人教版编号67选修4 51绝对值三角不等式

1、1、绝对值三角不等式、绝对值三角不等式对任意实数对任意实数a，b原点的距离原点的距离.a?b,a?b?|a-b|B|a-b|=?0, a?bAab?b?a,a?b?a,a?0?|a|=?0,a?0?a,a?0?|a|O几何意义几何意义:表示数轴上坐标为表示数轴上坐标为a的点的点A到到Aaxx表示数轴上实数表示数轴上实数a,b对应的点对应的点A，几何意义：几何意义：B之间的距离，即之间的距离，即线段线段AB的长度的长度类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为类比不等式基本性质的得出过程，同学们认为可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？可以怎样提出关于绝对值不等式性质的猜想？从从“运算运算”的角

2、度考察绝对值不等式。的角度考察绝对值不等式。如：对于实数如：对于实数a,b，可以考察，可以考察|a|, |b|, |a+b|, |a-b|, |a|+|b|, |a|-|b| 等之间的关系。等之间的关系。用恰当的方法在数轴上把用恰当的方法在数轴上把|a|, |b|, |a+b|表示出来，表示出来，同学们观察能发现它们之间有什么关系？同学们观察能发现它们之间有什么关系？ab0a+bxa+bx?aOO abbab0 时时,a0,b0,b0a+bxa+bx?aOO abb由图可得由图可得: |a+b|=|a|+|b|(2) 当当ab0,b0a+b?bOa|a+b|a|+|b|xa0a+bx?aOb|

3、a+b|a|+|b|易得易得: |a+b|=|a|+|b|(3) 如果如果ab=0, 则则a=0 或或b=0综上所述综上所述,可得可得:定理定理1: 如果如果a,b是实数是实数,则则|a+b|? ?|a|+|b|当且仅当当且仅当ab? ?0 时时,等号成立等号成立.如果把定理如果把定理1 中的实数中的实数a,b分别换分别换? ?为向量为向量a,b,能得出什么结果能得出什么结果?在不等式在不等式|a+b|? ?|a|+|b| 中中,绝对值三角不等式绝对值三角不等式?y用向量用向量a分别替换实数分别替换实数a,b,b?当向量当向量ab不共线时不共线时,则由向量加则由向量加法的三角形法则法的三角形法

4、则,?向量向量aba?b构成三角形构成三角形,a?bb?ax故可得向量形式的不等式故可得向量形式的不等式:? ?|a+b|a|+|b|当向量当向量a b共线呢共线呢?故该定理的几何意义为故该定理的几何意义为:三角形的两边之和大于第三边三角形的两边之和大于第三边.O绝对值三角不等式绝对值三角不等式: |a+b|? ?|a|+|b|证明证明: 当当ab? ?0 时时,ab=|ab|a+b|?a?b?22?a? 2ab?b2222?|a|?2|ab|?|b|?当当ab0 时时, ab=-|ab|2?a?b|a|?|b|?22|a+b|?a?b?a? 2ab?b2222?|a|?2|ab|?|b|?a

5、?2|ab|?b?|a|?2|ab|?|b|?|a|?|b|?故故|a+b|? ?|a|+|b|222?|a|?|b|当且仅当当且仅当ab? ?0 时时,等号成立等号成立.同学们能再探究一下同学们能再探究一下|a|-|b|与与|a+b|, |a|+|b|与与 |a-b|, |a|-|b|与与|a-b| 等之间的关系等之间的关系?如如: 如果如果a,b是实数是实数,则则推论：推论：|a|-|b|? ?|a-b|? ?|a|+|b|再如再如: 如果如果a,b,c 是实数是实数,则则|a-c|? ?|a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)? ?0 时时,等号成立等号成立.定理定理2

6、 : 如果如果a,b,c 是实数是实数,则则|a-c|? ?|a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)? ?0 时时,等号成立等号成立.分析分析:由于由于a-c, a-b与与b-c 都是实数都是实数,且且a-c=(a-b)+(b-c)则可使用定理则可使用定理1 的结论进行证明的结论进行证明.证明证明:根据定理根据定理1, 有有:|a-c|=|(a-b)+(b-c)|? ?|a-b|+|b-c|当且仅当当且仅当(a-b)(b-c)? ?0 时时,等号成立等号成立.在数轴上在数轴上,a,b,c 所对应的点分别为所对应的点分别为A,B,C,A BCx(1) 当点当点B在点在点A,C之

7、间之间?a bc时时,|a-c|=|a-b|+|b-c|?A?a?B?bC Bx?(2) 当点当点B在点在点A,C之外之外cbA Cx时时,|a-c|0 |x-a|? ?|y-b|? ?, 求证求证:|2x+3y-2a-3b|5? ?证明证明:|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|? ?|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|2? ?+3? ?=5? ?故故|2x+3y-2a-3b|5? ?例例2:两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点点施施工工,这两个地点分别位于公路路牌的第这两个地点分别位于公路路牌的第1

8、0km 和和第第20km 处处.现要在公路沿线建两个施工队的共同现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区临时生活区,每个施工队每天在生活区和施工地点每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次之间往返一次,要使两个施工队每天往返的路程要使两个施工队每天往返的路程之和最小之和最小,生活区应该建于何处生活区应该建于何处?分析分析:如果生活区建于公路路碑的第如果生活区建于公路路碑的第x km 处处,两个两个施工队每天往返的路程之和为施工队每天往返的路程之和为S(x) km.那么那么S(x)=2(|x-10|+|x-20|)故实际问题转化为数学问题故实际问题转化为数学问题:当当x取何值时取何值时,函

9、数函数S(x)=2(|x-10|+|x-20|)取得最小值取得最小值.解解:设生活区应该建于公路路碑的第设生活区应该建于公路路碑的第x km 处处,两个两个施工队每天往返的路程之和为施工队每天往返的路程之和为S(x) km, 则则:S(x)=2(|x-10|+|x-20|)S(x)=2(|x-10|+|x-20|)我们先来考察它的图像我们先来考察它的图像:60-4xS(x)=2(|x-10|+|x-20|)=SS(x)=2(|x-10|+|x-20|)604020O102030 x204x-600 x? ?101020S(x)=2(|x-10|+|x-20|)|x-10|+|x-20|=|x-10|+|20-x|? ?|(x-10)+(20-x)|=10当且仅当当且仅当(x-10)(20-x)? ?0 时时取等号取等号.S604020S(x)=2(|x-10|+|x-20|)O 102030 x又解不等式又解不等式: (x-10)(20-x)? ?0 得得: 10? ?x? ?20故当故当10? ?x? ?20 时时, 函数函数S(x)=2(|x-