数字电子技术——张瑜慧——PPT课件

1、6.1 6.1 数字滤波器的基本概念 滤波的目的为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号为了抑制输入信号的某些频率成分，从而改变信号频谱中各频率分量的相对比例。频谱中各频率分量的相对比例。 广义滤波包括对广义滤波包括对信号的检测信号的检测与与参量的估计参量的估计。信号的检测：信号的检测：确定在干扰背景中信号是否存在。确定在干扰背景中信号是否存在。信号参量的估计：信号参量的估计：为识别信号而确定信号的某一个或某为识别信号而确定信号的某一个或某几个参量的估值。几个参量的估值。l滤波技术 滤波器设计：滤波器设计：根据给定滤波器的频率特性，求得满足根据给定滤波器的频率特性，求得满足该特性的传输函数

2、。该特性的传输函数。 滤波过程的实现：滤波过程的实现：获得传输函数后，以何种方式达到获得传输函数后，以何种方式达到对输入信号进行滤波的目的。对输入信号进行滤波的目的。第1页/共120页 数字滤波器：数字滤波器：是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。成分的数字器件或程序。 优点：优点：数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无

3、法实现的特殊滤不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。波功能。6.1 6.1 数字滤波器的基本概念第2页/共120页数字滤波器的设计原理 数字滤波器一般是一个线性时不变系统。数字滤波器的设计是已知它的频率特性 ，求它的系统函数H(z)或单位脉冲响应h(n).)(jeH 完全实现一个理想的频率特性在理论上可以做到，但实际实现则比较困难，另一方面，实际的滤波器也允许有一定的误差。所以给出的频率特性通常是频率特性指标。在误差范围内，往往有多个H(z)或h(n)满足指标。因此， 设计出的H(z)或h(n)不是唯一的。6.1 6.1 数字滤波器的基本概念第3页/共120页 分类:

4、低通(LP), 高通(HP),带通(BP), 带阻(BS) ( )( )( )x ns nu n加性噪声若 中的有用成分 和希望去除的成分各自占有不同的频带, , 通过一个线性系统可将 有效去除. .( )x n( )u n( )s n( )u n一、数字滤波器的分类1、经典滤波器与现代滤波器经典滤波器第4页/共120页种类：维纳滤波器、卡尔曼滤波器、线性预测、自适应滤波器( )( ) ( )x ns n u n乘法性噪声( )( )* ( )x ns nu n卷积性噪声信号的频谱和噪声的频谱混迭在一起，靠经典的滤波方法难以去除噪声。目标：根据随机信号的一些统计特性，在某种最佳准则下，最大限度

5、地抑制干扰，同时最大限度地恢复信号，从而达到最佳滤波的目的。现代滤波器一、数字滤波器的分类第5页/共120页2 2、理想滤波器的频率响应一、数字滤波器的分类第6页/共120页几点说明： （1）由于频率特性的周期性，只需考虑数字频率在(02)范围的幅度响应。 （2）根据耐奎斯特定理，输入信号不得超过采样频率的一半，而且实序列的频谱具有共轭对称性质，所以，频率特性只能限于（ 0 ）内。 （3）图示的滤波器特性没有过渡带，不可能实现。只能在误差范围内近似实现。一、数字滤波器的分类第7页/共120页3、本课程数字滤波器设计的适用对象 通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器，其有用信号和干扰信号的频谱分别

6、在不同的频段。用IIRIIR或FIRFIR系统实现时，系数是固定的。 如果两者的频谱共用同一个频段，则需使用自适应滤波器实现，它与普通滤波器不一样的地方是，它的滤波系数是随输入信号的变化而变化。 一、数字滤波器的分类第8页/共120页 设输入为一个低频正弦波与一个高频正弦波叠加而成。 左边为时域波形，右边为它的频谱。滤波前：滤波后：一、数字滤波器的分类第9页/共120页二、 数字滤波器的技术指标数字滤波器的频率特性：其中： 选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。若对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。)(| )(|)(jjjeeHeH幅频特性| )(|jeH相频特性)(w幅频特

7、性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况第10页/共120页通带阻带过渡带低通滤波器的幅频特性指标示意图二、 数字滤波器的技术指标第11页/共120页 pjeH|, 1| )(|11 在阻带内，幅度响应以误差 逼近0，即2|,| )(|2sjeH在过渡带内，幅度响应平滑地从通带下降到阻带。为阻带截止频率为通带截止频率，sp1在通带内，幅度响应以误差 逼近1，即二、 数字滤波器的技术指标第12页/共120页pjjp0,| )e (|min| )e (|maxlg20HH| )e (|max| )e (|maxlg20jjsHH阻带中通带中

8、 上述表示不是很方便，在具体的技术指标中，往往使用通带允许的最大衰减（波纹） 和阻带应达到的最小衰减 表示，这里的两个指标都是正数。ps定义为：二、 数字滤波器的技术指标第13页/共120页 )1lg(20| )(| )(|lg2010pjjpeHeH20lg20| )(| )(|lg20sjjseHeH。的功率衰减了直流信号处的功率比表示在)dB()(0ss。的功率衰减了直流信号处的功率比表示在)dB()(0pp这里=0处幅度已归一化到1。通带截止频率。为，称时，当dBeHcpjc3dB3707. 0| )(|二、 数字滤波器的技术指标第14页/共120页阻带截止频率又称通带边界频率通带截止

9、频率:)(:spp：通带允许的最大衰减；s：阻带内应达到的最小衰减 p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小； p与s间距越小, 过渡带就越窄。低通滤波器的设计指标：二、 数字滤波器的技术指标第15页/共120页三、数字滤波器设计方法概述 设计IIR数字滤波器一般有以下两种方法：1. 间接法:首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将首先设计一个合适的模拟滤波器，然后将它转它转换成满足给定指标的数字滤波器，这种方换成满足给定指标的数字滤波器，这种方法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例法适合于设计幅频特性比较规则的滤波器，例如低通、高通、带通、带阻

10、等如低通、高通、带通、带阻等。2.直接法：直接在频域或者时域中进行数字滤波器设直接在频域或者时域中进行数字滤波器设计，由于要联立方程，设计时需要计算机作辅计，由于要联立方程，设计时需要计算机作辅助设计。助设计。第16页/共120页6.2 6.2 模拟滤波器的设计常用模拟滤波器: 1、巴特沃斯(Butterworth)滤波器 2、切比雪夫(Chebyshev)滤波器 3、椭圆(Ellipse)滤波器第17页/共120页一、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法响应模拟滤波器的单位脉冲: )(thadtethjHjHtjaaa)()(: )(频率响应dtethsHsHstaaa)()(: )(系统函数

11、设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函数|Ha(j)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。第18页/共120页1 1、四个技术指标2aa()20lg(j)10lg(j) dB AHHNoImage 工程实际中通常用损耗函数（衰减函数）A()来描述滤波器的幅频响应特性 损耗函数A()是对幅频响应|Ha(j)|的非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。截止频率称为）如：dBdBAjHcca33)(,21(第19页/共120页1 1、四个技术指标第20页/共120页 模拟滤波器的设计指标： p: 通带截止频率 s: 阻带截止频率 p:

12、通带最大衰减 s:阻带最小衰减)1lg(20)(lg102ppapjHssasjHlg20)(lg1021 1、四个技术指标第21页/共120页 模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数模拟滤波器幅度响应常用幅度平方函数| |H Ha a(j (j )| )|2 2来表示，即来表示，即 由于滤波器冲激响应由于滤波器冲激响应ha(t)是实函数是实函数，因而因而Ha(j)满足满足 )()(| )(|*2jHjHjHaaa)()(*jHjHaajsaaaaasHsHjHjHjH| )()()()(| )(|22 2、由幅度平方函数确定系统函数第22页/共120页 如果能由 p、p、 s和s求出|Ha(j)

13、|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半开平面，相应的Ha(s)的极点必然落在右半开平面。 这就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的Ha(s)的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。2 2、由幅度平方函数确定系统函数第23页/共120页二、巴特沃斯低通滤波器的设计 巴特沃斯逼近又称最平幅度逼近，它具有通带内最大平坦的振幅特性,且随的增大，幅频特性随单调下降。1、原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数为：NcajH2211)(截止频率。称为的阶次为正整数，代表滤波器式中dBNc3,第24页/共120页巴特沃斯低通

14、滤波器幅度特性与N之间的关系二、巴特沃斯低通滤波器的设计第25页/共120页由图可知：的增大而减小。的单减函数，随）幅度特性是（1越大，越平坦。幅度特性，具有最大平坦的时，通带内当NjHac)()(带越陡。越大，衰减越快，过渡的增大而迅速衰减，随时，当NjHac)(最小衰减）。（阻带时的衰减称为阻带截止频率当ss)(二、巴特沃斯低通滤波器的设计第26页/共120页 707. 0)(,)(321212jHjHaac时，）当（；处衰减截止频率，在即dB3)(dB3)(cA优点：幅度特性平坦，相位特性近似为线性相位；缺点：阶次N一般较大。1)(02jHa时，）当（处无衰减；直流分量即在)(0二、巴特

15、沃斯低通滤波器的设计第27页/共120页NH2c2a11| )j (|以s替换j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： NssHsH2caaj11)()(二、巴特沃斯低通滤波器的设计第28页/共120页 上式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：)21221(jcc21e)j () 1(NkNks2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上(该圆称为巴特沃斯圆)，间隔是/Nrad。二、巴特沃斯低通滤波器的设计第29页/共120页 设N=3，极点有6个，它们分别为：31543533421320jccjcjccjcessesesses二、巴特沃斯低通滤波器的设计第30页/共120页 设

16、N=4，极点有8个，它们分别为：8113892871850jcjcjcjceseseses二、巴特沃斯低通滤波器的设计第31页/共120页 为形成因果稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半平面的N个极点构成Ha(s)，而右半平面的N个极点构成Ha(s)。10ca)()(NkkNsssHa1c0cc1NkksGss归一化后的系统函数：二、巴特沃斯低通滤波器的设计第32页/共120页 令p=s/c，（p称为归一化复变量），则巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为：10a)(1)(NkkpppG称为归一化极点；，式中kNkkp,N, ,kp110 e21221j二、巴特沃斯低通滤波器的设计第33

17、页/共120页a1212101( )NNNNNGppbpbpb pb得：带入将)(pGpak归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk，以及极点pk，可以由表得到。二、巴特沃斯低通滤波器的设计第34页/共120页表巴特沃斯归一化低通滤波器参数 二、巴特沃斯低通滤波器的设计第35页/共120页二、巴特沃斯低通滤波器的设计第36页/共120页cacNsHdBN和是根据设计指标求的设计实质上。因而巴特沃斯滤波器便可得到截止频率和阶数求出巴特沃斯滤波器的)(3的求解和、cN2NcajH2211)(由于22)(log10)(log10saspapjHjH二、巴特沃斯低通滤波器的设计第37页/共120页psp

18、sNlog110110log1 . 01 . 0spNcsNcp1 . 021 . 0210)(110)(1得：阶数N取大于或等于N的最小整数。NscNpcsp211 . 0211 . 0110110）（或）（得二、巴特沃斯低通滤波器的设计第38页/共120页3、低通巴特沃斯滤波器的设计步骤(1) 根据技术指标p、 p、s和 s，求出滤波器的阶数N和c。(2) 求出归一化极点pk，及归一化低通原型系统函数Ga(p)。(3) 将Ga(p)去归一化。将p=s/c代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数 c| )()(asppGsH二、巴特沃斯低通滤波器的设计第39页/共120页例1、已知通带截止频

19、率fp=5 kHz，通带最大衰减 p=2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减 s=30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。解： (1) 确定阶数N和c 25. 4log110110log1 . 01 . 0pspsN取N=5二、巴特沃斯低通滤波器的设计第40页/共120页skradNpcp/2755. 52110211 . 0）（)()(1)(e ee ee10a57j456j3j254j153j0pGpppGpppppaNkk，即可求出通原型系统函数再将极点带入归一化低，可得极点为：）根据（Nkkp21221je2二、巴特沃斯低通滤波器的设计第41页/共120页或

20、直接查表可得极点：0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000归一化低通原型系统函数为式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361， b4=3.2361012233445a1)(bpbpbpbpbppG二、巴特沃斯低通滤波器的设计第42页/共120页(3) 去归一化将p=s/c代入Ga(p)中, 得到：5c04c123c232c34c455ca)(bsbsbsbsbssH二、巴特沃斯低通滤波器的设计第43页/共120页 巴特沃斯模拟滤波器的设计总结： 上述归一化公式和表格是相对3dB 截止频率 给出的。由指定的技术指标 ，利

21、用上述公式和表格进行设计时，最关键的2个参数是滤波器的阶数N和3dB 截止频率 。 N用来求巴特沃思多项式， 用来去归一化，求实际滤波器的参数。cssPp,cc二、巴特沃斯低通滤波器的设计第44页/共120页 切比雪夫低通滤波器 切比雪夫低通滤波器切比雪夫低通滤波器采用采用切比雪夫函数切比雪夫函数来逼近给来逼近给定的指标，该函数具有定的指标，该函数具有等波纹等波纹特性。它可将指标要求特性。它可将指标要求均匀发布在通带（或阻带）内，故如此设计出的滤波均匀发布在通带（或阻带）内，故如此设计出的滤波器阶数较低。器阶数较低。切比雪夫低通滤波器切比雪夫型切比雪夫型：通带等波纹、阻带单调：通带等波纹、阻带

22、单调：通带单调、阻带等波纹：通带单调、阻带等波纹 巴特沃斯低通滤波器巴特沃斯低通滤波器的缺点是的缺点是阶次较高阶次较高，原因是，原因是它的频率特性在通带和阻带内都是随它的频率特性在通带和阻带内都是随的增大而单调的增大而单调减小，减小，如果在通带（阻带）满足指标，则在阻带（通如果在通带（阻带）满足指标，则在阻带（通带）内肯定有富裕量。带）内肯定有富裕量。三、切比雪夫滤波器的设计第45页/共120页切比雪夫型的幅度平方函数为：)/(11)(222pNaCjH为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大; p称为通带截止频率。令=/p，称为对p的归一化频率。CN(x)称为N阶切比雪

23、夫多项式。三、切比雪夫滤波器的设计第46页/共120页设计过程： 1 1) )根据要求的滤波器指标确定波纹参数 和阶数N N。 2) 2) 求归一化传输函数 。 3) 3) 去归一化。将 代入归一化原型滤波器系统函数，即得到实际滤波器传输函数 。1101 . 02p)/( ) 110/() 110(1 . 01 . 0psarcharchNps)(pGapsp/)(sHa三、切比雪夫滤波器的设计第47页/共120页四、椭圆滤波器 椭圆(Elliptic)滤波器允许在通带和阻带内都有等间隔的波动，可进一步减少滤波器的阶次，但通带上的相位响应非线性失真（波形）较大。第48页/共120页五、三种滤波

24、器比较 滤波器滤波器幅频特性幅频特性相频特性相频特性巴特沃斯巴特沃斯通带和阻带都单减通带和阻带都单减接近线性相位接近线性相位切比雪夫切比雪夫通带或阻带单减通带或阻带单减介于两者之间介于两者之间椭圆椭圆通带和阻带都波动通带和阻带都波动线性相位最差线性相位最差复杂性: 在满足相同的滤波器幅频响应指标条件下，巴特沃思滤波器阶数最高，椭圆滤波器的阶数最低，而且阶数差别较大。所以，就满足滤波器幅频响应指标而言，椭圆滤波器的性能价格比最高，应用较广泛。第49页/共120页 当阶数相同时，对相同的通带最大衰减 p和阻带最小衰减 s，巴特沃思滤波器具有单调下降的幅频特性，过渡带最宽。 两种类型的切比雪夫滤波器

25、的过渡带宽度相等，比巴特沃思滤波器的过渡带窄，但比椭圆滤波器的过渡带宽。切比雪夫型滤波器在通带具有等波纹幅频特性，过渡带和阻带是单调下降的幅频特性。切比雪夫型滤波器的通带幅频响应几乎与巴特沃思滤波器相同，阻带是等波纹幅频特性。 椭圆滤波器的过渡带最窄，通带和阻带均是等波纹幅频特性。五、三种滤波器比较第50页/共120页六、模拟高通、带通、带阻滤波器的设计 在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都在模拟滤波器设计手册中，各种经典滤波器的设计公式都是针对低通滤波器的，并提供从低通到其他各种滤波器的频率是针对低通滤波器的，并提供从低通到其他各种滤波器的频率变换公式。变换公式。 设计高通、带

26、通和带阻滤波器的一般过程是设计高通、带通和带阻滤波器的一般过程是: : (1) (1) 通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为通过频率变换公式，先将希望设计的滤波器指标转换为相应的低通滤波器指标；相应的低通滤波器指标； (2) (2) 设计相应的低通系统函数设计相应的低通系统函数Q Q( (p p) )； (3) (3) 对对Q Q( (p p) )进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数进行频率变换，得到希望设计的滤波器系统函数H H ( (s s) )。 第51页/共120页七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器 MATLAB信号处理工具箱函数buttap, b

27、uttord和butter是巴特沃斯滤波器设计函数。其5种调用格式如下。1） Z，P, K=buttap(N)该格式用于计算N阶巴特沃斯归一化（3 dB截止频率c=1）模拟低通原型滤波器系统函数的零、极点和增益因子。返回长度为N的列向量Z和P，分别给出N个零点和极点的位置，K表示滤波器增益。得到的系统函数为如下形式:a(pZ(1)(pZ(2)(pZ(N)G (p)K(pP(1)(pP(2)(pP(N)第52页/共120页2） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As)该格式用于计算巴特沃斯数字滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。调用参数wp和ws分别为数字滤波器的通带边界频

28、率和阻带边界频率的归一化值，要求0wp1，0ws1, 1表示数字频率。Rp和As分别为通带最大衰减和阻带最小衰减（dB）。当wswp时，为高通滤波器； 当wp和ws为二元矢量时，为带通或带阻滤波器，这时wc也是二元向量。N和wc作为butter函数的调用参数。七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器第53页/共120页3） N, wc= buttord(wp, ws, Rp, As, s) 该格式用于计算巴特沃斯模拟滤波器的阶数N和3 dB截止频率wc。wp、ws和wc是实际模拟角频率（rad/s）。其他参数与格式2）相同。七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器第

29、54页/共120页4） B, A=butter(N, wc, ftype)计算N阶巴特沃斯数字滤波器系统函数分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯数字滤波器的阶数和3 dB截止频率的归一化值（关于归一化），一般按格式2）调用函数buttord计算N和wc。由系数向量B和A可以写出数字滤波器系统函数： 1(N 1)N1(N 1)NB(z)B(1)B(2)zB(N)zB(N1)zH(z)A(z)A(1)A(2)zA(N)zA(N1)z七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器第55页/共120页5） B, A=butter(N, wc, ftype, s)计算

30、巴特沃斯模拟滤波器系统函数的分子和分母多项式的系数向量B和A。调用参数N和wc分别为巴特沃斯模拟滤波器的阶数和3 dB截止频率（实际角频率）。由系数向量B和A写出模拟滤波器的系统函数为NN 1aNN 1B(s)B(1)sB(2)sB(N)sB(N1)H (s)A(s)A(1)sA(2)sA(N)sA(N1)七、用MATLABMATLAB工具箱设计巴特沃斯滤波器第56页/共120页参数ftype区分滤波器类型。ftype=high时，设计3 dB截止频率为wc的高通滤波器。缺省ftype时默认设计低通滤波器。ftype=stop时，设计通带3 dB截止频率为wc的带阻滤波器，此时wc为二元向量w

31、cl, wcu，wcl和wcu分别为带阻滤波器的通带3 dB下截止频率和上截止频率。缺省ftype时设计带通滤波器，通带为频率区间wcl0, , 1,即s平面的右半平面映射到z平面单位圆外；r1,即s平面的左半平面映射到z平面单位圆内；6.36.3用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器第80页/共120页（2）与的关系（=T） s平面宽 的水平条带对应整个z平面。),(),(TTT/2= 0， = 0，s平面的实轴对应 z平面正实轴；表示模拟频率表示数字频率，,T6.36.3用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器第81页/共120页 s平面宽 的水平条带，同样对应整个z平面。)

32、3 ,(),3,(TTT/22的周期函数，周期为是的映射是多值映射，6.36.3用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器第82页/共120页一、用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器设计过程是： （1 1）将给定的数字滤波器的技术指标，按某一）将给定的数字滤波器的技术指标，按某一变换规则变换规则转换转换成相应的模拟滤波器的性能指标。成相应的模拟滤波器的性能指标。（2 2）如要设计的不是数字）如要设计的不是数字低通低通滤波器，则需将步骤（滤波器，则需将步骤（1 1）中）中变换得到的相应（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标变换得到的相应（高通、带通、带阻）模拟滤波器性能指标转换为低通性能指标

33、。转换为低通性能指标。（3 3）设计一个过渡模拟低通滤波器）设计一个过渡模拟低通滤波器。（4 4）将模拟低通滤波器转换成相应类型的过渡模拟滤波器。）将模拟低通滤波器转换成相应类型的过渡模拟滤波器。（5 5）再按照转换规则将模拟滤波器转换成数字滤波器。）再按照转换规则将模拟滤波器转换成数字滤波器。6.3 6.3 用脉冲响应不变法设计IIRIIR数字低通滤波器第83页/共120页二、脉冲响应不变法的变换原理 已知一个满足滤波器设计指标的模拟滤已知一个满足滤波器设计指标的模拟滤波器的冲激响应波器的冲激响应h ha a(t)(t) ，先离散化，先离散化h ha a(t)(t)，使数字，使数字滤波器的单

34、位脉冲响应滤波器的单位脉冲响应h(n)h(n)正好等于模拟滤波正好等于模拟滤波器的冲激响应器的冲激响应h ha a(t)(t)的采样值，即的采样值，即 为采样周期TnThnha),()()()(),()(nhzHthLsHaa 从这个关系式出发，找出从这个关系式出发，找出H Ha a(s) (s) 和和H (z)H (z)之间之间的关系式。的关系式。 这里这里H Ha a(s)(s)表示表示 h ha a(t) (t) 的拉普拉斯变换，的拉普拉斯变换， H(z)H(z)表示表示h(n) h(n) 的的 z z 变换，即变换，即第84页/共120页映射关系 ： sTez ImzjRez0z 平面

35、: j0T/3S 平面T/T/T/3二、脉冲响应不变法的变换原理第85页/共120页数字滤波器的频响特性与模拟滤波器的频响特数字滤波器的频响特性与模拟滤波器的频响特性之间的关系：性之间的关系： j a12(e)(jj)TkHHkTTja12(e )(j)kkHHTT上式说明，上式说明，H(eH(ejTjT) )是是H Ha a(j)(j)以以2/T2/T为周期的周期延为周期的周期延拓函数（对数字频率，则是以拓函数（对数字频率，则是以22为周期）。为周期）。三、频谱混叠第86页/共120页三、频谱混叠 如果模拟滤波器的频率特性是如果模拟滤波器的频率特性是带限信号带限信号，带限于折叠频率以内时，即

36、带限于折叠频率以内时，即 才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。失真。TH/|0)j (a，第87页/共120页 如果模拟滤波器的频率特性不是带限信号，如果模拟滤波器的频率特性不是带限信号，或采样频率不满足采样定理时将会或采样频率不满足采样定理时将会产生混叠产生混叠。 由于由于实际实际的模拟滤波器，其的模拟滤波器，其频率响应都不频率响应都不可能是真正带限可能是真正带限的，因而数字滤波器的频率响的，因而数字滤波器的频率响应应不可避免地存在频谱的混叠不可避免地存在频谱的混叠，

37、从而带有一定，从而带有一定的失真。的失真。 模拟滤波器频率响应在折叠频率模拟滤波器频率响应在折叠频率以上衰减以上衰减越大，失真越小。这时，采用脉冲响应不变法越大，失真越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。设计的数字滤波器才能得到良好的效果。三、频谱混叠第88页/共120页三、频谱混叠第89页/共120页四、模拟滤波器的数字化 脉冲响应不变法特别适用于用脉冲响应不变法特别适用于用部分分式部分分式表达表达传递函数。传递函数。 设模拟滤波器的传递函数只有单阶极点，且分母的阶数设模拟滤波器的传递函数只有单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数高于分子阶数 N NMM，则可表达为部

38、分分式形式：，则可表达为部分分式形式： 其相应的冲激响应其相应的冲激响应h ha a(t)(t)为为H Ha a(s)(s)的拉普拉斯反变换：的拉普拉斯反变换：NiiiassAsH1)(第90页/共120页 NitsiaatueAsHLthi11)()()( 式中式中si 是是Ha(s)的单阶极点。单阶极点。 在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉在脉冲响应不变法中，要求数字滤波器的单位脉冲响应冲响应h(n)h(n)等于等于h ha a(t)(t)的采样，即的采样，即NinTsianTueAnThnhi1)()()(四、模拟滤波器的数字化第91页/共120页对对h(n)h(n)取取z z变

39、换，得到数字滤波器的系统函数：变换，得到数字滤波器的系统函数： NiTsinnTsNiinnNiTsinnnNinTsinzeAzeAzeAznTueAznhzHiiii1101101111)()( )()()(四、模拟滤波器的数字化第92页/共120页比较两式： NiTsizeAzHi111)(NiiiassAsH1)(。平面的单极点变换到平面的单极点即），（）（不变；）系数（TsiTsiiiieszessAzs1211四、模拟滤波器的数字化第93页/共120页此时，)(1)(TjHTeHaj作如下修正：将会很大，为此，很大时，如果抽样频率成反比，与响应由于数字滤波器的频率)(f)(jjeH

40、TeH)()(nTThnha，)()(TjHeHajNkTskzeTAzHk111)(四、模拟滤波器的数字化第94页/共120页例题例5：设模拟滤波器的系统函数为 试用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器。3111) 3)(1(2)(sssssH第95页/共120页例题 TTNiTsiaezezzHzeAzHsssHi31111211111)(1)(31)(得由，的极点为解：243131)(1)(zeeezeezTTTTT21101831.04177.01318.0)(zzzzH第96页/共120页五、优缺点 脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响脉冲响应不变法使得数字滤波器的脉冲响应完全模仿模拟

41、滤波器的冲激响应。应完全模仿模拟滤波器的冲激响应。 优点：优点： （1）时域逼近好；。有线性关系与数字频率模拟频率T（2）如线性相位关系不变。 缺点：缺点： 存在存在频谱混叠频谱混叠，只适合，只适合带限带限的模拟滤波的模拟滤波器，如器，如低通、带通低通、带通，但不适合高通、带阻滤波器。，但不适合高通、带阻滤波器。而且对低通、带通应充分的带限。而且对低通、带通应充分的带限。第97页/共120页6.4 6.4 用双线性变换法一、变换原理 第一步：将整个s平面压缩到另一个s1平面的一条横带里，横带的宽度为2/T；Tsez1 第二步：再通过变换 将此横带变换到整个z平面上去。 由此建立s平面与z平面一

42、一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混叠现象。第98页/共120页一、变换原理)2tan(21TTz平面11ImzjRezT/T/Tsez1第99页/共120页一、变换原理 得令11,jsjs先推理s与s1之间的关系式TjTjTjTjTjTjTTeeTeeeeTjTTTjj1111111122)cos()sin(2)2tan(2222221211TsTseeTs11112第100页/共120页一、变换原理11112zzTsTsTsTsezees11111中代入在从从s1s1平面转换到平面转换到z z平面，得平面，得sTsTz22或11112)()(zzTsasHzH第101页/共120页二

43、、优缺点优点： 缺点：)2tan(2T没有频谱混叠。没有频谱混叠。而是没有线性关系与数字频率模拟频率,T第102页/共120页 这种非线性关系如右图所示，表现为： )2tan(2T0 所以，原来是线性相位的模拟滤波器经双线性变换后得到的却是非线性数字滤波器。 在零频率附近，近似为线性关系；随着的增加，非线性关系关系越来越严重，造成两者的幅频响应不同（有畸变）。二、优缺点第103页/共120页 所以，双线性变换适合用于设计低通、高通、带通、带阻等选频滤波器。是目前使用的最普遍、最有成效的一种设计工具。频率预校正 模拟滤波器的频率点与数字滤波器的频率点是非线性对应关系，应按转换，称为频率预校正。)

44、2tan(2T二、优缺点第104页/共120页例题字滤波器。利用双线性法转换成数，为模拟滤波器的系统函数、例ssH)(6a1111112112)()(zzTzzTsasHzH解：第105页/共120页)1(15,3 . 01,2 . 07sTdBraddBradsspp波器。线性变换法设计数字滤低通滤波器，并采用双，利用巴特沃斯，要求、设计低通数字滤波器例解：（1）预畸变校正计算相应模拟低通的技术指标为例题第106页/共120页（2） 设计巴特沃斯低通模拟滤波器。 计算得 N=5.3056，取N=6； c=0.7663 rad/s 查表得Ga(p)将p=s/c代入Ga(p)，去归一化得到实际的Ha(s)为a2221( )(0.51761)(1.1.41421)(1.93191)Gppppppp)5871. 0480. 1)(5871. 0083. 1)(5871. 0396. 0(2024. 0)(222asssssssH例题第107页/共120页（3） 用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器H(z), 即11a1211 6121212( )( )|0.000