十三章虚位原理

1、动力学动力学第十三章第十三章. .虚位移原理虚位移原理13-1 13-1 约束方程、广义坐标约束方程、广义坐标1.几何约束几何约束,运动约束运动约束.2222lzyx 0 )z , y,x(f0111 )z ,y,xz ,y,x(fnnnj,rv0 ,rx0 ),z ,y,xz ,y,x,z ,y,xz ,y,x(fnnnnnnj 111111xy rxymz r)s,j(121 )s,j(221 v一一. .约束分类约束分类2.2.定常约束与非定常约束定常约束与非定常约束3.完整约束完整约束,非完整约束非完整约束2022)vtl (yx ,)t ,zz ,y,x(fnj0111 0111 )

2、t ,z ,y,xz ,y,x(fnnnj rxc ,rxc 非定常非定常几何约束几何约束非定常非定常运动约束运动约束vvtf)s,j( 21二二. .自由度自由度, ,广义坐标广义坐标, snk 322121ayx 2212212b)yy()xx( 广义坐标广义坐标:kqq,q 21)qq,q(xxkii 21)q.q,q(yykii21 )qq,q(zzkii 21)qq,q(rrkii 21i=1,2, n自由度自由度n:物体数物体数，s:约束方程数约束方程数, 2 1b(x2,y2)a(x1,y1)abxy2 2个自由度个自由度1. q1= 1 , q2= 2，二个广义坐标二个广义坐标

3、:2. q1= 1 , q2= y2，3. q1=x1 , q2= y2，4. 等。等。二个约束方程数二个约束方程数平面物体平面物体:, snk 2一一. .虚坐移虚坐移二二. .理想约束理想约束1.光滑支承面光滑支承面,rfwn0 ,rfiin 0 2.光滑铰链光滑铰链,ffnn ,rfrfwnnn 0 r m f rpfn rfnfnrr)fcos(f13-2 13-2 虚位移和理想约束虚位移和理想约束rfw3.无重刚体无重刚体5.刚体纯滚动刚体纯滚动, rr21 ,cosrcosr2211 4.柔性约束柔性约束，21ff ,r)ff(wfn 0 r2 r1fn1fn2f1f2 r1 r2

4、 rpfnff r2 r10,rfrfrfrfw22n11n22n11nn，0w2211rfrf13-3 13-3 虚位移原理虚位移原理仅可能：仅可能：,ffnii0 ， 0iiniirfrf （虚功原理）（虚功原理）0)iiziiyiixzfyfxfw（充分性证明：充分性证明：,rfrfiriiri d,r)ffiini0 （,rfii 0 平衡方程平衡方程:因理想约束：因理想约束： 0iirf 不可能，不可能， ri mi fi fin0rfwiii例例13-113-1 图示椭圆规机构图示椭圆规机构,连杆连杆a,b长为长为l, 杆重和摩擦力不计杆重和摩擦力不计，求求:在图示位置平衡时主动力

5、在图示位置平衡时主动力fa和和fb之间的关系。之间的关系。1.几何法几何法,xfyfbbaa0 ,coslya ,sinlxb tanff:ba 则则2.解析法解析法,sinlxcoslxbb ，,lcosylsinyaa ，0 bbaaxfyf .tanffba 解：解： xb ya,0 ,)sinlfcoslf(ba0 ,)sinlfcoslf(ba0 :代入后代入后 fafbxy0 解：解：例例13-213-2 图示平面缓冲机构图示平面缓冲机构,各杆的重量和摩擦不记各杆的重量和摩擦不记,弹簧原长为弹簧原长为l,刚性系数为刚性系数为k.求求:平衡时平衡时p与与 之间关系之间关系.ksinl

6、kf 2 ,sinlxa ,coslxa ,sinllxb ,coslxb ,sinly,coslycc 22 ,ypxfxfcba0 ,pcoslk: 2代入得代入得.lkparccos2 02 bcxfyp: 有有ff解析法解析法lllllp0acbk yx,)psinkcoslsin(024 ,0 例例13-313-3 图示桁架图示桁架,各杆长度相等为各杆长度相等为l.求求:fde,fbc内力内力。解：解：,xfxfyxeeddeded01510 ,fllflledcadeca023232152310 ,ca ,ffedde ,kn.fde6613 几何法几何法:先求先求fde,lxad

7、 23 ,lyce 2 ,lxce 23 10kn15knacdeb xd xe yefdefed yb a c,)lflfll(aedde023232152310 ,llycab 解：解：01510 ccbedxfyx 023152310 cbecaaficll, lcoslae3302 , leccosci 30,lci32 ,licei32 ,llrecae 33 ,eca 3,licrececc 32 ,.fcbkn998 例例13-313-3a a 图示桁架图示桁架,各杆长度相等为各杆长度相等为l.求求:fde,fbc内力内力。几何法几何法:再求再求fbc,10kn15knacdeb

8、 re ai ec yb xcfbcfcb13-4 13-4 广义坐标表示虚位移原理广义坐标表示虚位移原理力与势能关系力与势能关系:,n,i,rfii 210 ),q.q(rrrii1 ,qqrqqrrjrjjiii 111jnirjjiiqqrfw 11,qrfqnijiij 1 rjjjqq1 ,)qzfqyfqxf(qnijiizjiiyjiixj 1,qwqjjj ,qj平衡平衡0 ,xvfiix ,yvfiiy iizzvf ,qv)qzzvqyyvqxxv(qjjiijiijiij .,ww21 ,qqvjj平衡平衡0 繁繁简简例例13-413-4 二根长二根长l的均质杆，如用的均

9、质杆，如用解：解：,cosfl)sinl(p)sinl(pmwq1111112 ,cosfl)sinl(pwq222222 ,cosfl)sinl(p)sinl(pmw111111112 ,cosfl)sinl(pw222222 1. q1= 1 0, q2= 2 =02. q2= 2 0, q1= 1 =0jijqwq求求:双摆的广义力双摆的广义力 1 2mppf 1 2mppf 2例例13-513-5 利用广义力推导空间一般力系平衡力系。利用广义力推导空间一般力系平衡力系。解：解：,mrfw0r , zfyfxfwiziyixf kmjmimmjyxo,fxxfqixix 01 ,0mmq

10、xxxx4 ,fyyfqiyiy 02 ,fzzfqiziz 03 0,mmqyyyy5 0mmqzzzz6 xyzfrm0 zjyyxxmmmmw,kfjfiffiziyixr 例例13-613-6 计算前面所说的双摆的受力平衡问题计算前面所说的双摆的受力平衡问题, 二摆上各杆长为二摆上各杆长为l,重为重为p,在杆上作用二个主动力在杆上作用二个主动力m与与f。解：解：,coslya12 112 sinlya ,coslcoslyb212 ,sinlsinlyb22112 ,sinlsinlxc21 2211 coslcoslxc ,mxfypypcba01 ,:0021 因因,tanpf22

11、1 )sintan(cosplm121321 1.解析法：解析法：mppf 1 2yxabc0)flcospsin2l(m)flcoslsin23p(222111,0021 ,cosflsinplsinlpm021111111 ,0021 ,)coslfpsinl(02222 例例13-613-6a 计算前面所说的双摆的受力平衡问题计算前面所说的双摆的受力平衡问题, 二摆上各杆长为二摆上各杆长为l,重为重为p,在杆上作用二个主动力在杆上作用二个主动力m与与f。解：解：mppf 1 1mppf 2 2,tanpf221 )sintan(cosplm121321 2.几何法几何法例例13-713-

12、7图所示架图所示架, ,已知已知ab=bc=ca=a,ad=dc= =解：解：2a,求求:bd杆的内力杆的内力,cosrcosrcb 6030 ,cosrrcd 45 1.几何法几何法600450fbd rb rd rcbdfac0cos45fcos45rfcos60rfddbdbbdr,2.37ffbd解：解：,sinayd12 ,cosayd112 ,sinayb2 ,cosayb2 12222 cosacosaxc ,sinsin112221 代入代入:, 604521 12604521 sinsin0 bddyfyfyp ,p.f372 2a,求求:bd杆的内力杆的内力例例13-713

13、-7a a 已知已知ab=bc=ca=a,ad=dc= = 2 1f2.解析法：解析法：bdpac例例13-8 13-8 图示平面缓冲机构图示平面缓冲机构, ,各杆的重量和摩擦不记各杆的重量和摩擦不记, ,弹簧原长弹簧原长为为l, ,刚性系数为刚性系数为k. .求求: :平衡的位置平衡的位置解：解：,)sinl(k)hcosl(pv22212 ,v0 ,sincosklsinpl0422 ,sin001 ,2klpcos ,klparccos22 , 0当,2klparccos 当lllllp0acbk yx初始平衡位置。初始平衡位置。平衡位置。平衡位置。例例13-913-9 拱架结构拱架结构

14、, ,f1=2kn，f2=1kn，求求:支架支架d,c处反力。处反力。f1abcdgfehf22a2a2aa例例13-913-9a a 拱架结构拱架结构, ,f1=2kn，f2=1kn，求求:支架支架d,c处反力。处反力。解：解：,afafafdydda0221 ad ,kn.fyd51 1.求：求：fydf1abcdgfehf22a2a2aafyd a rf re rb rg b d例例13-9b 拱架结构拱架结构,f1=2kn，f2=1kn，求求:支架支架d,c处反力。处反力。,afafafdxdda0221 ad ,kn.fxd51 f1abcdgfehf22a2a2aafxd解：解：2