教本探源求二项展开式的某项或某项的系数

1、教本探源求二项展开式的某项或某项的系数谈组合推导法的应用湖南攸县第一中学洪开科关键词：组合推导法，通项公式，二项式定理，二项展开式，某项或某项的系数，某 项的二项式系数，选収性，有序性求二项展开式的某项或某项的系数是高考数学的一个基本知识点，每年的高考题都有 一定的题目岀现，人们往往利用二项式定理的通项公式去解决，却忽视了推导二项式定理 的原理，组合计数推导法，这是伟大的物理学家数学家牛顿在1665年推导二项式定理方 法，我命名为“组合推导法”，多项式的乘法本质是其结果由每个括号中収一项相乘的所 有单项式合并同类项得到的。教材中二项式定理的推导就是将（d+历看成川个a+b相乘， 从每个括号屮取

2、一项（非。即/,）相乘的所有单项式合并同类项得到的，按取b的个数分 为卄1类，不取b的是gv；取1个的是c“d'b,取厂个b的是 wv, 取几个“的是c,/v,这就是组合推导法。理解了这个方法二项式定理就可信手拈来了， 也可按取d的个数分为n+1类写出来。应用组合推导法求二项展开式的某项或某项的系数 要注意三点：第一是选取性，二项式的两项怎样选取（各取儿个）才能构成所求的项。第二是有序性，（a+b）"的展开式第广+1项是取厂个b （同吋取心个a）,这里的a、b 不能互换。第三是项、项的系数与二项式系数的区别，某项要把这一项全部写出来，某项的系数 只写这一项的系数不要带字母（即

3、把每个字母当作数1）,某项的二项式系数就是相应的组 合数c/o一、直接求二项展开式的某项或某项的系数.1. （2014年高考湖南e）（|x-2y）5的展开式中冷3的系数是（）a. 一20b. 一5c. 5d. 20解析：g兀要取2个，故兀2/的系数为c；（*）2（_2）3=20,故选a.解析：依题的展开式的系数是2. （2014年高考全国大纲卷）.（用数字作答）要取4个，故o2系数是c84（-l）4=70.3. （2010年高考四川卷）（2-亠）6的展开式中的第四项是解析：依题-扌要取3个，故第四项是n=c：23(-*)3=-晋4. (2014年高考四川卷)在x(l+x)6的展开式中，含疋的项

4、系数为().a. 30b. 20c. 15d. 10解析：依题(1+卅中a要取2个，故/的系数为c62=15,故选c.5. (2014年高考全国卷1 )(x-y)u+y)8的展开式中的系数是.解析：原式可化为x(x+y)8-ycv+y)8,依题两部分的(x+y)8中兀分别要取1个和取2个, 故7的系数是cjc=20.6. (2010年高考辽宁卷)(l + x + x2)(x-)6的展开式中的常数项为.解析：原式可化为(兀一丄)6 +兀(兀一丄)6+x2(x 一丄几 依题三部分(x-)6中的兀分 xxxx别要取3个、不能取任何值、取2个，故常数项是c63(-l)3 + c62(-l)4=-5.7

5、. (2008年高考浙江卷)(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含的项的系数是()a. -15 b. 85c. -120d. 274解析:依题5个括号内x要取4个剩下一个収常数，故j的项的系数是亠2345二15, 故选a.8. (2008年高考四川卷)(1+2x)3(1-x)4展开式屮/的系数为.解析：依题可分三类：2x不取讥取2个，"取1个讥取1个，2x取2个讥不取，故 x2 的系数是 c3°c42(-1)2+ c31x2c4，(-1)+c32x22c4() =-6.例9.求(x2+3x-4)4的展开式中x的系数.解法一(化成两个二项式的积)：因

6、为(x2+3x-4)4=f(x+4)(x-1 )4=(x+4)4(x- 1 )4,依题可分二 类：(兀+4)4与gif中的兀分别取1个、不取，和x分别不取，取1个，所以x的系数是 c41x43x(-1)4+44xc41x(-1)3 =-768.解法二(直接应用组合推导法)：(<+3用4)4看成4个(?+3x-4)相乘，依题兀$不収，3a取 1个，剩下的4取3个，所以x的系数是c41x3x(-4)3=-768.例10.已知(仮-的第五项的二项式系数与第三项的二项式系数z比是14:3, 求展开式中的常数项与二项式系数的最大值。解:依题c：cll4:3,得(介2)(介3)二56,解得心10或&

7、#171;=-5(舍去).从而(肩-勻中的-丄取2个，得到常数项为cio2(-2)2= 180；x对二项式系数的最大值为cm'=252.说明：二项展开式相应的二项式系数具有对称性，先增后减，中间项的二项式系数最大。若是偶数，最大的二项式系数是c?；若刀是奇数，中间项有两项，最大的二项式 兰土丄系数是c厂2。二、已知二项展开式的某项或某项的系数，求相应的常数.11. (2014年高考全国卷2)()10的展开式中异的系数为15,则".解析：依题a要取3个，故系数是c10v=15,解得a=-.812. (2014年高考湖北卷)若二项式(2x + -)7的展开式中丄的系数是84,则实数a=()xxa. 2b. y/4c. 1d.4解析：依题2兀要収2个，故系数是c72x2v=84,解得“1,故选c.13. (2014年高考山东卷)若(ar2 + -)6的展开式中疋的项系数为20,则/+方2的最小值x为.解析：依题祇2要取3个，故系数是c,/戾二20,解得ab=l,由a2+b2>2ab=2,得所求最小值为2.14. (2013年高考新课标全国卷2)己知(1+血)(l+xf的展开式中/的系数为5,则a =()a. 4b. 3c. 2 d. 1解析：原式可化为(lw+(l+x)依题两部分的(1+兀f中x分别要収2个和収1 个，故/的系数为c52+6/c5'=