浅谈“平面直角坐标系”在解题中的应用

1、浅谈“平面直角坐标系”在解题中的应用杨斌文平面直角坐标系是贯穿初等数学的主干线，是解决几何问题的必需工具。我 们知道：通过平面直角坐标系，平面上的点与坐标(有序实数对)，曲线与方程 建立了联系，从而实现了数与形的结合。在有的数学试题中，从表面上与平面直 角坐标系毫无关系，但我们通过建立直角坐标系，使问题儿何化，从而能轻易解 决问题。因此，巧用“平面直角坐标系”解题，实现了我们对复杂问题的简单化。 下面从几类不同问题，谈谈平面直角坐标系的妙用。一、巧用平面直角坐标系判断位置关系 例1、已知的三边°、b、c,满足b2 +c2=5a2 9 be、cf分别为边ac、ab上的中线，试判断be与

2、cf的位置。解析：如图，以aabc的顶点a为原点，边所在直线为x轴，建立平面直角坐 标系，由已知可得：4(0,0),b(c,0),f(-,0)2设点c的坐标为(x,y),得点e与冷)+c2 =5cr f 可得：| acf+|4b|2 = 5|bcf即：x2 + y2 +c2 = 5(x -c)2 + y2 整理得：2x2 +2y2 +2c2 -5cx = 0因为 be = (-c) , cf = (-x-y)2 2 2w be-cf = (-c)(-%)- = 一一(2 兀 $ +2)2 +2°2 -5cx) = 02224故be与cf互相垂直评注：本题通过建立平面直角坐标系，使看似

3、无法下手的问题，结合平面向量的 数量积，能清晰、简单的完成，充分体现了坐标法思想的应用。同时，本题如何 更好的建立肓角坐标系也是解题的关键，所以能恰当、准确建系也很重要。二、巧用平面直角坐标系求解几何问题例2、如图四边形abcd +, df丄ab ,垂足为f, df = 3 , af = 2fb = 2,延长fb到e ,使be = fb,连结bd、ec,若bdiiec,则四边形abcd的面积为()a、4b、5c、6d、7解析：如图，因为df丄则以f为坐标原点，a3所在的育线为兀轴，df所5 ec，所以点c到林的距盼壮旦书 s abcd = s mbd + sbcd故选答案c 评注：此题本可用儿

4、何方法解答，从题中可知要确定四边形佔cd的面积，关键 是求的面积，而求abcd的高是难点。因此采用平面直角坐标系，通过建 系把abcd的高转化成平行线之间的距离来求解，思路清晰、明确，能建系的关 键在于df丄ab o三、巧用平面直角坐标系求解向量中的最值问题 例3、如图四边形oabc是边长为i的正方形，0d = 3,点p为bcd内（含边界）>>>的动点，设op = aoc+pod （a,0wr）,则q + 0的最大值等于（）141a、一b、一c、一d.1433解析：如图，建立平面直角坐标系，以0为原点，0d所在直线为兀轴，0c所在直线为y轴，则可知：c(o,1)d(3,0)

5、设 p(_r,y) 则有:(兀，刃=a(o,l) + 0(3,0) = (30, a)贝！j：兀= 30, y = a 二 0 =兰，根据简单线性规划可知：当点p在点b处，z唤故选答案b评注：本题通过建立平面直角坐标系，应用向量的坐标法，将平面向量基本定理转化为简单的线性规划问题来处理，将转化为直角坐标系中的无,y来解决。四、巧用平面直角坐标系求概率例4、假如你家定了牛奶，送奶人每天在早上5:30-6:30之间把牛奶送到你家, 你离开家去学校的时间在早上6:00-7:00z间，则你离开家前能得到牛奶的概率是oy-x解析：设送奶人到你家的时间为兀,则5:30<x<6:30,你离开家的

6、吋间为y,/贝 ij6:00<y<7:00o6：00 :/:/:若你离开家前得到牛奶，则:i则如图建立平面直角坐标系，由几何概型可知：05:3：0 6:006:30 f 1117p=xx=2 2 2 8 故得到牛奶的概率为二 o 评注：本题是几何概型问题，但通过建立平面直角坐标系，能轻易分析问题，把 一道无从下手的概率问题几何化。同时，在几何概型中的约会问题也通常可采用 建系分析法，使解题达到最佳途径。五、巧用平面直角坐标系求解探究类问题>>>例5、如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若ad “ ab+ y ac (x, ye /?),贝!j x =， y =解析：设斜边bc = de = 2 如图建立直角坐标系可知：t>>由 ad = xab+yac,可得:("+=皿,0) + 刃0,阿=(亦,y2y)+ 12db(血,0), c(0?v2) , d(v2 +评注：此题是2009年湖南省高考试题，通过建立平面直角坐标系，根据平面向 量基本定理很容易求解出九y的值。同时本题也可以通过解三角形得出的值, 但相对上述方法来说，根据平面直角坐标系利用坐标法求解显得更方便，更快捷, 将复杂问题简单化