人教A版高中数学必修第二册第3课时余弦定理、正弦定理应用举例教学设计2

1、余赅定理、正弦定理教学披廿（人教A版）第3课时余孩定理、正眩定理应用举例教材分析三角形中的几何计算问题主要包括长度、角、而积等，常用的方法就是构造三角形，把所求的问题转 化到三角形中，然后选择正弦定理、余弦左理加以解决，有的问题与三角函数联系比较密切，要熟练运用 有关三角函数公式.教学目标与核心盍养课程目标1、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相 关术语；2、激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值：同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应 用转化思想解决数学问题的能力.数学学科素养1数学抽象：方位角、方向角等概念：2逻辑推理：分淸已知条

2、件与所求，逐步求解问题的答案；3数学运算：解三角形：4数学建模：数形结合，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的 量，从而得到实际问题的解.教学重难点重点：由实际问题中抽象出一个或几个三角形.然后逐个解决三角形，得到实际问题的解: 难点：根据题意建立数学模型，画出示意图.课前准冨教学方法：以学生为主体，小组为单位，采用诱思探究式教学，精讲多练。教学工具：多媒体。敎学过程一情景导入在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的 呢？我们知道，对于未知的距离、髙度等，存在着许多可供选择的测量方案，但是没有足够的空间，不能 用全

3、等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的。那么运用正弦左理、余弦左理能否解决这些问题？又怎么解决？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察研探二、预习课本，引入新课阅读课本48-51页，思考并完成以下问题1、方向角和方位角各是什么样的角？2、怎样测量物体的髙度？3、怎样测量物体所在的角度？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1、实际测量中的有关名称、术语冬称定义图示基线在测疑中，根据测量需要适当确定的线段叫做基线仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线 上 方时与水平线的夹角遽线俯角在

4、同一铅垂平而内，视线在水平线下方时与水平线的夹角茱、塑角水平线 线视线方向角从指泄方向线到目标方向线的水平角（指左方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）北I南偏西60。西（指以正南方”能/向为始边，转 花尸60°：向目标方向线 南形成的角）方位角从正北的方向线按 顺 时针到目标方向线所转过的水平角北O)120°X四、典例分析、举一反三题型一测量高度问题例1济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，苴造型流畅别致，成了济南的标志和象征.李明同学想测量泉 标的高度，于是他在广场的2点测得泉标顶端的仰角为60。他又沿着泉标底部方向前进15.2 m,到达E 点，测

5、得泉标顶部仰角为80。你能帮李明同学求出泉标的髙度吗？(精确到1 m)【答案】泉城广场上泉标的高约为38 m.依题意，ZBiD=60。，ZCE£>=80。,M=I5.2 m,则 ZABD=IOQ 故 ZADB =180o-(60o ÷100o)=20o.在'ABD中，根据正弦定理，BD AB . MSln 60。152sm60°SIll 60。=SInZJM *'BD= sm20o = sin 20°3-5(m)在 RtBCD 中，CD=BDSm 80°=38.5 Sin 80o38(m),即泉城广场上泉标的髙约为38 m

6、.解题技巧(测量高度技巧)(1) 在测量髙度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角:(2) 准确理解题意，分淸已知条件与所求，画出示意图；(3) 运用正、余弦左理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用.跟踪训练一1、乙两楼相距200m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为60。，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30。，则甲、乙两楼的 高分别是多少？【答案】屮楼髙为20O庐m,乙楼髙为氏m.【解析】如图所示,.ID为乙楼高,EC为甲楼高.在氐ABC 中，5C=200×tan60o=20Q3,JC=200sm30o=400,由题意可知ZdCD=Z

7、DJC=30。.JCD为等腰三角形.由余眩定理得 ACI=.ID-+CD2-IW CD CoS 120o, 4OO2=.W2+.W2-ZW2×(-) = 1W2, .W2=y1, .ID =40?/故甲楼髙为wo羽m,乙楼高为°°?" m.题型二测量角度问题例2如图所示，.4, B是海而上位于东西方向相距5(3+3) n mile的两个观测点.现位于J点北偏东45。 方向、E点北偏西60。方向的Z)点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60。且与B点相距203 n InIle 的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30nmile.li.则该救援船到达

8、Z)点需要多长时间？答案】救援船到达D点需要的时间为1 h.【解析】由题意,5(3+3)nmile,ZDBA = 90o-60o = 30o, ZDAB=90o-45o=45 ZADB = 180。一 (45。+30。) = 105。.在如中，由正弦左理得Wlir倍MnZIBSinZD15即 4 sSB -5(3 + 3)Sin45:5(3 + 3)Sin45IC n 1 Oa/3 n Illlle-SinIO5Sin45 cos60 +cos45 sin60又ZDBC=ZDBA + ZABC=60S 5C=203 nmle.:仏DBC中，由余弦定理,得CD =BD-+BC1 - IBDBCC

9、QS ZDBC= 寸300+1 200-2×103×203×=30 n mile, 则救援船到达D点需要的时间为弟=1 h.解题技巧：(测量角度技巧)测量角度问题的关键是根据题意和图形及有关概念，确泄所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量.通常是根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角 形，得到所求的量，从而得到实际问题的解.跟踪训练二1、在海岸Zl处，发现北偏东45。方向，距离Zl处(3-l)n Iiule的E处有一艘龙私船，在/处北偏四75。的 方向，距离J 2 n nule的C处的缉私船奉命以10帝nmle的速度追

10、截走私船此时，泄私船正以IonmIle% 的速度从E处向北偏东30。方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？【答案】缉私船沿北偏东60。方向能最快追上走私船.【解析】设缉私船用rh在D处追上疋私船，画出示意图，则有CD=lQ3r, BD=IQt9ZBAC=UOq9由余弦定理,得 BC2=A2÷C2-2ABAC cosZAC=(3-l)2÷22-2(3-l)2cos 120o=6,BC=y6,且 SinZABC=筹 SinZBA(7=箱半=爭， ZABC=45°, ：.BC与正北方向成90。角. ZCBD=90o+30°= 120°,在AB

11、CD中，由正眩圮理，得SlnZBCD=BDSinZCBD10/sin 120c1103r2, ZBCD=30。即缉私船沿北偏东60。方向能最快追上走私船.题型三测量距离问题例3如图所示，要测量一水塘两侧/, B两点间的距离，其方法先选定适当的位置C,用经纬仪测岀角, 再分别测出/C, EC的长b, 则可求出d, E两点间的距离.若测得CJ=400m C5=600m ZACB=60%试计算脑的长.【答案】A，B两点间的距离为2OO7 m.【解析】在AABC中，由余弦宦理得AB2 =AeIBCI 一 HCBCcos ZACB,：.ABI = 400: + 6002-2×400×

12、6OOCoS 60o=280 000.JB=2007 (m)即ZL E两点间的距离为20(>7 m.例4如图所示，/, B两点在一条河的两岸，测量者在ZI的同侧，且E点不可到达，要测出2, E的距离， 其方法在所在的岸边选泄一点C,可以测出2, C的距离加，再借助仪器，测岀SCB=a、ZCAB=B,在AABC中，运用正弦定理就可以求出ZtB若测出JC= 60 m, ZBJC= 75o, ZBCA=45°,则Zb E两点间的距离为m.B【答案】206【解析】ZABC= 180°-75°-45° = 60°>所以由正弦龙理得AB 二 Z

13、ICSm C sin 5'= 206(m). JCSmC 60XSm 45。 AB= SInB = SIn 60。即儿B两点间的距离为206 m. 解题技巧(测量距离技巧) 当儿E两点之间的距离不能宜接测量时，求拐的距离分为以下三类：(1)两点间不可通又不可视(如图)：可取某点C,使得J, B与C之间的距离可直接测量，测出AC=b, BC=Q以及XACB-9利用余弦立理得：AB=aI-Vbr-2abzos .（2）两点间可视但不可到达（如图）：可选取与E同侧的点C,测出BC=a以及ZABC和厶1CE,先使用内角和左理求岀ZBAC.再利用正弦左理求出, 两点都不可到达（如图）：在河边测量

14、对岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取两点C, D、测出Cz）=加，ZACB, ZBCD, ZADC, ZADB,再在ZkECD 中求出 EC,在IDC 中求出 ZlC,最后在'ABC 中，由余弦立理求出毎跟踪训练三/B1.如图，£ P两点在河的同侧,且ZL2两点均不可到达，测出儿B的距离，测量者可以在河岸边选立两点C, D测得CD=m同时在C, D两点分别测得ZBCA=a. ZACD=0,乙CDB=X ZBDA=3.在3C 和厶BDC中,由正弦泄理分别计算出AC和BC,再在AABC中，应用余弦泄理计算出曲.若测得CD=km.求儿E两点间的距离【解析】VZADC= ADB+ ZCDfi=60% ZACD=60°, ZDAC=60°,： AC=DC=辱住'BCD 中，ZDBC=45°,¥由正弦定理'c=sinzDC=sin 30°=V 在BC中.由余弦左理，得B2 =AC2+BC2 2ACBCCoS 45o=+-2×××=.AB=(km).A, B两点间的距离为