2022年线性代数期末测试题及其答案

1、1线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题5 分，共 25 分）1. 若022150131x，则_。2若齐次线性方程组000321321321xxxxxxxxx只有零解，则应满足。3已知矩阵nsijccba)(，满足cbac，则a与b分别是阶矩阵。4已知矩阵a为 33 的矩阵，且3| a，则|2|a。5n阶方阵a满足032eaa，则1a。二、选择题（每小题 5 分，共 25 分）6已知二次型3231212322214225xxxxxtxxxxf, 当 t 取何值时，该二次型为正定？（） a.054t b.5454t c.540t d.2154t7已知矩阵baxba,500

2、60321,340430241且，求x的值（） a.3 b.-2 c.5 d.-5 8设 a为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） a. 0a b. 01a c.nar)( d.a的行向量组线性相关 9 过点（ 0，2，4）且与两平面2312zyzx和的交线平行的直线方程为（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - -2 a.14322zyx

3、 b.24322zyx c.14322zyx d.24322zyx 10 已知矩阵1513a, 其特征值为（） a.4,221 b.4,221 c.4,221 d.4,221三、解答题（每小题 10 分，共 50 分）11.设,1000110001100011b2000120031204312c且矩阵满足关系式exbct)(， 求。12. 问a取何值时，下列向量组线性相关？123112211,221122aaa。13. 为何值时，线性方程组223321321321xxxxxxxxx有唯一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。14. 设.77103,1301,3192,014143

4、21求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。15. 证明：若a是n阶方阵，且，iaa，1a证明0ia。其中i为单位矩阵精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - -3线性代数期末考试题答案一、填空题1. 5. 解析 : 采用对角线法则, 由002)5(03)2(51xx有5x. 考查知识点 : 行列式的计算. 难度系数 :

5、2.1. 解析 : 由现行方程组有) 1(22211111111d, 要使该现行方程组只有零解, 则0d, 即1. 考查知识点 : 线性方程组的求解难度系数 : 3.nnss，解析 ; 由题可知nsijcc)(,则设dcbac,可知d的行数与a一致 ,列数与b一致 ,且a与b均为方阵 ,所以a为ss阶矩阵 ,b为nn阶矩阵 . 考查知识点 :n 阶矩阵的性质难度系数 : 4. 24 解析 : 由题可知 ,a为 3 阶矩阵且3a, 则24223aa. 考查知识点 : 矩阵的运算难度系数 : 5.ea3解析 : 由032eaa有eeaa)3(, 此时eaa31. 考查知识点 : 求解矩阵的逆矩阵难

6、度系数 : 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - -4二、选择题6. a 解析：由题可知，该二次型矩阵为5212111tt，而0455212111,0111, 1122ttttttt，可解得054t。此时，该二次型正定。考查知识点 : 二次型正定的判断难度系数7. c 解析：由矩阵特征值性质有1-3+3=1+x+5 ，可解得x=-5 。考查知识点

7、 :n 阶矩阵特征值的性质难度系数 : 8. d 解析：由题可知，a为 n 阶可逆矩阵，则a的行向量组线性无关。考查知识点 :n 阶可逆矩阵的性质难度系数 : 9. a. 解析：由题可知，两平面法向量分别为)3 , 1, 0(),2,0 , 1 (21nn，则所求直线的方向向量为kjinns3221。所以所求直线为14322zyx。考查知识点 : 求空间平面交线平行的直线方程难度系数 : 10. c.解析：由08215132ea， 可解得特征值为4,221考查知识点 : 求解矩阵的特征值难度系数 : 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4

8、 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - -5三、解答题11. 解：121001210012000112100121001200011234012300120001100021003210432111)()()(bcbcbctttexbc，考查知识点 : 矩阵方程的运算求解难度系数 : 12. 解：)22() 12(81212121212121|2321aaaaaaaaa，当| a=0 时即21a或1a时，向量组321aaa，线性相关。考查知

9、识点 : 向量组的线性相关性难度系数 : 13. 解：当1且2时，方程组有唯一解；当2时方程组无解当1时，有无穷多组解，通解为10101100221cc考查知识点 : 线性方程组的求解难度系数 : 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - -614. 解：由题可知0000110020102001131300161600241031217130104302410312171307311100943121)(4321aaaaa，则34321aaaar，其中321aaa，构成极大无关组, 且线性关系为321422aaaa考查知识点 : 向量组的秩与最大无关组难度系数 : 15. 证明：由题可知 , aitaiaiaaaaiatt02ai, 即0ai考查知识点 :n 阶方阵的性质难度系