不得不扣最后小黄共得到56元问小黄在加工玩具模型中不合格的共有几 个？【3】在小傅家门口有一个十字型的交通路口（如图所示），小傅就想了，警察叔叔需要指 挥多少种情况的汽车运行线路？分析此问题需要分是否可以原路调头的情况來讨论.假设 （1）每条线路都有往返双向线（2）设4条路分别为a, b, c, d；（3）以a为起始， 如允许原路调头，则有a a, ac,a d, 如不允许原路调头，则有a 5a c,a2 d,模

8、型分步乘法计数原理解析 第一步：始线路条数；第二步：终线路条数。 如允许原路调头：则n = 4? 4=16 （种可能） 如不允许原路调头，则n= 4? 3=12 （种可能）检验 如果允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有16种不同的行车情况；如果不允许汽车原路调头，那么在此交通路口共有12种不同的行车情况。练习题铁路京广线（北京一广州）共有36个大站，问用电脑上购票时需要有多少种不同的火车 票？4 杭州市车辆管理所的工作人员为汽车牌照的事弄得焦头烂额，现在有个问题要请教一下，数字号码为|浙a 口口 bu5|的汽车牌照共有多少块？分析由条件知，问题为三个j中各可以填入多少种数字或字母假设假定按要

9、求的汽车牌照共有n种可能，且在第，个口中共有® (/= 1,2,3)种字符可以填写.根据汽车牌照的特点，在每个口中可以填入广0共10个阿拉伯数字和a, b, c, d，26个英语字母，即q二36(匸1,2,3)模型分步乘法计数原理.解析 因为各口中填入的字符数符合n二q仓th?故 n 二 36仓肢6 36 二46656检验数字号码为丽i 口口8：5|的汽车牌照共有46656块。不难发现，无论b和5在何位置，所得结论不变.练习题出租车在开始10千米以内收费10.4元，以后每走1千米，收费1.6元，问走20千米需收 多少钱？【5】把20个苹果全部分给小明、小惠、小曼三人，要求每人最少分3

10、个，可以有多少种 不同的分法？假设 模型 解析先取9个苹果，平均每人3个，剩下的11个再按不同情况讨论.排列数公式可以有：(11,0,0),(10,1,0), (9,2,0), (9,1,1),( 8,3,0), (8,2,1), (7,4,0), (7,3,1),(7,2,2),(6,5,0), (6,4,1), (6,3,2),(5,5,1),(5,4,2),(5,3,3),15种不同种类，对每一种类再考虑小明、小惠、小曼的不同次序，用排列 数公式即可求解.对(11,0,0), (9,1,1), (7,2,2), (5, 5, 1), (5, 3,3)五类,各类可以有 3种次序排法，故共有

11、15种分发法.对其余的10类，各类可以有6 (&)种次序排法，故共有60种分发法检验所以按要求可以有75种不同的分法.练习题一个立方体随意翻动，每次翻动朝上一面的颜色与翻动前都不同，那么这个立方体的 颜色至少有几种？【6】有243颗外形一模一样的珠子，其屮有一颗稍重一点。用一架没有祛码的天平，至 少称儿次才能找出这颗珠子来？分析与假设将243颗珠子平均分成3份，每份81颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另1份屮；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1 份屮. 在找出含有稍重珠子的一份中（含81颗），再将其81颗珠子平均分成3 份，每份27颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡

12、则稍重的一颗在另1份中; 若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份屮. 在找出含有稍重珠子的一份中（含27颗），再将其27颗珠子平均分 成3份，每份3颗，任取其2份放置在天平两边，若平衡则稍重的一颗在另 1份中；若不平衡则稍重的一颗在天平下沉的1份中. 在找出含有稍重珠子的一份中（含1颗），再将其3颗珠子平均分成 3份，每份1颗，任取其2颗放置在天平两边，若平衡则另1颗稍重的一颗; 若不平衡则稍重的一颗为天平下沉的1颗.模型“三分法”解析按“分析与假设”所述可知，至少称4次才能找出这颗珠子来.检验此题的关键是珠子的颗数243,可以平均分成3份，每份81颗，而81又可以平均分成3份，每份27颗，而2

13、7又可以平均分成3份，每份3颗，而3可以 平均分成3份，每份1颗，最后找出异样的珠子.练习题小敏把100只彩色小灯泡串联起彩灯，用来布置教室，可是其中有只小灯泡坏了，这可 急坏了小敏°你能用最速捷的方法很快地找出了那只损坏的小灯泡吗?7水杲店进了 i筐苹杲，每筐10个，共100个，每筐里的苹果重 量都一样，其中有九筐每个苹果的 重量都是1斤，另一筐中每个苹果 的重量都是0.9斤，但是外表完全 一样，用眼看或用手摸无法分辨。现在要你用台普通的大秤-次把 这筐重量轻的找出来。你可以办到么？分析与假设普通的大秤上是有刻度，对以称得具体重量.从这点考虑不妨将十筐苹果进行标号 &= 1

14、,2,3,4,5,6,7, & 9,10)并取与标号对应的苹果数一一1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, & 9, 10,共计55个，再用所给的 大秤称得这55个苹果的总重量若此55个苹果重量均为1斤（理想状态），则总重量应为55斤，由题目条 件知其屮某一框苹果重暈均为0. 9斤，假定为第j框时，那么所取苹杲数为j 个，大秤称得总重量就要比55斤少j两.模型等差数列的求和解析利用框数与所収苹果数的対应关系，考虑大桦称得总重量与理想状态55个苹果的总重量之间的差按“分析与假设”所述可解得.若大木平称得总重暈为54斤3两，比55斤差7两，即得框号为舛的这框苹杲重量为0. 9斤.

15、练习题某单位某月112日安排甲、乙、丙三人值夜班，每人值班4天.要求三个人各自值班日 期数字z和相等。已知甲头两天值夜班，乙9、10日值夜班，问丙在自己第一天与最后一天 值夜班之间，最多有儿天不用值夜班？【8】甲、乙两人去沙漠屮探险，他们每天向沙漠深处走20千米，c知每人最多可带一个人 4天的食物和水。如果允许将部分食物存放于途屮，其屮1人最远可深入沙漠多少千米？（要 求最后两人返回出发点）分析与假设要使其中一位探险者尽可能走得远，另一位须先回，留下食物和水给另一位，所以必须分头行动.问题是在何处留下食物和水？ 经过商议让甲走得更远（最远走4x40 = 80千米，但回程就没有食物和水了）, 需

16、要乙在适当的地点留小足够的食物和水. 第1天乙在10千米处留下1份食物和水，到20千米处吃1份留下1份，第2 天走到30千米处留下1份食物和水后马上往冋返，到20千米处再吃1份，第3 天走20千米回出发点. 第1天甲20千米处吃1份，第2天走到40千米处吃1份，第3天走到60千 米处吃1份，第4天走到65千米处然后往冋返，到50千米处吃1份（到此为止 甲自带的食物和水已吃完），第5天走到30千米处吃1份（此处食物和水是乙留 下的），第6天走到10千米处吃1份，然后回出发点模型错位推进法解析 所谓“错位推进法”对于本题来说，关键点为“乙在30千米和10千米处给甲留 下食物和水”，根据分析与假设推

17、知结论一一其中的1位沙漠探险家最多可深入沙 漠65千米.检验 从“第6天走到10 t米处吃1份，然后回出发点”，感觉似乎还有10千米可以 走，但己经回岀发点了.考虑一下甲是否还可以再往前推进5千米呢？练习题在一排10个花盆中种植3种不同的花卉，要求每3个相邻的花盆中所种的花的品种各 不相同，问共可有多少种不同的种植方法？9家里有两个容积分别为5升和6升的空水壶.问大明怎样用这两个水壶得到3升的水. 分析 从5升的满水壶倒出2升即可得到3升的水，问题是如何使6升的水壶空出2 升的空间（即得到4升水），问题是如何使5升的水壶空出1升的空间（即得到 4升水），问题是如何使6升的水壶空出1升的空间（即

18、得到5升水），此问题 不难解决.假设 由上分析可以如下操作： 将5升的满水壶的水全部倒出6升的空水壶中，在6升的水壶中得到1升 的空间. 用5升水壶取满水，倒满6升水壶小的1升空间，此时的5升水壶空出了 1升的空间. 将5升水壶屮的4升水倒进6升的空水壶，在6升水壶屮的得到2升的空 间. 用5升水壶取满水，倒满6升水壶中的2升空间,. 此时在5升的水壶里剩下的就是3升的水了.模型逆向推理综合法解析 按分析及假设即可将问题解决，得到3升的水.检验逆向推理综合法是一种非常有用的数学思维方法，用途非常广泛.练习题某盐溶液的浓度为20%,加水后溶液的浓度稀释为15%.如果再加同样多的水，问溶液的浓 度

19、为多少？【10】箱子里放着i箱梨，第一个人拿了梨总数的一半又多半只，第二个人拿了剩下梨的 一半又多半只，第三个人拿了第二次剩下的一半又多半只，第四个人3拿了第三次剩下的一 半又多半只，笫五个人拿了第卩q次剩下的一半又多半只。这时箱子里的梨正好拿完，而且每 人手里的梨都没有半只的，请问箱子里原来有多少只梨？假设假定箱子里原来有x只梨，则有条件x 1 r 4-1 第一个人拿梨数：込;2 2 2r 4-111 r 4-1 第二个人拿梨数：（x 空）丄+丄二空22 24x -4- 1 x + 111片+1 第三个人拿梨数：（兀一=一出）丄+丄=丄±1242 28/ .亠工/兀+1 兀+1 兀

20、+1、1 1 兀+1 第四个人拿梨数：（无）一 + = 2482 216c沁十人 i 4如叫 /x+1x+lx+lx+1、11x+1 第五个人拿梨数：（x）- + - =24816 2232模型解一元一次方程解析解方程（丄+丄+丄+丄+丄）（兀+ 1）=兀二兀=312 4 816 32检验 按题意验证当箱子里原來有31只梨时，题目条件符合.练习题去年某种货物的进价为15元/公斤，今年该货物的进口量增加了一半，进口价增加了20%,问今年该货物的进口价是多少?第二关：初识数学建模【11】暑假里，班里共30名学生，其中有姓赵、姓钱、姓孙、姓李、姓周各6位，为了进行社会调查，需要分成15个小组，现要使

21、每个小组的姓都不同，该如何分呢？分析 题目没有问共有多少种分法，而是问如何分，也就是说只要找出方法即可，如何 描述把事情说清楚是关键.假设 以姓氏赵、钱、孙、李、周分成5组，每组6人，用对应的字符a，, g 4，et (i = 1,2,3,4,5,6)表示.用一个大圆作为辅助工具，将其6等分，把a,。= 1,2,3,4,5,6)依次放在圆上的6个等弧上，再将bj(i = 1,2,3,4,5,6)依次放在圆上的6个等弧上，对g，dr 作同样的操作此时大圆上己有30个字符(次序以a, b, ct ,dj, ej(i = 1,2,3,4,5,6)排列). 从圆上任一字符开始，依次两个一组，两个一组，

22、所得15个小组中每个小组的 姓都不同.模型 “等分圆特征的利用”.解析根据分析、假设的讨论即得问题的解答.检验 巧妙利用几何图形，借助其几何特征，使问题的讨论更有条理，这也是一种数学 模型.练习题100人参加7项活动，要求每人只能参加1项活动，而且每项活动参加的人数都不能相同，问参加人数第四多的活动最多有多少人?【12 2001个学生排成一排，从左向右1至2报数，与从右向左1至5报数，其中两种报 数时都是偶数的共有多少人分析 根据题目中条件的周期性，可采用通过局部（10个）结论推广到全体的方法. 假设不妨取最右端的局部：2 1 2 12 12 12 11992,1993,1994,1995,1

23、996,1997,1998,1999,2000,2001-1234512345不难得出，在最右的10个数字屮满足条件的只有2个.模型 数型结合法解析2x2罟1 = 400 （人）检验两种报数时多是偶数的共有400人.练习题某市将在今年12月举办一个全国招商引资交 流会议，目前确定参加的人数已经达到4300人。 在安排会场的时候，负责人打算租用一个设置50 排座位的大剧院，第一排有48个座位，往后每排 都比前一排多2人。估算一下这个大剧院是否可 用？【13】小新开着一艘帆船在河里航行，一阵狂风吹来，把小新的草帽吹落水屮，6分钟后小新才发现草帽被风吹走了，于是开船返冋去追，试问小新需要儿分钟方可追

24、上落水的草帽.分析此题按帆船逆水与顺水两种情况讨论假设 设船速为x米/分，水速为y米/分 当船顺水行驶时，船6分钟共向前行驶路程为6(x+y),草帽向前漂的路程为6y,两者相距6兀. 当船逆水行驶时，船6分钟共向前行驶路程为6(x-y),草帽向后漂的路程为6y,两者相距6(兀一y) + 6y = 6兀.模型船要追上草帽所需吋间二船帽距离/船行速度解析 船要追上草帽所需时间=6x/x=6 (分钟)检验由上述推论对知，船往回返到追上草帽所需时间同等于草帽落水到发现草帽落 水所化时间，此结论对判断能否打捞草帽十分有用.练习题14 两根同样长的蜡烛，点完粗蜡烛要3欠寸，点完细蜡腰1师时点燃两根蜡烛，一

25、段时间后同时熄灭，发现粗蜡烛的长度是细蜡烛的3倍。问两根蜡烛燃烧了多长时间？分析及假设 设两根蜡烛额长度为/厘米，粗、细蜡烛的燃烧速度分别为x、y （厘米/小时）.则有 >? = / = 3x ；点綁根蜡烛一段时间后同时熄灭，粗、细蜡烛的长度分别为/?、r,则r = 3r 模型代数方法，等量关系叠代/ r / 3厂解析根据条件有：-=（燃烧吋间相同）y %化简为/ = 4厂，即细蜡烛燃烧后的长度是原来长度的丄（也即燃烧了°）44所以燃烧的时间为= 3 （小时）y /4检验为了明确各量之间的相互关系，在必要的地方可以加注.练习题将自然数1100分别写在完全相同的100张卡片上，然

26、后打乱卡片，先后随机取出4张，问这4 张先后取出的卡片上的数字呈增序的儿率是多少？15 一个十位数字为0的三位数，恰好是各数字之和的34倍.现交换个位于百位数字后得 到一个新的三位数，求新数是各数字和的几倍？ 假设 三位数可记为aqb .其值为100a + ；则新三位数可记为boa .其值为100b +。模型代数方法解析 由条件 100q + b = 34(d + 0 + b)=> 2a = h( . iqqb + a201c/ s所以=二=67d + 0 + 方3a即新数是各数字和的67倍.练习题卜列图形均是由正方形与岡形所构成的图形中阴影部分的面枳最大的是(a最大 bb最大cc最大d

27、.都一样大16 果农要用绳子捆扎甘蔗，有三种规格的绳子可供选择：长绳子1米，每根可捆扎7 根廿蔗；中绳子0.6米，每根可捆扎5根廿蔗；短绳子0.3米，每根可捆扎3根廿蔗.现在 有甘蔗46根，问果农共有多少种绳子的取法？其中最节约的是哪一种？分析先求三种绳子各需多少根，根据长、中、短绳子的价值(长度于所捆甘蔗的根数z比)，不难发现，用短绳子比较合算.假设设所需三种绳子的根数以次为(兀、y、z)模型求不定方程的自然数解解析有条件可得方程7兀+ 5y + 3z = 46 n x ="一斗一匕,要使兀有自然数解需分子46 5y 3z是7的倍数，按0, 7, 14,21,2& 35, 42讨论可得：