高中数学有关圆锥曲线的经典结论(二)

1、解析几何专题经典结论常用技巧Marine有关解析几何的经典结论、椭 圆1.点P处的切线 PT平分 PFF2在点P处的外角.2.PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.第11页，共8页4.5.若Po(M,yo)在椭圆6.若Po(xo,yo)在椭圆弦PlP2的直线方程是2xa2xaXoX T a2 y b22 y b21上，则过Po的椭圆的切线方程是 笺a1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为yoy b21.7.2椭圆Xya2 y b21 (a >b>0)的左右焦点分别为8.

2、F1PF2则椭圆的焦点角形的面积为 S F1PF2yoy 1于1.Pl、P2,则切点F1, F2,点P为椭圆上任意一点b2tan .22椭圆三a| MF1 | a2 y b21 (a>b>0)的焦半径公式:ex。，IMF2I a e%( F1( c,0) , F2(c,0)M (Xo, y。).以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M N两点，则MFL NF.10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A、A2为椭圆长轴上的顶点， AF和

3、A2Q交于点M, A2P和AQ交于点 N则MFLNF.11.2AB是椭圆XykoM kAB即K ABab22 ,ab2xo2 y b21的不平行于对称轴的弦，M(Xo, yo)为AB的中点，12.13.20a yo若Po(xo,yo)在椭XoXy°yb22 Xo2a2y。b2若Po(Xo, y。)在椭圆2x2a2 y b2则被Po所平分的中点弦的方程y2b2则过Po的弦中点的轨迹方程2 y_ b2XoXy°y2ab二、双曲线点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.PT平分 PFF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为2 xa1.2.3.4.

4、5.6.7.8.9.10.11.12.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切:直径的圆，除去长轴的两个端点 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.P在左支)若Po(Xo, y0)在双曲线2y 1 (a>0,b >0)b2上，则过Po的双曲线的切线方程1.若Po(Xo, yo)在双曲线2y 1 (a>0,b >0)b2外，则过Po作双曲线的两条切线切点为R、则切点弦P1P2的直线方程是XoXyoyb21.22双曲线3 4a2 b2(a>0,b>o)的左右焦点分别为F2,点P为双曲线上任意一点 F1PF2则双曲线的焦点角形的

5、面积为SF1PF2b2co t.2F2(c,0)(a>0,b >o)的焦半径公式：(F1( c,0)当 M(xo,yo)在右支上时，|MFi| exo a , | MF2 | exo a.当 M(xo,yo)在左支上时，|MFi| exo a,|MF2|exo设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M N两点，则MFL NF.过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点P、Q, A、A2为双曲线实轴上的顶点,AP和A2Q交于点M A2P和A1Q交于点 N,则 MFL NF.22M(Xo, yo)为 A

6、Bx yAB是双曲线 2T 1 (a>0,b >0)的不平行于对称轴的弦,a b22的中点，则Kom Kab U，即Kab整。a yoa y022若Po(Xo,yo)在双曲线告 yr 1 (a>0,b >0)内，则被 Po所平分的中点弦的 a b22XoX yoy Xoyo万桂 -2-.abab13.若P0(x°, y0)在双曲线(a>0,b>0)内，则过 Po的弦中点的轨迹方1.2.3.4.5.6.7.x°x -2- a椭圆与双曲线的对偶性质椭(会推导的经典结论) 圆2-y2 1 (a> b>o)的两个顶点为A( b2Pl

7、P2时AP1与A2P2交点的轨迹方程是a,0) , A2(a,0),与y轴平行的直2L 1 b2.2过椭圆勺a2y2 1 (a > 0,b >0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直 b2B,C两点，则直线 BC有定向且kBC若P为椭圆PF1F2b2Xo2a V。2 y b2sinsin sin例中项.2七1 b2PF2F1(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F 1, F 2是焦点，tan cot221 (a>b>0)的两个焦点为Fi、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上PF1F2中，记2 y , 匕 1 (a>b>0) b2F1PF

8、2PF1F2F1F2 P,则有的左、右焦点分别为 F、F2,左准线为L,则当01时，可在椭圆上求一点2 x P为椭圆-2 a则 2a |AF2|椭圆(x x°)22a2, 2B bP,使得PF1是P到对应准线距离 d与PF2的比|PA|(y b(a> b>0)IPF1Iy0)22(Ax。 By0上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点,2a| AF1 |,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成1与直线 Ax By C 0有公共点的充要条件是C)2.8.2 已知椭圆二 a(1)|OP|22y 1 (a>b>0),O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP

9、OQ . b的最小值是1 |0Q|2 a2b22 2114ab-2 -2; (2) |OP| +|OQ| 的最大值为一2一2 ; (3) S opq 22a ba b9.2过椭圆与a2a2 y b2b21 (a>b>0)的右焦点作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦mnM勺垂直平分线交x轴于p,则LPE | MN |10.2已知椭圆与a2 y_ b21 ( a >b>0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点2,2a bP(Xo,0),则a2.2a bXo11.2y1 ( a >b>0)上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点12.1

10、3.14.15.16.记 F1PF2设A、BPAB |PA|严 II PF212b2 .(2) S1 cospf#2b2 tan .22是椭圆吃aPBA2L 1 b22 .2ab |cos |2 2c cos.(2)(a >b>0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有，/2tan tan1 e .(3)S pab-2,22a b .22 cotb a2已知椭圆与a2y2- 1( a >b> 0)的右准线l与x轴相交于点 b2的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线l上，且BC过线段EF的中点.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与

11、以长轴为直径的圆相交,焦点的连线必与切线垂直过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,半径互相垂直.过椭圆右焦点FX轴，则直线AC经则相应交点与相应则该点与焦点的连线必与焦椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项双曲线22x y1.双曲线 T 4 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 Ai( a,0) , A2(a,0),与y轴 a b2

12、2平行的直线交双曲线于P1、P2时A P1与A2P2交点的轨迹方程是-x- y- 1.a2b222x y2.过双曲线 1 (a>0,b >o)上任一点 A(xo, yo)任意作两条倾斜角互a b补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且kBC”(常数).a yo22x y3.若P为双曲线 1 (a>0,b >0)右(或左)支上除顶点外的任一点，F1, a bF 2是焦点，PF1F2PF2F1c a,贝U tan cot(或c a 22tan cot )22224.x y设双曲线 乜 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 Fi、F2,P (异于长轴端点)

13、a b为双曲线上任意一点，在 PFiF2中，记F1PF2PF1F2,FiF2P，则有sn - e.(sin sin ) a5.2 x 若双曲线xy a2y彳 1 (a>0,b>0)的左、右焦点分别为b2Fi、F2,左准线为L,则当1vew J2 1时，可在双曲线上求一点 P,使得PFi是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 226. P为双曲线-2- 7 1 (a>0,b >0)上任一点，F1,F2为二焦点，A为双曲线 a b内一定点，则IAF2I 2a |PA| PF/,当且仅当A,F2,P三点共线且 P和A, F2在y轴同侧时，等号成立.27.双曲线)a件是A2a

14、28.已知双曲线2 y b2 B2b2xa1 (a>0,b>0)与直线 Ax By C 0有公共点的充要条2 C2.2L 1 b2(b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点,且OPOQ .的最小值是|OQ|22.2a b12a122.;(2) |OP| +|OQ|的取小值为b22. 24ab . S-22 ; 21 S opqb a9.10.11.12.13.b2 a2过双曲线勺aM,N两点，弦2 y_ b2(a>0,b >0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于MN勺垂直平分线交 x轴于P,则2 x已知双曲线,a垂直平分线与|PF | e |

15、MN | 22y 1 (a>0,b >0) ,A、B是双曲线上的两点,b2a2 b2x轴相父于点 P(x0,0),则x0 或x0a2P点是双曲线三a其焦点记A B是双曲线一点，PAB离心率，则有(1)(2) tan tan已知双曲线线段 AB的2,2a b线右焦点F轴，则直线b2(a>0,b >0)上异于实轴端点的任一点，F1、F2F1PF22b2 一则(1) |PFi |PF2 | cos I©|PA|2 y b22L 1 b2PBA(a>0,b >0)的长轴两端点，P是双曲线上的BPA , c、2 ,2ab |cos |a22e .(3)e分别

16、是双曲线的半焦距2 2c cosS PAB|2a2b2 22 COtb a1 (a>0,b >0)的直线与双曲线相交于A、AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,点与相应焦点的连线必与切线垂直的右准线l与x轴相交于点E ,过双曲B两点，点C在右准线l上，且BC x与以长轴为直径的圆相交， 则相应交15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注：在双曲线焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外

17、点）.17 .双曲线焦三角形中，其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中，半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项其他常用公式：1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：AB J1 k2 |x1 x2 J1一| y1 y2|2、直线的一般式方程：任何直线均可写成小+珈+0=O（a,b不同日寸为0）的形式。3、知直线横截距 飞，常设其方程为 彳二叩.%（它不适用于斜率为 0的直线）与直线= o垂直的直线可表示为母-用tY二。4、两平行线1 A +为+ G = 小+即+弓=°间的距离为，哥。5、若直

18、线4：41+配+弓=°与直线小达/ +用+弓=°平行则4斗-4用=0 （斜率）且W 0 （在1y轴上截距）（充要条件）6、圆的一般方程：解+/+ 口克+即+F二3（Da+E-4F > °）,特别提醒：只有当一金D叫EJ4F>0时，方程+艮+。工+砂+?=。才表示圆心为2, 2，半径为的圆。二元二次方程+酗+ 0=+以工*呼+ F=。表示圆的充要 条件是，二且3 = 0且门口+£工-。（k二厘+ rcos&7、圆的参数方程：（日为参数），其中圆心为（生可，半径为产。圆 的参数方程的主要应用是三角换元：/+ 二/:7二5£民 =产出血日./ + /匚1f一工=rcoe g,y =尸 sin 9（0 M/