高中数学椭圆超经典知识点-典型例题讲解

1、. word 格式 .资料. 专业 .整理学生姓名性别男年级高二学科数学授课教师上课时间2014 年 12 月 13 日第（ ）次课共（ ）次课课时：课时教学课题椭圆教学目标教学重点与难点选修 2-1 椭圆知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数 () ，这个动点的轨迹叫椭圆 . 这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意： 若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形 . 讲练结合一 . 椭圆的定义方程10222222yxyx化简的结果是2若abc的两个顶点4,0 ,4,0ab，abc 的周长为 18，则顶点 c 的轨迹方程是3. 已知椭圆22169

2、xy=1 上的一点 p到椭圆一个焦点的距离为3, 则 p到另一焦点距离为知识点二：椭圆的标准方程1当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；. word 格式 .资料. 专业 .整理注意：1只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2在椭圆的两种标准方程中，都有和；3椭圆的焦点总在长轴上 . 当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。讲练结合二利用标准方程确定参数1. 若方程25xk+23yk=1（1）表示圆，则实数k 的取值是 . （2）表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数k 的取值

3、范围是 . （3）表示焦点在 y 型上的椭圆，则实数k 的取值范围是 . （4）表示椭圆，则实数k 的取值范围是 . 2. 椭 圆22425100 xy的 长 轴 长 等 于， 短 轴 长 等 于, 顶 点 坐 标是 ,焦点的坐标是 ,焦距是，离心率等于 , 3椭圆2214xym的焦距为 2，则m= 。4椭圆5522kyx的一个焦点是)2, 0(，那么 k。讲练结合三待定系数法求椭圆标准方程1若椭圆经过点( 4,0)，(0,3)，则该椭圆的标准方程为。2焦点在坐标轴上，且213a，212c的椭圆的标准方程为3焦点在x轴上，1:2: ba，6c椭圆的标准方程为4. 已知三点 p（5，2） 、1f

4、（6，0） 、2f（6，0） ，求以1f、2f为焦点且过点p 的椭圆的标准方程；. word 格式 .资料. 专业 .整理知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把 x 换成 x，或把 y 换成 y，或把 x、y 同时换成 x、y，方程都不变，所以椭圆是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=a和 y=b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 |x| a，|y| b。（3）顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆（ab0）与坐标轴的四个交点即为椭圆

5、的四个顶点，坐标分别为 a1（a，0） ，a2（a，0） ，b1（0，b） ，b2（0，b） 。线段 a1a2，b1b2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|a1a2|=2a ，|b1b2|=2b。a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4）离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作。因为 ac0， 所以 e 的取值范围是 0e1。 e 越接近 1， 则 c 就越接近 a， 从而越小，因此椭圆越扁；反之， e 越接近于 0，c 就越接近 0，从而 b 越接近于 a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。注意：.

6、 word 格式 .资料. 专业 .整理椭圆的图像中线段的几何特征（如下图） ：（1），；（2），；（3）,，；讲练结合四焦点三角形1椭圆221925xy的焦点为1f、2f， ab是椭圆过焦点1f的弦，则2abf的周长是。2设1f，2f为椭圆400251622yx的焦点， p为椭圆上的任一点，则21fpf的周长是多少？21fpf的面积的最大值是多少？3设点p 是椭圆2212516xy上的一点，12,ff是焦点，若12f pf是直角，则12f pf的面积为。变式：已知椭圆14416922yx，焦点为1f、2f， p 是椭圆上一点若6021pff，求21fpf的面积五离心率的有关问题. word

7、格式 .资料. 专业 .整理1. 椭圆1422myx的离心率为21，则m2. 从椭圆短轴的一个端点看长轴两端点的视角为0120，则此椭圆的离心率e为3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形，则椭圆的离心率为4. 设椭圆的两个焦点分别为f1、f2，过 f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若f1pf2为等腰直角三角形，求椭圆的离心率。5. 在abc中，3, 2| ,300abcsaba若以 ab，为焦点的椭圆经过点c ，则该椭圆的离心率e讲练结合六 . 最值问题1. 椭圆2214xy两焦点为 f1、 f2， 点 p在椭圆上，则|pf1| |pf2| 的最大值为 _， 最小值为 _ 2、椭圆221

8、2516xy两焦点为 f1、f2，a(3，1)点 p 在椭圆上，则 |pf1|+|pa| 的最大值为 _，最小值为 _ 3、 已知椭圆2214xy， a(1， 0)， p为椭圆上任意一点， 求|pa| 的最大值最小值。4. 设 f 是椭圆322x242y=1 的右焦点 , 定点 a(2,3) 在椭圆内 , 在椭圆上求一点p 使|pa|+2|pf| 最小,求 p点坐标最小值 . 知识点四：椭圆与（ab0）的区别和联系. word 格式 .资料. 专业 .整理标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于 x 轴、y 轴和原点对称顶点，轴长轴长=，短轴长 =离心率准线方程焦半径，注意： 椭圆，（ab0

9、）的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有 ab0 和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同。1如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。 当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。. word 格式 .资料. 专业 .整理确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a、b，一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定标准方程的类型。2椭圆标准方程中的三个量a、b、c 的几何意义椭圆标准方程中， a、b、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭

10、圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且 a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆：a、b、c 恰构成一个直角三角形的三条边，其中a 是斜边， b、c 为两条直角边。3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上， 因此已知标准方程， 判断焦点位置的方法是： 看 x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。4方程 ax2+by2=c （a、b、c均不为零）表示椭圆的条件方程 ax2+by2=c可化为，即，所以只有 a、b、c同号，且 ab时，方程表示椭圆。当时，椭圆的焦点在x 轴上；当时，椭圆的焦点在y 轴上。5求椭圆标准方程的常用方

11、法：待定系数法：由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数、的值。其主要步骤是“先定型，再定量” ；定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。. word 格式 .资料. 专业 .整理与椭圆（ab0）共焦点的椭圆方程可设为（kb2） 。此类问题常用待定系数法求解。7判断曲线关于 x 轴、y 轴、原点对称的依据：若把曲线方程中的x 换成 x，方程不变，则曲线关于y 轴对称；若把曲线方程中的y 换成 y，方程不变，则曲线关于x 轴对称；若把曲线方程中的x、y 同时换成 x、

12、y，方程不变，则曲线关于原点对称。8如何解决与焦点三角形pf1f2（p为椭圆上的点）有关的计算问题？与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角() 结合起来，建立、之间的关系. 9如何研究椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为 c2=a2b2，ac0，用 a、b 表示为，当越小时，椭圆越扁， e 越大；当越大，椭圆趋近圆， e 越小，并且 0e1。课后作业1已知 f1(-8 ，0) ，f2(8 ，0) ，动点 p满足 |pf1|+|pf2|=16 ，则点

13、p的轨迹为 ( ) a 圆 b 椭圆 c线段 d 直线 2 、椭圆221169xy左右焦点为f1、f2，cd为过 f1的弦，则cdf1的周长为 _ 3 已知方程22111xykk表示椭圆，则k 的取值范围是 ( ) a -1k0 c k 0 d k1或 k-1 4、求满足以下条件的椭圆的标准方程 (1)长轴长为10，短轴长为6 (2)长轴是短轴的2 倍，且过点 (2，1) (3) 经过点 (5，1) ，(3， 2) 5、若 abc顶点 b、c坐标分别为 (-4 ，0) ，(4 ， 0)，ac 、ab边上的中线长之和为30，则 abc的重心 g的轨迹方程为 _ . word 格式 .资料. 专业

14、 .整理6. 椭圆22221(0)xyabab的左右焦点分别是f1、f2，过点 f1作 x 轴的垂线交椭圆于p点。若 f1pf2=60，则椭圆的离心率为_ 7、已知正方形abcd ，则以 a、b为焦点，且过c 、d两点的椭圆的的离心率为_ 椭圆方程为 _. 8 已知椭圆的方程为22143xy， p点是椭圆上的点且1260f pf, 求12pf f的面积9.若椭圆的短轴为ab ，它的一个焦点为f1，则满足 abf1为等边三角形的椭圆的离心率为10.椭圆13610022yx上的点 p到它的左焦点的距离是12，那么点p到它的右焦点的距离是11已知椭圆)5( 125222ayax的两个焦点为1f、2f

15、，且821ff，弦 ab过点1f，则2abf的周长12.在椭圆252x+92y=1 上求一点 p,使它到左焦点的距离是它到右焦点的距离的两倍13、中心在原点、长轴是短轴的两倍, 一条准线方程为4x, 那么这个椭圆的方程为。14、椭圆的两个焦点三等分它的两准线间的距离, 则椭圆的离心率e=_. 15、椭圆的中心在原点, 焦点在x 轴上 , 准线方程为18y, 椭圆上一点到两焦点的距离分别为10 和 14, 则椭圆方程为 _. 16. 已知 p是椭圆90025922yx上的点 , 若 p到椭圆右准线的距离为8.5, 则 p到左焦点的距离为_. 17椭圆1162522yx内有两点2,2a，0 , 3b， p为椭圆上一点，若使53papb最小，则最小值为18、椭圆32x2