《数列的极限》ppt课件

1、第三章 极限与函数的延续性一、数列的极限二、函数的极限三、函数的延续性四、无穷小量无穷大量的比较 极限概念的萌芽可追溯至公元前极限概念的萌芽可追溯至公元前300300年，当时我国著名哲学家庄子的著年，当时我国著名哲学家庄子的著作中便有作中便有“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半， 万万世不竭庄子世不竭庄子 的论述。的论述。在南北朝在南北朝429-500429-500时期，祖冲之利时期，祖冲之利用极限的思想计算圆周率，获得了很大用极限的思想计算圆周率，获得了很大的胜利。他利用圆内接多边形的面积逼的胜利。他利用圆内接多边形的面积逼近圆的面积，即所谓近圆的面积，即所谓“割圆术，该方割圆术，该方法

2、被写入他与儿子祖恒合著的法被写入他与儿子祖恒合著的 中。不幸的是，该书在北宋中期失传。中。不幸的是，该书在北宋中期失传。我国古代极限思想祖冲之祖冲之一、概念的引入3-2 数列的极限R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS思想：用多边形无限逼近：思想：用多边形无限逼近：二、 数列的极限( )nxf n 1 1、数列的概念、数列的概念定义定义 自变量为正整数的函自变量为正整数的函数数 1,2n 将其函数值按自变量将其函数值按自变量 n n 由小到大排成一列数由小到大排成一列数 123,nxxxx称为数列，将其简记

3、为称为数列，将其简记为 nxnx称为数列的通项或普通项称为数列的通项或普通项 1, 211 11 ,.3nxnn ，即即(1) 11(1)1,1,1,(1),.nnnx ， 即即(3)211,3,5,21,.nunn ，即即(4)(4)2 31,1 2nn (2)1nnxn 即即数列数列数列数列数列数列数列数列数列数列1 1当当n n无限增大时无限增大时, , 无限趋近于无限趋近于0 0， 即数列即数列1 1以以0 0为它的变化趋向；为它的变化趋向； nun1数列数列2 2当当n n无限增大时无限增大时, , 无限趋近于无限趋近于 常数常数1,1,即数列即数列2 2以以1 1为它的变化趋向；为

4、它的变化趋向； 1nnun数列数列3 3当当n n无限增大时，无限增大时， 其奇数项为其奇数项为1 1， 偶数项为偶数项为-1-1，随着，随着n n 的增大，它的通项在的增大，它的通项在 -1,+1-1,+1之间变动，没有确定的变化趋向；之间变动，没有确定的变化趋向； 1) 1(nnu数列数列4 4当当n n 无限增大时，无限增大时，un =2n-1un =2n-1无限增大无限增大. .问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 能否无限接近于某一能否无限接近于某一确定的数值确定的数值?假设是假设是,如何确定如何确定?nxn1( 1).nnn 观察数列当时的变化趋势,1001给定给定,10011

5、 n由由,100时时只要只要 n10,100nx 有,10001给定给定,1000 时时只只要要 n10,10000nx 有,100001给定给定,10000时时只只要要 n10,1000nx 有, 0 给给定定,)1(时时只只要要 Nn0.nx有成立1( 1),0.nnnxn当无限增大时无限接近于问题问题: “无限接近无限接近 意味着什么意味着什么?如何用数学言语如何用数学言语?0nx nnn11)1(1 经过上面演示实验的察看经过上面演示实验的察看:假设数列没有极限假设数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.留意：留意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axa

6、xnn . 2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 N定义定义3.23.2 假设对于恣意给定的正数假设对于恣意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时

7、时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每每一一个个或或任任给给的的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使例例1. 1)1(lim1 nnnn证证明明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则则当当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即例例2. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则则当当Nn ,0 nq就就有有. 0lim nnq, 0 q若

8、若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 例例3221lim1.2nnnn证明证证22221331222nnnnnnnnn4n 当时，2222444nnnnn40max4, NnN对，取，则当时，有221412nnnn，得证.利用定义证明极限应留意的问题 一、有时对一、有时对 规定范围是方便的，如规定范围是方便的，如 ，但要留意，但要留意， 可小不可大。可小不可大。) 1 , 0(二、正整数二、正整数 与与 有关，有时将其写成有关，有时将其写成 ，但它不，但它不 独一，留意独一，留意 可大不可小。可大不可小。N)(NN N三、直接解不等式三、直接解不等式 求求 有时较

9、困难，假设将有时较困难，假设将 进展适当放大，问题那么可变得简单。进展适当放大，问题那么可变得简单。nxaNnxa1. 有界性有界性例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数数列列数数轴轴上上对对应应于于有有界界数数列列的的点点nx都都落落在在闭闭区区间间,MM 上上.有界有界无界无界2.数列极限的性质定理定理3.2 3.2 收敛的数列必有界收敛的数列必有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时时恒恒有有使使得得当当则则. 11 axan即即有有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx

10、留意：有界性是数列收敛的必要条件留意：有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .定理定理 3.3 3.3 设设 ，且，且 ，那么存在正整数，那么存在正整数 ，当当 时，恒有时，恒有limnnxa0a NNn 0.2nax 2. 保号性保号性ii)假设 ，那么存在正整数 ，当 时，恒有0a NNn 0.2nax 推论推论 设设 ，i)i)假设假设 ，那么存在正整数，那么存在正整数 ，当，当 时，恒有时，恒有0a NNn 0.2nax limnnxa定理定理3.1 设 ,那么有lim, limnnnnxayb(1) lim();(2) lim;(3)lim(0).

11、nnnnnnnnnxyabx yabxabyb3. 四那么运算封锁性四那么运算封锁性limlim,lim0.limnnnnnnnnnxxyyylimlimlim.nnnnnnnx yxylim()limlim.nnnnnnnxyxy推论推论 设 那么有lim,nnxa c为常数，lim.nncxca定理定理 3.4 3.4 设设 为无穷小量，为无穷小量， 是有界数列，那么是有界数列，那么nxny.nnx y 是无穷小量定理定理 3.5 (3.5 (保序性保序性) ) 设设 ， ，且且 ，那么存在正整数，那么存在正整数 ，当，当 时，恒有时，恒有limnnxaabNNn limnnyb.nnxy

12、定理定理 3.6 (3.6 (极限不等式极限不等式) ) 设设 ， ，且对恣意正整数且对恣意正整数 ，有，有 ，那么，那么limnnxa.ablimnnybnnxyn . , 0lim 为一个无穷小量则称变量若nnnxx 思索：下面两个说法能否正确，为什么？思索：下面两个说法能否正确，为什么？设 ， ，且 ，那么存在正整数 ，当 时，恒有limnnxaabNNn limnnyb.nnxy 2. 2. 设设 ， ，且对恣意正整数，且对恣意正整数 ， 有有 ，那么，那么limnnxa.ablimnnybnnxyn思索思索 ： 和和 .1nn1nn4.独一性独一性定理定理 3.7 3.7 每个收敛的

13、数列只需一个极限每个收敛的数列只需一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使使得得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时时恒恒有有当当 ,max21NNN 取取时时有有则则当当Nn )()(axbxbann axbxnn .2 .时时才才能能成成立立上上式式仅仅当当ba 故收敛数列极限独一故收敛数列极限独一.定理定理3.83.8夹迫性设夹迫性设 ，且，且 那么那么), 2 , 1(nzyxnnnlimlim,nnnnxzalim.nnya5101520 x0.750.80.850.90.95y ,limlim 所以因为azynnn

14、n, | , , 0 , 0 1ayNnNn时当, | , , 0 , 0 22azNnNn时当 , ,max 21有时则当取NnNNN . | , |azaynn故有或从某一项开始已知 ),( Znzxynnn)( Nnazxyannn , , 由极限定义得有时即当axNnn.limaxnn证明：证明： 单调下降有下界的数列必有极限 . 单调上升有上界的数列必有极限 . . 11 收敛证明数列nn证证由平均值不等式即得111111nnnn例例4 4111111nnnn 先证单调上升，即证1111111111nnnnnnn nnnxn2111! 3111 2111！ 112111! 1nnnn

15、n又! 1! 31! 2111n1221212111n , 321321121111nn 等比数列求和 放大不等式 . 有界从而nx每个括号小于 1 . 综上所述, 数列xn是单调添加且有上界的, 由极限存在准那么可知, 该数列的极限存在, 通常将它记为 e, 即. 11limennne 称为欧拉常数. 590457182818284. 2e .ln : , , xye记为称为自然对数为底的对数以 . , 0lim 为一个无穷小量则称变量若nnnxx 简言之： 以零为极限的量, 为该极限过程中的无穷小量.定义无穷大量时, 用的是绝对值 . |nx 去掉绝对值符号, 那么可以定义正无穷大量和负无

16、穷大量. 有时当若 , , 0 , 0NnNMMxn | , ,时的无穷大量为则称成立nxn . lim nnx记为去掉绝对值符号去掉绝对值符号会怎样样？会怎样样？有时当若 , , 0 , 0NnNMMxn , ,时的正无穷大量为则称成立nxn . lim nnx记为有时当若 , , 0 , 0NnNMMxn , ,时的负无穷大量为则称成立nxn . lim nnx记为由无穷大量与无界量的定义能否可得出:, 4 , 0 , 3 , 0 , 2 , 0 , 1 , 0 :nx几个问题几个问题调查例题调查例题结结 论论 ),( , 不为零为无穷大量若变量时当nxn . 1为无穷小量则它的倒数nx ),( , 不为零为无穷小量若变量时当nxn . 1为无穷大量则它的倒数nx几个问题几个问题结结 论论 ? . 1仍为无穷大量