数学分析求极限的方法

1、求极限的方法具体方法i.利用函数极限的四那么运算法那么来求极限定理1：假设极限lim fx和lim gx都存在，贝u函数fx gx， fxgxx xox x当xx0时也存在且 lim f (x) g(x)x 0lim f(x) lim g(x)X X0x x.0lim f(x)g(x)x X0lim f(x)X X0lim g(x)X X0又假设lxmgx 0，那么埸在x x时也存在，且有利用极限的四那么运算法那么求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所 给的变量都不满足这个条件，如 一、0等情况，都不能直接用四那么运算法那么，0必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时

2、，要熟练掌 握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。例仁求limx 2x2解：原式=|imx 2lim x 2 0x 22.用两个重要的极限来求函数的极限 利用lim乎1来求极限sin x1的扩展形为:令g x 0，当xX。或x时，贝U有limx X。sin g xg x1 或 limxsin g xg x例 2： limXsin x解：令 t=x .贝U sinx=sin(t)=sint,且当 x 时 tOsin xlimxsin t .iim 1例3： 求sin x21伽x 1x解：原式=iixmx 1 sin x21亍hm 2 sin x2 x利用lim (1x-)e来求极限xlim(1x另

3、一种iim(11)"e .事实上，令0.所以elimx(11、x(1例 4：求 iim (112x)°的极限解：原式=|im1 x 01(12x)2x (112x)2xe2利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形 式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。 般常用的方法是换元法和配指数法。3.利用等价无穷小量代换来求极限所谓等价无穷小量即帅器1.称 f(x)与g(x)是0时的等价无穷小量，记作 f (x) g(x) . (xx0).定理2：设函数f (x), g(x), h(x)在u0(x°)内有定义,且有 f (

4、x)g(x) . (x x0) 假设 lim f(x)g(x)x X0A，那么 |im g(x)h(x)x xolimx xoh(x)f (x)B，那么 limx xoh(x)g(x)证明： lim g(x)h(x)x Xolimx xog(x)f(x)lim f(x)h(x)x Xo 可类似证明，在此就不在详细证明了！由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限例5： 求衣呵tanx肇X的极限解：由 ta nxsin xsin x (1 cosxcosx).而 sin x x, (x0)；1 cosx 2xJ(x0)；sin x x x , ( x0).22x故有limx 0tanxs

5、in x=limx 01 x 2 1sin x3cosx x2注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的o).又由于等价无穷小量，如：由于lim Sin 1，故有sinxx,(xarcta n x1,故有 arctanx x，(x0).另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘 或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的局部那么不能随意代换。如上式中，假设因有 tan x x， (x 0); si nxx,(x0).而推出0那么得到的结果是错误的tan x sin x _ x x lixm0sinx3=lixm3Sn4.利迫

6、敛性来求极限定理3：设lim f(x)=x Xolim g(x)=A,且在某 uo(x°,)内有 f(x) h(x) g(x),x x)那么 lim h(x)=Ax xd例6:1求lim x 的极限解：11 x丄<1-x.且Hm(1 x) 1由迫敛性知XX 0limix =1做此类型题目的关键在于找出大于函数的函数和小于函数的函数, 并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。5.利用函数的连续性求极限利用函数的连续性求极限包括：如函数f(X)在x0点连续，那么lim f(x)X Xof (xo)及右 lim (x) aX xo且f(u)在点a连续，那么lim0(x)例7: 求

7、1 cos XJ<lim e2arcsinx2 的极限lim f (x)0解：由于lim占4及函数1ue4在u 4处连续，故1 cos x1 COSXlim=e4e2arcsin x2 =elXmJ 2 arcsinx26.利用洛比达法那么求函数的极限在前面的表达中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限， 在此 笔者表达一种牵涉到无穷小(大)量的比拟的求极限的方法。我们把两个无穷小 量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作 0型或一型的不定0式极限。现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法 那么。下面就给出不定式极限的求法。(1) 对于0型不定式

8、极限，可根据以下定理来求出函数的极限0定理4：假设函数f(x)和函数g(x)满足:f(x)=|jm g(x)=°。x X0在点xo的某空心邻域u0(x。)内两者都可导，且g'(x)0甥=A (A可为实数，也可为或)那么limx xof (x) = f'(x) =A莎 Pm ?=A注：此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了例&求limx1 cosxtan2 x解：容易检验的邻域里满足定理的条件和，又因f(x)=1+ cosx 与 g(x)= tan2 x 在 x0f' (x)sinxcos3 x 1lLm g'(x) lxm 2

9、tanxsec2 x Um 22故由洛比达法那么求得，f(x) g(x)=limX x0f'(x)=1g'(x) 2在此类题目中，如果ixm鵲仍是0型的不定式极限，只要有可能，我们可再次利用洛比达法那么，即考察极限何幾是否存在。当然，这是f(x)和g'(x)在X。的某邻域内必须满足上述定理的条件1例9:求,ex (1 2x)2叽 ln(1 x2)解：利用 ln(1 x2) x2( x0)，那么得原moXe-在利用洛比达法那么求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便， 可用适当的代换，如下例,例 10：:x 求 何 1 ex解：这是0型不定式极限，可直接运用洛比达法

10、那么求解，但是比拟麻烦。如作适0当的变换，计算上就会更方便些，故 令t .、X,当X 0时有t 0，于是有limlimt 0(2) 型不定式极限假设满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。定理5:假设函数f(x)和函数g(x)满足： lim f(x)=lim g(x) =x X0x xo 在点X。的某空心邻域u0 (x。)内两者都可导，且g'(x)0 呵琵巩(A可为实数，也可为或)那么limx xqf(x) g(x)=limxx。f=A g'(x)此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了例11：求limxln xx解：由定理4得,limln xx(ln x

11、)' lxmx_注1：假设lim f不存在，并不能说明limx x。器不存在注2:不能对任何比式极限都按洛比达法那么来求解。首先必须注意它是不是 不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法那么的其它条件。F面这个简单的极限limx sinx=ix虽然是型的，但假设不顾条件随便使用洛比达法那么:lim 乞壬科计就会因右式的极限不存在而推出原式的极限xxx1不存在这个错误的结论。(3) 其它类型不定式极限不定式极限还有0,1 ，00，0，等类型。这些类型经过简单的变换，都可以化为0型和一型的不定式极限。0例 12：求 lim xln xX 1.ln cosx 01解：这是一个1型的不定式极限

12、,作恒等变形xlnx=JT，将它转化为型的不定式极限，并用洛比达法那么得到limx 0ln xT=limx 0J7=lim (x 0x)例13：求lim1(cosx)x(cosx)其指数局部的极限卬1ln cosx x型的不定式极限，可先求得moIn cosx =Iim0tan x =2x1,21从而得 lim (cosx)x =e 2解：这是一个1型的不定式极限，作恒等变形 例 14：求|im sinx1Inx k 为常数x 0解：这是一个o0型的不定式极限，按上例变形的方法，先求 型的极限,kcosxkl nsinxsinx"m何 丁xmokcosx=ksin xk然后得到|im

13、 (sinx)卞x 1 01=ek( k 0)当k=0时上面的结果仍成立。1例 15：求 Iim (x .1 x2)亦x解：这是一个0型的不定式极限，类似地，先求其对数的极限 一型In (x0m In x1 x2)=limx11 x =11x 1于是有lim(x 1 X2)亦=ex7.利用泰勒公式求极限由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。x22cosx e 2 例代：求iimx解：此题可用洛比达法那么来求解，但是运算过程比拟繁琐，在这里可用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为x4，我们用麦克劳林公式表示极限的分子,(取 n=4)2424+o(x5)/ x xcos

14、x=1-+x22e=1-022x4cosx- e 2 =- 3的极限 o ( x5)12x22 cosx e 因而求得叽一=叽1 45、x o(x ) 124x8.利用微分中值定理和积分中值定理求极限例17:求几叫x sin x2 2解:2 x 2 si nx 2X2$i nx3:xx sin xx sin x3x由微分中值定理得,x sin x2 2x sin xln 2(介于x与sin x之间mosin x2x sinx五limo 2 ln2mocosx In 23x26x sin x 2 2例18:求叽 x3的极限2 x?sinx2xgSin xx sin x33xxsin xx解:由微分中值定理得,2x2 sin x2 ln2x sin x介于x与sinx之间mosin x2x sinxsin?limo 2 ln2mocosx In 23x269.利用定积分求极限12n解：把此极限式化为某个积分和的极限式， 并转化为计算计算定积分，为此作如下变形：lim -n i 1 in1不难看出，其中的和式是函数发f(x) 在区间0,1上的一个积分和。(这 1 x里所取的是等分分割，Xi丄，i丄 ,丄(i 1.2.n.)，所以nn n n1 dx1Jln(1 x) In 201 x01当然，也可把J看作f(x) 1在1,2上的定积分，同样有2 dx 3 dx J1